一道2020年高考椭圆中最值问题的探究与变式

—、问题提出题1(2020年高考海南卷,21题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为1/2.(1)求C的方程;(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.题1考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的最值问题,考查了数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.     

椭圆小辅助圆的若干性质

把以椭圆短轴为直径的圆x²+y²=b²称为椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)的小辅助圆,本文介绍椭圆C的小辅助圆x²+y²=b²的几条性质.     

由四个解析几何命题引发的猜想及其证明

笔者在文[1]和文[2]中得到了4个命题:命题1如图1,点F₁,F₂分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,线段AB是过F₁的椭圆的一条弦.     

关联圆锥曲线焦点与准线的一个性质

1.问题的提出文[1]对关联椭圆准线的若干性质进行再探究,给出了三条性质及推论,其中性质2是:如图1,F为椭圆x^{2/a^(2}+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点,过左准线l′与x轴的交点P作直线l与椭圆分别交于A,B两点.     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

<正>椭圆（x²/c²）+（y²/b²）=1(a>c>6>0,c=（a²-b²）^1/2内含于椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）,双曲线（x²/c²） -（y²/b²）=1(a>0,b>0,c=（a⁺b²）^1/2内含于双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（n>0,b>0）.所以,我们不妨把     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

例谈解析几何中的形异质同问题

<正>在解析几何中,我们经常会遇到一些形异质同问题,这些问题所描述的情景和所要解决的问题虽各有不同,但它们的本质却相同.解题时若能抓住这一本质,便可实现快速解题.例1如图1,已知离心率为3^(1/2)/2的椭圆C:x(1/2)/2的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)     

圆锥曲线的定向弦问题

在圆锥曲线中,经常遇到如下的定向弦问题.题目1过椭圆x2/4+y2=1上定点P(2^1/2,2^1/2/2)作两条倾斜角互补的直线l1和l2,分别交椭圆于另一点Q、R,求证直线QR有定向;     

斜率定值竞赛题的探究与引申

<正>题目(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,并且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)如图1,设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),若直线PQ平分     

对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

相似椭圆系的一组性质

在几何图形中,相似图形是几何中较为神奇的一族,给人以视觉上的美感.众所周知,椭圆的形状是由该椭圆的离心率决定的.笔者给出相似椭圆系的定义并研究它的一组性质.定义:对于中心相同,离心率也相同的"个椭圆,其方程分别为:C₁:x²/a²+y²/λ²a²=1（0〈λ〈1,a〉0）,C₂:x²/λ²a²     

椭圆最值与范围问题的探讨

<正>椭圆是我们高中解析几何的重要组成部分,椭圆中的最值与范围的求解有异曲同工之处,方法也往往众多.如何掌握并迅速锁定方法是我们要解决的一个重要问题.现在我们结合例题梳理一下方法吧.例1求椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x2=1(a>b>0)的内接矩形的面积的最大值.解由x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1结合基本不等式可知     

同轴椭圆与双曲线的两个性质

<正>如果椭圆的长轴、短轴分别与双曲线的实轴、虚轴(或虚轴、实轴)重合,则称这样椭圆与双曲线是同轴曲线.同轴椭圆与双曲线方程的形式类似,应该有内在的联系,本文进行初步探讨.题目如图1,已知椭圆D:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,双曲线C:x2=1,双曲线C:x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1(或y2=1(或y²/b2/b²-x2-x²/a2/a²=1),其中a>b>0.     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

2012年高考安徽卷理科第20题的探究与推广

题目:如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=（a²）/c于点Q;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.分析:此题第（Ⅱ）问结构简洁,内涵深刻,由     

一个圆锥曲线统一性质的变式探究

文[1]给出如下结论:结论过椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个焦点F作不垂直于坐标轴的直线l,交椭圆于M、N两点,MN的中垂线交x轴于点D,则|DF|/|MN|=e/2.(e为椭圆的离心率.)接着,文[1]将结论推广到双曲线和抛物线中,从而得出一个圆锥曲线的统一性质.     

一道2021年高三联考圆锥曲线解答题的解法探究

<正>(湖南省天壹名校联盟2022届高三入学摸底考试第22题)椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1 (a> b> 0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,直线AB的斜率为-1/2,△OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆上有两点M,N (异于椭圆顶点,且MN与x轴不垂直),证明:当△OMN的面积最大时,直线OM与ON的斜率之积为定值.     

系数和定值竞赛题的探究与拓展

<正>题目(2018年全国高中数学联赛甘肃预赛)已知椭圆C:x²/y2/y²+y2+y²/b2/b²=1过点M(0,2),且右焦点为F(2,0).(1)写出椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点P,若PA=m AF,PB=n BF,求证:m+n为定值;(3)在(2)的条件下,若点P不在椭圆C的     

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=     

2023年海淀区高三二模解析几何问题的探索与推广

<正>解析几何定值问题是高考的热点问题之一,解决这类问题的基本思路是首先由特殊情形猜想定值,然后对一般情形进行证明.本文对一类角度定值问题进行探索与研究.问题(2023年海淀区高三二模题)已知椭圆E:x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)的左顶点为A,上,下顶点分别为B₁,B₂,