数学解题中的特殊化方法

“特殊化”是中学数学里很重要的一种思想方法,稍加留心就可以看到,在各级各类的试题里有许多能够利用“特殊化”方法解决的问题.唯物辩证法告诉我们:“一般”和“特殊”是相互联系的,“一般”存在于“特殊”之中,任何“一般”都是“特殊”的一部分.在解数学题时,我们经常把问题进行特殊化,通过解决特殊化了的问题,以获得原问题的解决.从一般问题“退”到特殊问题,是一种“以退为进”的谋略.华罗庚先生认为,善于“退”,一直“退”到原始而不失重要性的地方,是学习数学的一个诀窍.明智的“退”有三种基本功能:指示解题方向,寻找解题途径,直接…     

辩证思维解题策略举要

数学中充满了辩证法 ,解决数学问题常常需要运用辩证思维 ,本文介绍几种常见的辩证思维解题策略 .1　一般与特殊一般性寓于特殊性之中 ,在解决数学问题时 ,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略 .1 1　一般问题特殊化当我们在解决一般问题遇到困难时 ,如果先考虑其特殊情形常常能发现一般规律 ,从而使问题顺利解决 .例 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｘ1 -ｘ2 ,并定义ｆｎ(ｘ)=ｆ(ｆ(…ｆｎ个(ｘ) ) ) ,其中ｎ为自然数 ,求ｆｎ(ｘ) .分析 :此题用直接代入的方法简直无从下手 .如果我们先考虑几个特殊情形 ,如ｆ1 (ｘ)、ｆ2 (ｘ)、ｆ3(…     

巧用特殊化方法解2001年高考选择题

特殊化是寻找解题途径的有效策略 ,也是解答选择题的一种有效方法 .此法在解选择题中主要体现为 :取满足题设条件的特殊情况寻找正确结论 ,或取选择支的特殊情况以排除干扰支从而达到迅速解题的目的 .例 1　 (理 (1 ) )若ｓｉｎθｃｏｓθ >0 ,则θ在(　　 )(Ａ)第一、二象限 .(Ｂ)第一、三象限 .(Ｃ)第一、四象限 .(Ｄ)第二、四象限解　取θ=3π4,由ｓｉｎ3π4ｃｏｓ3π4=- 12 <0知满足条件的θ不在第二象限 ,可排除 (Ａ) ,(Ｄ) .取θ =7π4,因ｓｉｎ7π4ｃｏｓ7π4=- 12 <0 ,所以θ不在第四象限 ,可排除 (Ｃ) ,故选 (Ｂ) .例 2　 (理 (4 )…     

例谈高考中的“隐性”轨迹题

根据已知条件求轨迹方程是平面解析几何研究的主要问题 ,也是高考命题的热点问题 .纵观历年的高考题 ,可以发现高考对轨迹方程的考查 ,分为两类 :一类是“显性”的 ,即题中明确告诉你要求轨迹方程 (或求某种特殊的曲线方程 ) ,这类问题 ,解题目标明确 ,解题方向容易把握 .另一类是“隐性”的轨迹题 ,表面上题目与求轨迹方程无关 ,但需要把问题转化为求轨迹方程才能解决 .这类问题具有一定的隐蔽性 ,解题方向不易把握 ,有时解题会隐入困境 .在高考复习中 ,我们要重视后一类问题的复习 ,熟悉它们的解题特点 .请看下面几例 .例 1　 ( 1 988年全…     

特殊入手 抓住核心

对于一些陌生的、比较困难的数学问题,直接处理很难入手,此时我们常把一般条件特殊化,或先考虑某些特殊情形,从中获取解决问题的途径,找到解决问题的方法,再把这种方法迁移过来,从而解决原问题.这就是特殊化思想解题的策略.     

特殊化—一种重要的数学思想

所谓特殊化,是将一般问题的研究转化为特殊情形,通过特殊情形的解决而去探索一般规律,寻找解决一般问题的途径或者否定已有的猜想。这是解决数学问题的一个重要思想方法。下面举一些例子,说明在特殊化的思想指导下所显示的一些成效。一揭示事物的规律从人们认识事物运动的规律来说,总是由认识个别的和特殊的事物逐步扩大到认识一般事物的,从许多特殊事物中,概括出它们共同的本质。例1 观察凸多面体的面数、顶点数、棱数,寻找它们之间的关系:     

特殊化策略在解竞赛题中的应用

著名数学家G.波利亚对特殊化有一精辟的论述:“特殊化是从考虑一组给定的对象集合,过滤到考虑该集合中较小的集合,或仅仅一个对象.”在解题中可理解为:当我们想解决一个一般性问题时,直接去解又比较困难.可以先就它的一个或几个简单的特殊情形进行分析、比较,再从中归纳,发现问题的一般规律,从而获得解题的途径,这种变更问题的方法称为特殊化.运用特殊化策略常能使竞赛问题避繁就简,化难为易.下文就特殊化策略在解竞赛题中的应用略谈几种常见的特殊化方法.     

极限、数学归纳法

本单元知识点及重要方法1)掌握数列极限的定义 ,会对指定的ε求Ｎ ;2 )掌握数列极限的四则运算法则以及使用这些法则的两个前提条件 ,并掌握数列极限的求法 ;3)当 |ｑ|<1时 ,会求无穷递缩等比数列各项的和 ,从而进一步理解在一般意义下的Ｓ =ｌｉｍｎ→∞ Ｓｎ;4 )理解数学归纳法的基本步骤的必要性 ,并能熟练应用数学归纳法解题 ;5)会利用“归纳—猜想—证明”以及“特殊———一般”的思想解决探索性问题 ;6)会化无限循环小数为分数 .练习选择题1　下列命题中 ,使ｌｉｍｎ→∞ａｎ=Ａ成立的一个充分条件是 (　　 )(Ａ)对于任意给定的正数…     

从全国高考试题看特殊化思想方法的操作与应用

根据矛盾论的基本原理,我们在认识事物和解决问题的过程中,必须坚持具体问题具体分析．也就是在矛盾普遍性原理的指导下,具体分析矛盾的特殊性．数学问题,特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈．在解题中,若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构,则可避免繁琐的运算、作图和推理,得到意想不到的、新颖独特的最佳解法．象这种利用特殊因素,采取特殊方法,解决特殊问题的思维方法,我们称之为特殊化思想方法．每年的高考题中(尤其是选择题和填空题)都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解,现列举数例,以飨读者．     

突出考查基础 注重能力方向

今年江苏省高考数学试题一个突出的、鲜明的特点就是“突出基础知识、基本技能、基本数学思想方法的考查”,起点低 ,同时注重了能力立意的命题思想 ,体现了新课程改革的方向 ,尤其是给高中数学教学 (特别是高三复习数学 )指出了方向———注意打好学生的数学基础 ,加强对学生的思维训练 .一、打破了一些典型问题训练过热的解题模式 (套路 ) .　　如 (2 0 )数列题 ,虽然也是考查an 与Sn 的关系 ,但却打破常规的求an 或Sn 或比较大小 (证明 )的一些考法 ,设计成求“求所有的无穷等差数列{an}”的新颖问法 .(2 1 )解几题 ,也是老问题 ,考查直…     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

从解题条件似乎不足谈研究性学习

在解题中有时我们会觉得似乎条件不足 ,而使解题陷入困境 .其实此时恰恰是学生研究学习的开始 .若在教学中能把握这一特殊的现象 ,适时地开展研究性学习 ,让学生在问题中寻找方法感悟新知 ,定能摆脱困境提高思维能力 .而这时的研究可从下面几个方面展开 .1　特殊性研究有些问题的提出 ,按常规思路来解决似乎不太可能 ,而在此时正是包含了问题的特殊性 .若我们能从问题的特殊角度加以研究 ,消除一些思维定势 ,定能开辟出新的解题思路 .例 1　已知数列 {an}是等差数列 ,a7=5 ,求 S1 3 .分析　 ( 1)此题的一般解法是 :设等差数列 {an}的首项为…     

中学数学解题策略——特殊化方法

数学大师希尔伯特曾讲过这样一段话:“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.我们寻找一个答案而未能成功的原因,就在于这样的事实,即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.”这段话对解数学题很有指导意义,当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时,采用特殊化策略就是一个较好的选择.1特殊化的基本思想特殊化策略即视原问题为一般,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化作为划…     

活用特殊化思想巧解数学解答题

在数学解题中,探求解题思路与方法是最重要、最难把握的一个环节,是学生解题中的难点.特殊化(巧用条件或结论的特殊性)思想方法是一种重要的思考方法,在初等数学中有着广泛的应用.希尔伯特也曾说:"在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用,我们寻找一个答案而未能成功的原因,就在于这样一个事实,即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决,这一切都有赖于找出这些比较容易的问题,并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决他们."本'文对特殊化思想方法在解答题中的作用进行归纳,以供大家参考.……     

特殊化思想在高中数学竞赛解题中的应用

特殊化思想即考虑一般性问题的特殊情形.灵活运用特殊化思想解数学竞赛题,往往能够突破解题瓶颈,化难为易,进而获得一般性的解题思路.本文以高中数学竞赛题为例,探讨特殊化思想在数学解题中的重要应用.     

解题中的辩证思维

数学中充满了辩证法,解决数学问题常常需要运用辩证思维.辩证思维就是有效地运用事物之间的矛盾性或统一性,通过联系和转化从而处理问题的思维方法.本文介绍常见的辩证思维解题策略一、二. 1 一般与特殊 一般性寓于特殊性之中,在解决数学问题时,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略. 当我们在解决一般问题遇到困难时,如果先考虑其特殊情形,常常能发现一般规律从而     

例谈运用一般化的思维方法解题

运用一般化的思维方法解决问题 ,其基本思想是 :把具体问题抽象化 ,然后从一般原理出发 ,又回过头来解决具体问题 ,也就是说将给定问题看作某个一般问题的特殊情况 ,先解决一般性问题 ,原问题便解决了 .用一般化的思维方法解题 ,通常有下面两种基本情形 :1　纳入一般问题的模式中若一般问题已有了明确的结论 ,这时只要将给定问题纳入到一般问题的模式中 ,通过对一般结论的特殊化 ,便可得到给定问题的解 .例 1　已知 a,b∈ R,求证 :a2 + b2 + 4≥ ab + 2 a + 2 b.分析　联想由 ( a - b) 2 + ( b - c) 2 +( c - a) 2 ≥ 0推出的结论 :a2 + b2…     

数学解题中的优化假设举例

在解题教学中注重优化假设的数学思想与方法 ,探索解题的思路和规律 ,能培养学生的直觉思维、发散思维和想象力 .在各类的数学问题中 ,有许多的题目可由条件和结论的特殊性与一般性的辩证关系 ,采用优化假设思想 ,创设新的解题思路 ,优化解题过程 .优化假设通过恰当的假设处理问题 ,优化出新的解题方法与思路 .优化假设是科学的发现、创造的方法之一 ,在优化假设过程中 ,体现了假设、猜想、优化等数学思想 ,渗透了数学其他的方法和思路 ,在高考和数学竞赛题中有许多数学问题能采用此方法给予解决 .1　假设条件特殊化优化解题思路一个命题成…     

"特殊"化"一般",结论不平凡

在中学数学中,"特殊化"是一种重要的思想方法,将一般问题特殊化,可以化抽象为具体,化高维为低维,化整体为部分,化复杂为简单.但我们不能因此就夸大"特殊化"的作用,而忽视"一般化".事实上,我们在解决数学问题时,经常以特殊问题为起点,逐步分析、比较、讨论,层层深入,从解决特殊问题的规律中,寻求解决一般问题的方法和规律,并由此推广到一般.因此,特殊化是解决问题的起点,将问题一般化才是终点;特殊化是解决问题的手段,将问题一般化才是真正目的.……     

近年高考题中数学思想方法透析

本文对近年来一些高考试题进行分析,说明数学思想方法教学的重要性,使学生对数学有更高层次的认识.一、从“特殊到一般”的探索题1设等比数列{an},首项为a1=2,q=1/2,是否存在自然数c和k,使得(Sk+1-C)/(Sk-c)>2成立?若存在,求出这样的C和k;若不存在,说明理