外周界中点三角形的一组优美性质

文[1]建立了三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念: 若将三角形的一条边延长,使其延长部分等于另两边之和,那么就称这条边与其延长部分构成的线段的中点为三角形的外周界中点.并以逆时针绕行方向延长三角形各边所得的外周界中点为顶点构成的三角形称为正向外周界中点三角形,简称外周界中点三角形.     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

平面几何中的面积证法(三)——共边及共角定理的综合应用

<正>文[1]、[2]分别介绍了共边定理和共角及其应用,充分体现了这两个定理在平面几何证明中的强大威力.因此,这两个定理值得我们重视和掌握它们的运用技巧.例1如图1,在单等对边四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点,直线EF与BA的延长线、CD的延长线分别交于点     

2010年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边Bf的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.     

见到中点,你想到什么

线段的中点是几何图形中一个特殊的点.见到中点我们应当构造出等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线、中心对称图形、三角形与梯形中位线等基本图形;掌握添加辅助线的方法:中点、中线、延长线、平行线.     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

一道第49届IMO试题的解题分析

第49届IMO第一题是一道平面几何题:已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A_1,A_2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B_1,B_2;以边.AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C_1,C_2.证明:六点A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2共圆.     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

试题 　　1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)……     

两道数学题的另证

<正>题1[1]如图1,在锐角△ABC中,M为边AB的中点,AP⊥BC于点P,△BMP的外接圆与边AC切于点S,延长MS、BC交于点T.证明:直线BT与△AMT的外接圆切于点T.证明如图1所示,连接MP、BS.在Rt△APB中,由题设知AM=BM=PM,则∠MSB=∠MPB=∠MBP=∠MBT.     

解答与三角形折心有关的一个问题

记△ABC中x边上的中点为Gx,x∈{a,b,c}(a≥b≥c),Fx为a、b、c三边中除x边外的另两边所成折线长的中点.称Fx为相对于x边的折中点,线段FxGx为x边的折中线.文[1]证明了三角形的三条折中线共点(此点称为三角形的折心)以及折心的一些性质,且文[1]末提出了如下问题　设Fx是△ABC的折中点,Ix是x边对角的平分线与x边的交点,证明或否定:FaIa、FbIb、FcIc三线共点.笔者对此问题研究的结果是:对不等边三角形而言,以上三线不共点.证明　当a=b=c时,FaIa、FbIb、FcIc显然共点.下面对a≥b≥c(等号不同时成立)进行讨论.如图1,设FaIa与FbIb相交于…     

陈省身杯一赛题的别证

题目[1]在△ABC中,D、E分别为边AB、AC的中点,BE与CD交于点G,△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P(P≠A),AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L(L≠A).     

三角形外心一个性质的多方位推广

在文[1]中,李耀文老师揭示了三角形外心的一个鲜为人知的优美性质,即 　　定理0 在三角形中,外心和任一顶点连线的中点,与对边中点连结而成的线段,必通过外心和欧拉圆心(即九点圆心)连线的中点,且被这个点平分.……     

一个有用的几何命题

命题1点P是△ABC的边AC的中点,E F过点P交BC于F,交BA的延长线于E,则S_(△BAC)∠C,过A作AD∥BC,交线段PE于点D,     

动点使小题升辉

<正>让我们看一下2018年北京市中考数学第14题:如图1,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为____.E是边AB的中点,是一个特殊点,让这个点动起来,会怎么样?首先想到变E为边AB其他特殊点,其次变E为边AB上的任意一点,使问题一般化,提高思维的灵活性,深刻     

三角形的五心初谈(二)

<正>3伴随三角形用塞瓦定理不能直接证明三角形的外心,原因是对一般的三角形来说,三边的中垂线并不一定过三角形的顶点,因此不一定是塞瓦线,所以不适合应用塞瓦定理.下面的转化关系是很有趣的.如图12,△ABC的中点三角形为△A_1B_1C_1,中点三角形的三条高线共点H,就是△ABC三边的中垂线共点.     

一个几何命题及其应用

命题过定角内一定点的直线与角两边围成的诸三角形中,当定点是该边中点时,此三角形面积最小。证明如下左图,M为定角∠O内一定点;直线AB过点M与∠O两边分别交于A、B,且AM=MB;任一直线A′B′过点M与角两边分别交于A′、B′。过B作BC//OA(若B在OB′延长线上,则A     

三角形中位线定理应用例谈(下)

<正>(三)综合例题例7如图15,点O是凸四边形ABCD内一点.∠AOB=∠COD=120°,AO=OB且CO=OD.K是AB中点,L是BC中点,M为CD中点.求证:△KLM是正三角形.证明如图15,连接BD、AC,设BD,AC交于P.易知△BOD≌△AOC(边、角、边),所以BD=AC.∠PBO=∠PAO.     

构造相似三角形解几何计算题

<正>有这样一道几何计算题,图形简洁,但解法众多,每种解法都离不开构造相似三角形.题目如图1,在△ABC中,D是边AC上一点,E是BD的中点,且∠DCE=∠ABD,若AB=3,AC=4,求CD的长.解法1延长DC到点F,使CF=DC,连接BF,如图2.     

中考中的中点四边形

<正>一、中点四边形及性质顺次连接多边形各边中点所得的新多边形叫做原多边形的中点多边形.性质1中点四边形的形状取决于原四边形对角线的关系:(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形;(2)对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形;(3)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;(4)对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.