计数法（1）

所谓计数,就是估计或计算符合某些要求的对象的个数,换言之,就是给定-个有限集合S,要求出集合S所含的元素的个数|S|,或者对集合S的阶的上、下界进行估计.由于通常给定的集合各种各样,要判定一个元素是否属于它,绝非易事,要计算它所含元素的个数就更加困难.所以,如何计数的问题长期以来一直是人们关心的问题,它历来是组合数学研究的基本课题之一,也是各类竞赛的热点之一.     

反射原理在组合计数中的应用

平面镜成像是自然界一个很自然的物理现象 ,其特点就是相源与相之间关于平面镜是完全对称的 ,用数学语言描述就是像源设为Ｐ ,设像为Ｐ′ ,则平面镜就是线段ＰＰ′的中垂线 ,这一反射原理虽然简单直观 ,但它在数学中有很重要的应用 .本文探讨反射原理在组合计数中的应用 .回顾组合数Ｃｍｎ ,其基本的组合意义是从ｎ个不同的元素中取ｍ个不同的元素所得到的不同的ｍ元组合的个数 .这里我们给出另一个组合意义 ,它又表示两类元素全排列的个数 .定理 1　有两类元素 ,一类是ｍ个ａ ,另一类是ｎ -ｍ个ｂ .同类元素之间是没区别的 ,将这两类元素进…     

组合与排列的生成函数

组合与排列是一个基本的,伹又是一个重要的计数方法,它对概率论和数理统计的发展有很大的作用。如今,随着电子计算机科学的突飞猛进,它已经扩充到一门新的数学分支——组合数学或称组合论之中,成为该学科中计数问题的一个重要组成部份。     

用几何画板的轨迹功能探讨数学问题的解法

几何画板是数形结合的一个特殊工具,在未明确数学问题函数关系的情况下,利用它的轨迹功能,可以将量与量之间的变化曲线定量地描画出来.反过来,量的直观变化过程中图像上各个点,对应着数学问题元素之间的关系.几何画板实现了联动,拖动数学问题的元素,     

聚焦06年高考中的组合体问题

组合体通常是由两个或多个基本几何体按一定方式(如切与接、拼接、叠放等)组合而成的.组合体问题是高考中常考的内容,2006年高考十八套理科数学卷中,有十二道题涉及组合体问题.这类问题以组合体为依托,围绕对空间图形的想象,几何元素位置关系的识别以及角、距离、面积、体积等基本量的计算等方面设计问题,有较强的综合性.它不仅考查学生的基础知识,而且注重对数学思想方法和空间想象能力的考查.     

竞赛中的组合计数问题

组合计数问题是数学竞赛中常见的一类问题,解决这类问题的基本方法有： （1）运用枚举法．把要计数的集合M中的元素逐一列举出来。不重复不遗漏,从而计算出集合M中元素的个数．     

高中数学联赛中的组合计数问题

组合计数问题是组合数学的重要内容,加法原理和乘法原理是两个最基本的计数原理,不仅排列组合公式要运用它们推导出来,而且许多与计数有关的问题也可以直接运用它们来解决。     

容斥原理及其应用

容斥原理是解决组合计数这类数学问题的有力工具,一些具有某些重叠性质的元素的集合的元的个数的计算问题,应用一般方法不易着手,若应用容斥原量,则可迎刃而解。容斥原理有N件事物,其中N_a件有     

多元样条与离散数学相关问题研究进展综述

多元样条是计算数学与函数逼近论领域里重要的工具．近来,人们发现借助已发展成熟的多元样条函数理论,亦可对离散数学的一系列问题进行研究,主要包括组合数学与离散几何两个方面．组合数学方面,可对线性丢番图方程组整解数目、多面体内整点计数、Frobenius问题等相关问题进行研究．离散几何方面,可对凸多面体体积、单位立方体切面面积问题进行研究．本文主要综述这方面的研究内容与当前进展,阐述一些新结果,同时提出有待进一步研究的方向与问题．     

发掘向量试题的学习价值

<正>向量是近代数学中重要和基本的概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在数学中,向量的运算主要有三种类型,分别是代数运算、几何运算和坐标运算.下面以一道向量试题为例,谈谈三种类型的向量运算的具体应用.     

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(教学设计)

一、教材分析 1教材的地位与作用 本节课教学内容是《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》,是人数A版数学选修2-3第一章第一节内容.这两个原理是本章的重点基础知识,一方面它为后面学习排列、组合、随机变量的概率等内容提供了思想和理论依据,是学习排列组合e的基础;另一方面它的结论与其基本思想方法在解决本章应用问题时有许多直接应用,因此,它理应成为我们重点把握的教学内容.     

2010年、2013年北京大学暑期训练营组合题赏析

<正>组合数学是普通高中数学知识的一部分,主要涉及到组合计数以及一些基本组合技巧等.学生在课堂中主要学习计数方法和一些简单的组合数的公式,体现新课程标准对组合思想的理解.在近几年的大学自主招生试题和训练营试题中都或多或少的出现一些有关组合的试题,这些试题往往具有一些综合性,组合计数和函数最值等有某些联系.由此不难看出更侧重于考察的学生综合的数学能力.本文主要分析以下两个例题,期望同学们更加注重组合知识与其它知识点联系.例1(2013年北京大学暑期训练营组合试题)     

让向量算起来

<正>向量一章是教材中新增加的内容,向量内容已成为数学高考必考的新的双基内容.向量是近代数学中重要的、基本的概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.向量由大小和方向两个量确定,大小反映了向量数     

关注三点共线向量式中的实系数

向量是近代数学最重要、最基本的数学概念之一,其集形与数于一身,既有几何的直观性又有代数的抽象性,这决定了它是沟通几何、代数与三角函数的桥梁.因此,向量的内     

函数与几何综合题

函数与几何综合题,一直是近年来中考的命题热点.它将几何知识与函数知识巧妙组合,既考查几何与函数的基础知识的综合运用能力,又考查蕴含于这些综合题中的相关数学思想方法.不少中考试卷将这类试题置于试卷“压轴”位置,可见它有一定的难度.     

几何的跨界演绎

提到几何,我们最先想到的恐怕是那一道道磨人的数学题和一堆刻板的公式、定理,而常常忽略了它的美。在数学的世界里,从点、线、面到平面图形,再到立体图形,这些丰富的几何元素看似平凡,但是如果把它们组合在一起,或是把它们添加到适当的地方,却总让人惊喜,因为它们能变幻出层出不穷的美丽。     

IMO中的代数问题

IMO是国际数学奥林匹克的英文缩写,IMO的试题,就其内容而言,可以分为代数、几何、数论、组合四大部分,现在就IMO举办三十多年来其代数问题的基本情况、知识范围、能力要求和发展趋势,作一概要的描述,期望更多的关心数学奥林匹克的专家、教师和学生进一步深入地探讨这些问题,以便把握住数学奥林匹克跳动的脉搏。一、基本情况我们首先注意到IMO的代数问题常常与IMO的数论问题、组合问题、几何中的不等式问题和极值问题交织在一起,难以分辨,因此无法作出精确的统计,经     

函数几何综合题解析

函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型.这类试题,将几何问题与函数知识有机地结合起来,重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何的有关知识,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力.下面以中考试题为例,对此作一归类解析,供参考. 一、几何元素间的函数关系问题 这类问题以几何图形为依托,研究几何元素间的函数关系问题.它的求解步骤一般是:     

递推方法

递推方法肖扬通过建立递归关系来解决问题的方法称为递推方法．本文将介绍递推方法在解数学竞赛题时的一些应用．１．在计数中的一些应用利用递推关系计数是组合数学中的常用方法．它的一般步骤是：（ｌ）用ａ。表示与ｎ有关的欲计数的个数；（２）计算一些初始值ａ；，ａ...     

几何的跨界演绎

提到几何,我们最先想到的恐怕是那一道道磨人的数学题和一堆刻板的公式、定理,而常常忽略了它的美。在数学的世界里,从点、线、面到平面图形,再到立体图形,这些丰富的几何元素看似平凡,但是如果把它们组合在一起,或是把它们添加到适当的地方,却总让人惊喜,因为它们能变幻出层出不穷的美丽。几何之美让数学家们痴狂,同时也是设计师们极为钟爱的设计主题。谁说几