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20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36 如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 ) ACAP =CQBQ (… 相似文献
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问题:操作:将一三角尺放在正方形ABCD上,并使它直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:在滑动过程中,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论.方法一证明:如图(1)Q点在正方形边DC上.过P作MN∥AD交AB于M,交CD于N.∵正方形ABCD∴AB=AD=MN,∠BAC=45°∵MN⊥AB于M∴∠AMN=90°∴AM=MP∴BM=PN∵∠MBP+∠MPB=∠MPB+∠NPQ=90°∴∠MBP=∠NPQ∵△MBP≌△NQP∴PB=PQ如图(2)点Q在正方形边DC的延长线上,即射线DC上证明方法同(1).方法二证明:如图(3)过… 相似文献
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2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH… 相似文献
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三角形内角和定理的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
同学们都已经知道三角形的内角和为180° ,但你是否想过除了课本的证明方法外 ,还有没有其它的证明方法呢 ?下面我们就来探讨三角形内角和定理的多种证明方法 .已知△ABC ,求证 :∠A +∠B +∠C=180° .证明一 常见的证法 ,过点C作CE∥AB ,延长BC至D ,则∠A +∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 +∠ACB=180° .证明二 过点C作DE∥AB ,易知 ∠A =∠ 1,∠B =∠ 2 .∵ ∠ 1+∠ 2 +∠ACB =180° ,∴ ∠A +∠B +∠C =180° .证明三 过点C作CD∥AB ,易知 ∠A =∠ 1,∵ ∠ 1+∠ACB+∠B =180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∴ ∠A +∠B… 相似文献
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1991年9月号问题解答 (解答由供题人给出) 7.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,在AB、AC上各取一点M、N,满足DM⊥DN。试证:△BDM与△CDN的外接圆外切且直线MN是这两圆的一条公切线。证明易知A、M、D、N四点共圆,可得∠DMN=∠DAN=∠ABC。 (1)若∠BMD=90°,则∠DNC=90°(如图1)。Rt△BDM、Rt△CDN的外心各是BD、DC的中点O_1、O_2,连结O_1M、O_2N,易证MN⊥O_1,M、MN⊥O_2N。此时既易证明△BDM与△CDN的外接圆外切,又不难证得直线MN是这两圆的 相似文献
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<正>一、已知条件中直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,则可直接根据"经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"来证明.图1例1如图1,已知AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,点D为AB延长线上一点,连接CD,且∠OCA=25°,∠D=40°.判断直线CD与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解直线CD与⊙O相切.理由如下:∵OA=OC,∠OCA=25°,∴∠A=∠OCA=25°.又∵∠DOC是△AOC的外角,∴∠DOC=∠A+∠OCA=25°+25°=50°.在△DCO中,∵∠D=40°,∠DOC=50°, 相似文献
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<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB, 相似文献
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在数学学习中 ,对于某些数学题 ,只要我们认真思考、分析 ,就能想出多种解答方法 ,从而开阔我们的思路 ,提高学习兴趣 .例 1 已知 :如图 1,∠A =90° ,∠B =30°,∠C =2 0° ,求∠BDC的度数 ,有下面几种解法 ,供参考 .解法 1:由四边形内角和为36 0° ,得∠A +∠B +∠C +( 36 0°-∠BDC) =36 0° ,则 ∠BDC =∠A +∠B +∠C=90°+30°+2 0°=14 0°.解法 2 :延长CD交AB于E ,(如图 2 ) ,则∠CEB =∠A +∠C=90° +2 0°=110°.所以∠BDC =∠CEB +∠B上接第 35页 ) =110° +30° =14 0° .(想一… 相似文献
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2007年8月号问题解答1686△AB(C解中答,由∠A问题>提90供°,人给出)AB>AC,高线BE、CF交于H,O为△ABC的外心,且AO=AH,∠BAC的平分线AD所在直线交BE,CF的延长线于M、N.求证:HM=HN.(福建厦门九中陈四川361证00明4)因为AB>AC,∠ABC<∠ACB,∠ACB 12∠BAC>∠ABC 12∠BAC,即∠ACB ∠CAD>∠ABC ∠BAD,所以,∠ADC<∠ADB,∠CDA<90°,所以N点在HF上,M点在BH的延长线上.延长AD交⊙O于G,BG=CG,连结BG、CG、GO,并延长GO交BC于T,交BAC于O′,O′G⊥BC,垂足T,OT=21AH(三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对… 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ABC中 ,O为外心 ,三条高AD、BE、CF交于点H ,直线ED和AB交于点M ,FD和AC交于点N .求证 :1)OB⊥DF ,OC⊥DE ;2 )OH⊥MN .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,A ,C ,D ,F四点共圆 ,∴∠BDF =∠BAC .又∵O为外心 ,∴∠BOC =2∠BAC ,∠OBC =∠OCB ,∴∠OBC =12 (180° -∠BOC)=90° -∠BAC .∴∠OBC +∠BDF =90°,∴OB⊥DF .同… 相似文献
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<正>1试题呈现(2023年宜宾中考)如图1,以AB为直径的⊙O上有两点E,F,■,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9(5)1/2,求EN的长. 相似文献
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《数学通报》2005,44(3):64-64
2005年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)1536 如图,C为半圆弧的中点,点 P为直径BA延长线上一点,过 P 作半圆的切线PD,D 为切点,∠BPD的平分线分别交AC,BC 于点E,F. 求证∠EDF =90°.(江西省宜丰县二中 龚浩生 简爱平 336300)证明 记半圆的圆心为 O,连结 OC,OD,AD,BD.因为 C是半圆弧的中点,PD是切线.所以 OC⊥AB,PD⊥ OD.所以∠DPB =∠COD.因为 PF平分∠DPB,所以∠DPF =12∠DPB =12∠COD =∠CAD =∠CBD所以A,P,D,E四点共圆B,P,D,F四点共圆所以∠CED =∠DPA =∠CFD所以 C,D,E,F四点共圆… 相似文献