数学活动：神奇的莫比乌斯带

<正>1研究背景同学们,你是否知道莫比乌斯带?是否也对它充满了好奇?为此,我深入探究了一下.2研究目的验证莫比乌斯带的"单侧"性质:不翻越纸带的面一次能走完整个纸条;以不同方式剪开纸带,剪完后纸带哪些仍还保留单侧性质.3研究方法(1)实验(试验有几种剪开情况,以及是否具有单侧性质)(2)统计(统计实验结果,分类讨论)     

魔力画廊

数学上奇妙的莫比乌斯带 我们日常生活中的平面,如纸面、黑板面、玻璃板面……都有两个面--正面和反面,也就是说假如有一只聪明的蚂蚁,若不越过边界它不可能从一个面爬到另一个面.     

圈梯形图序列的嵌入

本文主要研究确定圈梯形图序列和莫比乌斯梯形图序列(由梯形图类生成的图)的亏格分布.首先利用运算矩阵讨论梯形图类的亏格分布,然后利用加边规则,在梯形图类上加边,得到圈梯形图序列或莫比乌斯梯形图序列,进而得到圈梯形图序列(莫比乌斯梯形图序列)的亏格分布.另外,还验证了经典梯图亏格分布的渐近正态性.     

莫比乌斯带的教学探究

在二期课改实验中,学校积极鼓励教师参与校本课程,特别是探索拓展型课程的建设与实施.初一年级开设了拓展课“初中几何教学—直观操作实验”,莫比乌斯带是其中的一节,原来准备一节课的内容竟用了六个课时,我和学生沉浸其中,有了很多感悟和体会.一、课堂教学中引出的话题“莫比乌斯带”的教学是从一条纸带开始的.上课伊始,我以纸条引出了话题:“这是你们常见的纸条,能说说它的什么用途吗?”“打输了牌当胡子贴.”“上课传递消息.”“制作模型时,用纸条代表道路.”……同学们你一言我一语,打开了话匣子.“这位同学说可以用纸条代表道路,这让我…     

奇妙的莫比乌斯带

1865年,德国数学家莫比乌斯(1790-1868)发现:将一条长方形的纸带ABCD,如图1,用一只手拿住CD一边,另一只手将AB边扭转180°,使A点与D点,B点与c点分别对准粘合成如图2那样的纸带圈.若     

Blaschke张量的行列式为常数的2维子流形的研究（英文）

本文研究了S^2+p中2维子流形的莫比乌斯刚性问题.设M~2是2+p维单位球S^2+p中的无脐子流形,M~2在S^2+p的莫比乌斯变换群下的四个莫比乌斯基本量为莫比乌斯度量g,Blaschke张量A,莫比乌斯形式Φ以及莫比乌斯第二基本形式B,利用不等式估计,证明了下列刚性定理:设x:M~2→S^2+p是2+p维单位球S^2+p中莫比乌斯形式消失的2维紧致子流形,Blaschke张量A的行列式Det A=c(const)> 0,若tr A≥1/4,那么x(M~2)莫比乌斯等价于S^2+p中常曲率极小子流形或者■中环面■,其中■.本文的证明补充了文献[3]中2维子流形情形.     

Blaschke张量的行列式为常数的2维子流形的研究

本文研究了S^(2+p)中2维子流形的莫比乌斯刚性问题.设M^(2)是^(2+p)维单位球S^(2+p)中的无脐子流形,M^(2)在S^(2+p)的莫比乌斯变换群下的四个莫比乌斯基本量为莫比乌斯度量g,Blaschke张量A,莫比乌斯形式Φ以及莫比乌斯第二基本形式B,利用不等式估计,证明了下列刚性定理:设x:M^(2)→S^(2+p)是^(2+p)维单位球S^(2+p)中莫比乌斯形式消失的2维紧致子流形,Blaschke张量A的行列式Det A=c(const)>0,若tr A≥1/4,那么x(M^(2))莫比乌斯等价于S^(2+p)中常曲率极小子流形或者S^(3)(1/√1+c^(2))中环面S^(1)(r)×S^(1)(√1/1+c^(2)-r^(2)),其中r^(2)=2-√1-64c/4(1+c^(2)).本文的证明补充了文献[3]中2维子流形情形.     

一节别开生面的解题探究课

众所周知,解题教学是高三数学总复习教学的重要环节,解题教学质量的高低直接决定总复习教学的效果.如何提高解题教学的质量呢?而不久前笔者的一节解题探究课一方面通过心理学相关知识的辅助,另一方面在呈现方式上进行了新的尝试,取得了一定的收获.下文是这节课堂教学的实录及若干反思,不当之处敬请指正.1 一节利用心理学图形进行解题情境创设的探究课师:众所周知,数学思维的特点是它的抽象性,抽象的概念通常是以图象的形式储存和呈现的.因此数学思维活动在大多数场合都以图象的组合和变换的方式来实现,对图象的恰当应用必然有助于数学创造性思维的发生.那么大家看过图1这幅图形吗?自然界存在这样的图形吗?生:看到过,麦比乌斯圈!我在自然界没有看到过这样的图形,但是确实可以做出这样的图形的!师:很好,麦比乌斯圈是一种单侧、不可定向的曲面.当然也存在着这样的图形.同时它也是拓扑学中最有趣的单侧面问题之一.麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑、艺术、工业生产中.那么在自然界大家有没有见过如图2-5这样的图形呢?     

麦比乌斯带

麦比乌斯带是一种单侧、不可定向的曲面．将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起，得到的曲面就是麦比乌斯带．是以它的发现者德国数学家、天文学家麦比鸟斯的名字命名的．     

扭环粘正n棱柱外侧面数的确定

本文给出了一个确定扭环粘正 n棱柱外侧面数的简洁且具有一般性的结论 ,它可以看成是麦比乌斯带在一定意义下的推广 .对该棱柱的其它性质也进行了讨论 .     

为什么多一圈

圆是个非常特别的图形,它有许多性质是其它图形没有的.我们如果有两个一元的硬币,把一个固定,另一个绕它滚动一周,由于两个硬币周长相等,那么是不是转了一周呢?其实不是.我们通过观察发现:最右边的硬币在绕它左边的固定硬币滚动,并滚动到固定的硬币左边时,已经转了一圈,因此回到起点时,就转动了两圈,比我们     

裁剪出的美

剪纸是我国最古老的民间艺术之一,作为一种镂空艺术,其在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受.它常被贴在纸窗上,所以又叫“窗花”. 你发现什么了吗? 没错,就是对称. 右边这美丽的窗花是什么图形呢? 嘿嘿,它既是轴对称图形又是中心对称图形. 你知道它有几条对称轴吗?     

起跑线的学问

学校年年举行运动会,不知你有没有观察到,田径场上为何会有这么多不同的起跑线呢?你了解其中的道理吗?你会解释吗?你自己会精确确定起跑线吗?恐怕连总获得冠军的运动员们也不太了解其中的道理. 那么,我就来说一说这起跑线中的学问. 如图 1 所示:设O为圆心,弧长S的半径为r,设圆心角为a 弧长S’的半径为(r d), 弧长S”的半径为(r 2d), 由上述材料可得出每一圈的弧长都会比前一圈的     

平分火腿三明治

用两片不同颜色的面包,中间夹一片火腿,做成一个火腿三明治.问只切一刀就将这个三明治的三层同时分成等体积的两半,这个切法一定存在吗? 我们先来看平面上的一个简单情形. 对于平面上的一个任意形状的封闭图形,用一条直线将它平分为面积相等的两半,这样的直线一定存在吗?若存在,有多少条? 特殊地,如果这个图形是圆,那么很容易得到,通过圆心的任意一条直线,都将该圆平分为等积的两半(两部分不仅面积相等,而且     

反证法证题漫谈

给定一条线段AB,大家都会用尺规画出它的中点M,这在数学上只表明线段AB中点的存在性.还能画出线段AB的另一个中点吗.大家会说不能了!线段AB的中点只有一个.再追问一下:你如何敢肯定线段AB的中点只有一个呢?我们的回答:可以如下来证明.     

一剪刀剪出一条正弦曲线

把一张纸卷到圆柱形的纸筒侧面上 ,卷上几圈 .用剪刀斜着将纸筒剪断 ,再把卷着的纸展开 .你就会看到 :纸的边缘线是一条波浪形的曲线 .你知道吗 ?这条曲线就是正弦曲线 !下面就来证明这一事实 .如图 1,设纸筒底面半径为 1单位长 ,截面 (椭圆面 )与底面所成的二面角为θ(定值 ) ,截口的中心为Ｏ′ .过Ｏ′作圆柱的直截面 ,交截口曲线于两点 .取其中一点为Ｏ ,在过点Ｏ且与圆柱侧面相切的平面内 ,以点Ｏ为坐标原点建立直角坐标系 ,使得ＯＹ轴是圆柱的一条母线 .设点Ｐ是截口曲线上任意一点 ,点Ｑ是点Ｐ在⊙Ｏ′所在平面内的射影 .过Ｑ作ＱＨ⊥…     

曲面上图的短圈结构与Mohar和Thomassen的一个问题的解决

研究了(赋权)图的圈基结构并且对包含在最小圈基中的短圈提供了大量信息. 建立了一个基变换的Hall型定理, 利用此定理, 给出了判断一个圈基是最小圈基的充分必要条件, 而且，证明了一个(赋权)图的最小圈基结构是唯一的. 这一性质对于最大圈基也成立 (尽管在最小圈基方面已有很多工作, 而在最大圈基方面的工作几乎没有). 利用这些方法， 发现了(赋权)图中具有特定性质的短圈的一些新结果. 作为应用， 决定了一个嵌入图的短圈的结构, 并找到一个多项式算法能够判断一个嵌入图中是否存在双侧圈, 如果这样的圈存在, 就可以找到一个最短的双侧圈. 这回答了B. Mohar和C. Thomassen提出的一个未解决问题, 并对他们提出的另一个未解决问题给出了部分解答.     

超拟阵的独立集公理、基公理和圈公理

Dunstan等在1972年首先提出了超拟阵的概念,用以将定义拟阵的承载集合从有限集推广到偏序集.Barnabei等在1998年研究了另一种偏序集上的拟阵结构,即偏序集拟阵.由有限分配格和有限偏序集之间的对应关系可知,偏序集拟阵就是分配格上的超拟阵.本文研究超拟阵的公理系统,建立模格上的超拟阵的独立元公理,证明模格上超拟阵的中间基性质和基的交换性质并用这两个性质分别刻画了模超拟阵.最后指出了Barnabei等给出的分配超拟阵圈公理中的一个错误,重新提出并证明分配超拟阵的圈消去性质并建立了分配超拟阵的圈公理.作为圈消去性质的一个应用,本文证明了分配超拟阵中覆盖基的元素包含唯一的圈.     

完全偶图的圈基内插性质

图G的一个圈基的长度是该圈基的所有圈的长度之和。设C^-、C^ 分别是G的最小、最大圈基长度,如果对任一偶数C,C^-＜C＜C^ ,都存在G的一个长为C的圈基,则称G具有偶圈基内插性质,本证明了,完全偶图Km,n具有偶圈基内插性质。     

六年级几何课的计划(续)

第五十一课本课主题:各边两两对应平行的角的性质本课计划Ⅰ.课外作业检查.Ⅱ.学习新教材.有没有一个角,它的两边平行?为什么不能有这种角?能否有两个角它们的边对应平行?‘对应’二字怎样讲法?怎样画这种角?用什么仪器?今天我们就是研究两边对应平