理想真的不等于现实吗——《〈对一道含高斯符号方程的另类思考〉的思考》的再思考

<正>自《中学生数学》2010年第12期刊登邱承雍老师的《一道含有高斯符号[x]方程的三种解法》(下称文[1])以来,2011年第11期刊登了刘月同学的《对一道含高斯符号方程的另类思考》(下称文[2]),2012年第5期刊登了赵平老师的《理想不等于现实——〈对一道含     

明晰图形本质 证法顺畅自然

<正>《中学生数学》2021年6月下(初中版)刊出的《显化思维,构造生成》一文,对一道正方形几何体的图形分析,找出关键所在,并给出该题的三种证法,阅读后感到受益匪浅.笔者进一步思考,发现本题的关键——图形的本质特征,还没有挖掘出来,如果挖掘出来,证明方法会更加贴近中学生,更加顺畅自然.在此写出来,与老师和同学们交流.     

一道全国初中联赛试题的简解

<正>2016年全国初中数学联赛第一试(A)第5题是一道具有很强探索性的几何试题,本刊连续刊登了多篇关于本题解法的文章(参见文[1][2][3]),读罢受益匪浅.这些文章给出的解法大多比较繁琐,有些求解过程还用到了高中生才熟悉的余弦定理.笔者研究发现,本题有一个非常简洁的解法,现借本刊一角,与大家分享.     

应用赵爽弦图巧解一道试题

<正>《中学生数学》2021年2月下(初中版)刊登了胡婷华老师的文章《一道考试填空题的多种解法》.在分析图形特点后,胡老师采用转化做差的思路通过旋转法、作高法求出了问题中的三角形的面积,读后深受启发.但是,本题是一道填空题,真的那么难?需要那么复杂的解题过程吗?基于对问题中所给出条件的深度探究,笔者发现:如果将所给图形补成赵爽弦图,那么就可以充分利用赵爽弦图的优美性质求解面积问题.这样做不仅可以使解答过程更加简洁,还可以体现赵爽弦图在解决平面几何问题中的作用,彰显蕴含其中的教育价值.在此与大家分享这种想法.     

一道课外练习题的再挖掘

<正>2014年8月下,本刊刊登了山东刘继征老师提供的一道课外练习题及参考答案;2015年10月下,本刊刊登了内蒙古丁华老师的《一道课外练习题的简解与挖掘》(下称文[1]),文[1]给出了更简单的解法,并进行了5次挖掘,还留了两个问题.笔者读完以后,收获很多,并对挖掘五的问题产生了极大兴趣,为了回答这一问题,先对这道课外练习题进行再一次的挖掘.     

两道试题的简解

本刊2012年11、12月上半月刊登载了两篇文章《一道联考填空题的五种解法》和《关于一道期末考试题的解法研究》,文[1]和文[2]介绍了两道试题的解法     

《对一道竞赛题的探究与推广》的推广

<正>1文[1]简介在学必修二时,老师介绍了《中学生数学》2017年4月的刘刚、赵毅老师《对一道竞赛题探究与推广》供我学习,收益颇丰.文[1]探究的题目是2016年福建省高一数学竞赛15题:圆O的圆心在坐标原点,过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A、B两点,当直线l平行     

追寻本质解法 变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究

一、试题呈现题目(2011年北京市初二数学竞赛试题)如图1,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为().1017A.17B.C.210D.2233二、分析与解法本题以学生熟悉的正方形为基本图形,主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识,是一道综合性较强的试题.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移动,它的位置不确定,这也增加了试题的难度.笔者通过     

凸四边形一个性质的推论及应用

《中学生数学》(初中)2010年第3期登载的盛道明老师的"巧用凸四边形的一个性质解题"一文(下称文[1]),介绍了凸四边形中一个     

从一道研究生入学考试题谈起

《中国考试》2 0 0 2年考研专刊 (2 0 0 2年 7月 )《复习线性代数的几点建议》一文 (以下简称文[1 ]) ,讲到一道行列式的某行元素余子式之和的计算 ,笔者认为值得商榷。题目为 2 0 0 1年数学四的一道填空题 :设行列式D =3 0 402 2 2 20 -70 053 -2 2,则第四行各元素余子式之和的值为　　　。文 [1 ]的求解过程如下 :分析　本题主要考查余子式的概念及三阶行列式的计算。　M41 +M42 +M43+M44=0 402 2 2-70 0+3 402 2 20 0 0+3 0 02 2 20 -70+3 0 42 2 20 -70=-56+ 0 + 42 -1 4 =-2 8笔者认为 ,这样解本题应该不是命题者的初衷。此题主要考…     

也谈一个不等式的证明

<正>本刊今年第四期发表了《美国数学奥林匹克试题的别证》(以下称为原文)一文,对一道美国数学奥林匹克试题:     

一道全国竞赛题的简单解法

<正>题目(2012年全国初中数学联赛第二试(B)试题)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.贵刊2013年第4期《一道竞赛题的另一解法》、第10期《一道联赛题的"通俗"解法》和《直角三角形的一个性质及应用》三篇文章分别用不同的方法介绍了对此题的求解过程,足见读者对这个问题的钟爱与兴趣,三篇文章的求解繁简不一,各有所长,令人耳目一新,认真     

一数学证明题引出的思考

<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考.     

椭圆的共轭直径的1个性质的三点注记

《数学通讯》2015年第10期下半月（教师）刊登了张留杰、周明芝两位老师通过对一道期末试题的研究,获得了椭圆共轭直径的一个性质,拜读两位老师的文章,深受启发.为了说明问题,特将作者研究的试题和两位老师的研究结果转述如下:题目（2015年1月北京市东城区高三期末试题）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为3^1/2/2.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为     

西部数学奥赛一题优美简捷的证明与推广

<正>拜读《中学生数学》高中版2008年第2期P₂₉页《西部数学奥赛一题的三角证法》一文,欣赏了宿晓阳老师提供的三角证法的新颖之处,但是同时感受到证明过程的曲折与繁复,因此,笔者产生了对该试题证明过程进行优化、     

向量性质的一个有趣推广

在文[1]中由一道高考试题得到了圆锥曲线的一个有趣的向量性质，下面对它作进一步的推广：     

一道2011年自主招生题的探究与反思

题目(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生第7题)求|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.本题作为最后的压轴题,完解本题,意义非凡.对多数考生和老师来说,题型新而难,是备考中没有见过的,不知从何入手.实际上,文[1],[2],[3]对此题型作了专门探讨,分别用绝对值不等式性质和分段函数的单调性给出了结论及其证明.在此基础     

竞赛题的解法探究与变式拓展

<正>1.试题2016年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛填空第8题是这样一道题目:例1如图1,D为△ABC内一点,并且满足AB=CD=4,∠A+∠BDC=1800,试确定S△ABC-S△BDC的最大值.试题考查了四点共圆、等腰梯形、平行四边形的判定与性质以及两边已知的三角形面积最值问题.试题综合性强,解法灵活,考查了数形结合、转化等数学思想及割补的解题方法,检测了推理及分析问题与解决问题的能力.如何添加辅助线是本题的难点,要充分利用已知条件从构造圆、全等三角形入手解决.     

2009年山东卷压轴题的简解与引申

2009年山东卷理科压轴题,是一道以椭圆几何性质为素材的解析几何试题,旨在考查学生分析问题的能力.不难看出,命题组给出的第(Ⅱ)小题的标准答案,解法比较繁琐.本题若运用三角函数的定义、平面几何知识与数形结合的思想方法等去处理,解题思路自然、简捷、合理;同时,本文拟将它引申为更一般的情形.……     

2016年上海高考数学理科22题解析及复习启示

2016年上海市高考数学理科第22题是一道难得的好题.本题有多种解法,几乎涵盖函数、解不等式的重要知识点,可谓“一题考尽函数”.笔者给出多种解法,并结合本题作出对高三的复习建议. 试题 已知a∈R,函数f(x)=log2(1/x+a).