Birkhoff系统的Poincaré-Cartan积分不变量

基于现代微分几何学,分析了作为保守系统和非保守系统的推广——Birkhoff系统的辛结构.构造Birkhoff系统的Poincar-Cartan积分不变量.最后,将一维阻尼振动作为示例,求出其Poincar-Cartan积分不变量.     

非线性非完整系统相对于非惯性系动力学的积分理论*

本文建立非线性非完整系统相对于非惯性系动力学的积分理论.首先,由这种相对运动的Routh方程给出系统的第一积分;其次,分别利用系统的循环积分、能量积分降阶运动方程,得到推广的Routh方程和推广的Whittaker方程;再次,建立这类系统运动的正则方程和变分方程,并由第一积分构造系统的积分不变量;然后,给出系统的Poincare-Cartan型积分变量关系和积分不变量.最后,给出一系列推论.     

一类非线性积分不等式组中未知函数的估计

研究了一类二维非线性积分不等式组,该不等式组积分号外有非常数因子,不能用向量形式的Gronwall-Bellman型积分不等式进行估计.先利用Bernoulli不等式把非线性问题转化成线性问题,利用变量替换技巧和放大技巧研究只含有一个未知函数的积分不等式,接着利用两个引理和变量替换技巧和放大技巧给出不等式组中两个未知函数的估计.结果可用于研究积分、微分动力系统解的性质.     

Khler流形上的不变形式和积分不变量

用现代微分几何理论和高等微积分把Poincaré和Cartan_Poincaré积分不变量的重要思想和结果以及E.Cartan在经典力学中首先建立的积分不变量和不变形式的关系推广到Kahler流形上的Hamilton力学中去,得到相应的更广泛的结果.     

全微分方程与积分因子定义的修正

一个方程是否为全微分方程,或者一个方程是否有积分因子,都与方程的定义区域密切相关.本文纠正了通行教材中全微分方程和积分因子的不严谨的定义,并修正了全微分方程判定定理和方程仅有依赖于单个变量积分因子的判定定理.     

积分因子的一种直接求解方法

充分利用变量分离微分方程为恰当方程的事实,通过引入有限次的变量替换并借助求导的链式法则,本文提出了一种求解积分因子的直接方法.该法针对一阶常微分方程,只要其通过有限次变量替换能化为变量分离微分方程,那么积分因子和通积分均可直接求得.     

完整动力系统的积分不变量

本文利用Ｐｏｉｎｃａｒｅ形式研究了一个保守完整动力系统的积分不变量，对异步变分引入了新的参数，给出了Ｐｏｉｎｃａｒｅ和Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｃａｒｔａｎ积分不变量的一个推广。     

Clifford分析中超正则函数的拟Cauchy型奇异积分算子的换序公式

研究了Clifford分析中弱奇异积分算子和以弱奇异积分算子的奇点为积分变量的带参量的Cauchy型奇异积分算子在Liapunov闭曲面上的换序问题.首先证明了相关的奇异积分的性质,并利用这些性质证明了两个累次积分是有意义的,然后将积分区域分为几部分,从而将积分算子分为带有奇性的部分和不带奇性的部分.证明了带有奇性的部分的极限是零,不带奇性的部分相等.这样就证明了弱奇异积分算子和以弱奇异积分算子的奇点为积分变量的Clifford分析中超正则函数的拟Cauchy型奇异积分算子的换序公式.     

积分变量变换公式的类比和应用

利用类比思想,通过对定积分和二重积分的变量变换公式进行比较、分析、联想,然后推出n重积分的变量变换公式,有助于简单快速地理解和掌握不同维数的积分变量变换公式.举例说明如何借助极坐标变换来构造一类重积分计算的有效变换.     

Birkhoff系统的Poincare—Cartan积分不变量

基于现代微分几何学，分析了作为保守系统和非保守系统的推广－Birkhoff系统的辛结构。构造Birkhoff系统的Poincare-Cartan积分不变量。最后，将一维阻尼振动作为示例，求出其Poincare积分不变量。     

Poincare‘—Cartan积分不变量的推广和Dirac猜想

该文将Poincare－Cartan积分不变量推广到显含时间的高阶微商奇异拉氏量系统，研究了该不变量与正则方程、正则变换之间的联系，讨论了广义Poincare－Cartan积分不变量与Dirac猜想的关系，以一个例子说明，对高阶微商奇异拉氏量系统，Dirac猜想是无效的．     

非Fuchs型方程的新理论——树级数解的表现定理(Ⅱ)

本文的主要结果是证明表现定理:非正则积分是类新颖解析函数,它表成Taylor-Fourier混合型树级数,其中Fourier级数的每一系数本身都是Taylor级数,而所有Taylor系数则是方程参数的常项树级数,每一系数的高阶修正项具有树结构的无穷繁衍性. 证明此树级数解在原方程的系数定义域中解析,收敛条件是方程的结构因子小于1,直接代入可以验证树级数解逐代满足已知方程. 与经典理论相对比,本法的优点不仅可以给出非正则积分的显式,从而解决Poincaré问题,并能统一处理具有多种奇点的方程,扩大解析理论的研究范围. 利用树图法可得非正则积分的严格解析表述.据此易证树级解的收敛性,并满足方程. 树级数具有自守性,这与Poincaré猜测完全符合.     

Poincaré非正则积分问题的新进展

关于非Fuchs型方程,Poincaré曾经作出过重要的论断:没有方法可以求出非正则积分的显示表述.为了阐明这一论断的实质,我们证明对应定理:非正则积分是类具有树结构的新型解析函数,其中一部份解是通常的递推级数,而另一部则是不遵循递推关系的“树级数”.与经典理论(Hill-Poincaré-von Koch)计算无穷行列式的数值解不同,本法自然地给出严格解析解的显示表式.本法可以建立统一的解析理论以讨论一般变系数方程,包括有奇线在内的多种奇点.由于树级数具有自守性.我们讨论Poincaré猜测的意义.     

Coupling, convergence rates of Markov processes and weak Poincaré inequalities

Some analytic and probabilistic properties of the weak Poincaré inequality are obtained. In particular, for strong Feller Markov processes the existence of this inequality is equivalent to each of the following: (i)the Liouville property (or the irreducibility); (ii) the existence of successful couplings (or shift-couplings); (iii)the convergence of the Markov process in total variation norm; (iv) the triviality of the tail (or the invariant)σ-field; (v) the convergence of the density. Estimates of the convergence rate in total variation norm of Markov processes are obtained using the weak Poincaré inequality.     

Poincaré非线性振动理论在连续介质力学中的推广(Ⅰ)——基本理论与方法*

本文将离散介质的Poincaré非线性振动理论[1]向连续介质力学推广,做了初步尝试。首先讨论在非共振与共振情况下,连续介质线性强迫振动周期解,及其周期解存在条件。进而运用线性理论结果,将Poincaré理论中的主要结论推广到连续介质非线性振动问题中去。此外,本文提出并建议用偏微分方程直接摄动与加权积分方法,计算共振区内的周期解。     

非线性动力系统中两鞍-结分岔点间非稳定曲线的确定

采用将伪弧长延拓法与Poincaré映射法相结合的方法,确定非自治动力系统中两鞍-结分岔点间非稳定曲线,并对采用一般延拓法时出现的奇异性进行了证明。该方法引入了一正则化方程,避免了在求解过程中出现的奇异问题,并给出了相应的迭代格式。在曲线的延拓过程中,由于存在两个延拓方向,为保证将曲线延拓出来,给出了一种确定切线方向的方法,该方法在分析非线性振动系统中的双稳态现象等问题是很有效的。     

带Neumann 边界条件的$p(x)$-Kirchhoff 型椭圆系统的研究

本文研究一类带Neumann 边界条件的~$p(x)$-Kirchhoff 型系统解的存在性. 借助于Ekeland变分原理和变指数Sobolev空间理论, 我们给出使得该问题存在解的合适条件.由于Poincar\'{e} 不等式在$W^{1,p(x)}(\Omega)$ 中不再成立, 我们将在$W^{1,p(x)}(\Omega)$ 的某个子空间中证明Poincar\'{e}-Wirtinger 不等式.     

双曲极限环在周期扰动下次调和解的分支

研究了一给定平面自治系统的双曲极限环在周期扰动下m阶次调和解的分支问题,用Poincar啨映射,通过变尺度方法,获得了判别m阶次调和解的存在条件,最后给出了一个实例。     

Boundary element discretization of Poincar\'e--Steklov operators

Summary. The construction of a discretization of Poincar\'e--Steklov operators with the boundary element method is given providing the same mapping properties as the finite element discretization of these operators. Received October 1992 / Revised version received April 14, 1994