例谈两条二次曲线相切问题错误解法之防范

我们知道直线与二次曲线相切的问题常可用判别式法(以△=0为其特征)来解,从运动的观点来看,△>0到△=0的几何表现是直线与二次曲线从有两个公共点到逐渐重合为     

这样的直线有几条？

过一个定点和双曲线只有一个公共点的直线有多少条 ?这个问题可分如下两类情况考虑 :第一类是经过这点且和双曲线相切的直线记为 (一 ) .第二类是经过这点且和两条渐近线中的一条平行的直线 ,记为 (二 ) .我们把定点在平面内的位置分为如下 5种情况 :1 )点在双曲线的内部 (含焦点的部分 ) ,记为① ;2 )点在双曲线上 ,记为② ;3)点在双曲线外部 (不含焦点的部分 ) ,但不在渐近线上 ,记为③ ;4 )点在渐近线上 ,但不在原点 ,记为④ ;5)点在原点 ,记为⑤ .本问题的答案可以由表 1给出 .表 1　过定点与双曲线只有一个公共点的条数(一 ) (二 )总计…     

圆与椭圆只有一个公共点是相切的什么条件

1 研究背景 上教版九年级第二学期教材中,在讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时,根据公共点的个数分为三种情况,其中只有一个公共点,被称为相切. 上教版高二第二学期教材“圆锥曲线”一章中,通过联立直线和圆锥曲线方程,讨论方程组解的个数,来解决直线与圆锥曲线公共点个数问题,但是并未给出类似“只有一个公共点,被称为相切”的定义,这是为什么?例如,直线y=1与抛物线y2=2x(如图1)只有一个公共点,但不相切,可是为什么不相切?什么是相切?     

二次曲线的切线两种定义的等价性

众所周知,若直线与椭圆仅有一个交点,则称此直线为椭圆的切线,但这一定义对一般曲线来说可能不成立,即若直线与曲线仅有一个交点,此直线与曲线未必相切,因而平面曲线与直线相切的定义应为:设有曲线C及C上一点M,在C上任取一个异于M的点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.然而当曲线C为平面二次曲线时我们可以断言这种定义在去掉某些特殊情况时(即直线的方向为二次曲线的非渐近方向且M(x0,y0)不是C的奇点)是等价的.本文将对此结论作出证明.首先考虑直线与二次…     

82 相交两圆的性质

这是一节“计算机辅助教学”的课例．要准备的教具有：电脑、电子眼、投影屏幕等．］１类比引入前节课,在讨论圆和圆的位置关系时,还学习了相切两圆的性质．“两圆相切有什么样的性质？”（学生答后,显示图１）结合图１说明：两圆相切→只有一个公共点→连心线必过切点...     

2005年高考江西卷压轴题的另证及推广

理（22）题：如图1，设抛物线C：y=x^2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点：     

充分利用二次曲线的定义解题

李存虎 ( 194 7— ) ,男 ,陕西蓝田人 ,中学高级教师高中数学教材关于椭圆、双曲线、抛物线给出第一定义和统一定义 .第一定义展示了三类曲线的各自独特的性质及几何特征 ;统一定义则深刻地揭示了三类曲线的内在联系 ,使焦点、离心率、准线等构成和谐的整体 .灵活地运用这两种定义在二次曲线中解有关证明、计算及求点的轨迹问题时 ,能达到直观方便 ,简洁易行的解题效果 ,同时能开拓学生视野 ,加深对二次曲线的认识和理解 .例 1　已知椭圆 ｘ216 ｙ27=1及点Ｍ ( 2 ,1) ,Ｆ1 ,Ｆ2 分别是左、右焦点 .设Ａ是椭圆上的动点 ,求 |ＡＭ | |ＡＦ2 |…     

一类两圆锥曲线有唯一公共点的充要条件

一类两圆锥曲线有唯一公共点的充要条件浙江永康一中胡望杰《数学通报》１９９１年第６期刊登了赵善基同志《与二次曲线相切于顶点的“最大圆”的不等式求法》（下称文［１］）．１９９２年第１２期又刊登了曾令伶，朱曼茹同志《点和线位置关系的几个结论在解题中的应用》...     

与双曲线仅有一个公共点的直线有几条

与双曲线仅有一个公共点的直线有几条湖南邵阳教育学院王正第研究直线与二次曲线的位置关系是平面解析几何的主要内容之一．其中过已知点与给定二次曲线只有一个公共点的直线有几条？对于圆、椭圆和抛物线来说较为简单．但对双曲线来说稍为复杂，学生对此往往感到困惑．例...     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

与二次曲线相切于顶点的“最大圆”的不等式求法

在平面解析几何中,有一类问题是在二次曲线的某一侧求出一个与该已知二次曲线和切于顶点的最大圆。这类问題的常规解法是通过联立该二次曲线及与该二次曲线相切于顶点半径为R的圆的方程,来确定这个“最大圆”的半径R_0。应当指出,用这种方法所确定的半径R_0,往往还需要证明它是“最大圆”的半径,也就是说,还必须证明如下两点:     

圆与圆的位置关系

一、启发提问图７－７７１．如图７－７７,⊙Ｏ１、⊙Ｏ２沿直线Ｏ１Ｏ２作相向运动,请观察：（１）两圆有无公共点？若有公共点？有几个？（２）在哪几个位置时⊙Ｏ１与⊙Ｏ２有一个公共点？（３）在什么位置时⊙Ｏ１与⊙Ｏ２有两个公共点？２．设⊙Ｏ１的半径为ｒ,⊙Ｏ２的半径为Ｒ,Ｏ１Ｏ２＝ｄ,试用ｄ、Ｒ、ｒ之间的数量关系表示两圆的五种位置关系．３．若两圆相切,则连心线必过．４．连心线是一条直线,相交两圆的连心线公共弧．二、能力训练１．填空图７－７８（１）设⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径分别为ｒ、Ｒ（Ｒ≥ｒ）．Ｏ１Ｏ２＝…     

二次曲线相切的判别法

二次曲线相切的判别法简超（武汉铁路成人中专４３００１２）文［１］—［３］研究了二次曲线相切于顶点的情形，本文讨论二次曲线相切的一般判别法．引理设非退化二次曲线Γ１，Γ２的方程为Γｉ：Ｆｉ（ｘ，ｙ）＝０（ｉ＝１，２），其中Ｆｉ（ｘ，ｙ）≡ａｉｘ２＋２ｂ...     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

关于二次曲线切点弦的几个定理

所谓二次曲线的切点弦,即从二次曲线外一点向曲线作两条切线,连接两切点的线段。其方程由下面几个定理给出。定理1：过园x~2 y~2=r~2外一点p(x_0,y_0)引园的两条切线,设切点分别是p_1,p_2,则切点弦(即p_1p_2)的方程为     

有心二次曲线的一个性质及应用

本文向读者介绍一个有心二次曲线的切线的定理, 定理:如果有心二次曲线x“/a2土夕“/乙么=1两焦点F:(C,0)和F:(一C,0)到一直线Ax+B升+C=o的距离是d,和d:,那么这直线与这二次曲线相切的充要条件是:d:d:二西“。 下面仅给出椭圆的证明:如图,x里/4。+,么八。=1,试确定直线关于椭圆的位置关系. 解‘,=a名一b名=吐。一10=30, :.两焦点坐标为F,(了丽,。)、F:(一粼丽,0),则d ld:=13甲丽一幼1}一3矿示一201 32+2:,.’d= d:二」.之军么衬A“+B“!一Ac+C】护A“+B汤 .’.dld:=.!之红生叮} 扩A“+B“兴料全丫F:、F:在直线的同侧, ·’.dld:=西2…     

两圆相切的判定及应用

初中教科书在介绍圆和圆的位置关系时,给出了两圆相切的判定方法,即:设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,若d=R+r,则两圆外切;若d=R-r(R>r),则两圆内切.本文不妨统称为"圆心距法".下面介绍另一种判定方法,这里统称为"公切线法".一、两圆相切的判定1.两圆外切的判定过两圆的公共点作     

二次曲线与其任意两条切线所围面积为定常值的问题研究

本文得到了二次曲线的任意两条相交切线与曲线本身围成的面积如果为定常值，则切线交点的轨迹仍为同类型二次曲线．又若给定两条同类的二次曲线，由其中一条上的每一点向另一条引出两条切线，则这两条切线与另一条曲线围成的面积为定常值．     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

探究正方体中的截面问题

用一平面去截一立体图形所得平面图形，实质上是对空间想象能力和平面基本定理的考查．对作截面的方法有如下两种：（1）利用平面的基本定理：一条直线上有两点在一平面内，则这条直线上所在的点都在这个平面内．两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线．（2）利用线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线．笔者将从以下几个方面进行探讨．