让学生在探索活动中真正“探”起来——《探索三角形全等的条件1》的课例思考

【案例背景】最近笔者听了一节初一的《探索三角形全等的条件1》的公开课,教师在这节课中组织了一些师生探索活动,笔者由此产生较多的想法.【案例回顾】师:上节课我们一起学习了《全等三角形》,请问:什么是全等三角形?生1:能够完全重合的两个三角形是全等三角形.师:全等三角形既然是完全重合的,那么它的对     

全等三角形的开放型题例析

全等三角形知识是初中几何的一个重点内容 ,也是几何证明的基础 .因此 ,全等三角形往往是历年中考的基本考点之一 .自国家教育部基础教育司颁发《关于2 0 0 0年初中毕业、升学考试改革的指导意见》之后 ,全国各省市的中考命题都有了较大的改革 ,出现了很多新颖别致的开放性题目 .以“全等三角形”为内容的开放题就是其中的一道亮丽的风景 .本文以近几年的中考题为例 ,分析“全等三角形”的各类开放型题 ,以飨读者 .一 .补充型题这是近几年出现较多的以全等三角形为内容的一类开放题型 ,它通常以填空题形式出现 .这类题是给定一部分条件 ,要求补充一个条件 ,使其两个三角形全等 .所要补充的条件往往是不唯一的 ,具有多种解答 .例如 :例 1　 (2 0 0 2年海南省中考题 )如图 1 ,ＡＢ =ＤＢ ,∠ 1 =∠ 2 ,请你添加一个条件 ,使△ＡＢＣ≌ △ＤＢＥ .则需要添加的条件是 .分析 :如图 1 ,由∠ 1 =∠ 2 ,易证∠ＡＢＣ =∠ＤＢＥ .又∵ＢＡ =ＢＤ ,因此 ,要使△ＡＢＣ≌ △ＤＢＥ ,根据全等三角形的判定定理 ,必须加上另外一个条件 :或ＢＣ =ＢＥ ,或∠Ａ =∠Ｄ ,或∠Ｃ =∠ＢＥＤ...     

探寻角含半角问题的类型及求解路径

新课标指出,数学教学应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.“角含半角模型”是指过等腰三角形的顶点引两条射线,使这两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半的模型,解决的一般思路为:将半角两边的其中一个三角形通过旋转与其他图形拼到一起形成新的三角形,然后证明新三角形与半角形成的三角形全等,最后利用全等三角形的性质得到线段之间的数量关系,从而解决问题.     

精心预设,精巧引导,精彩演绎——对一节“全等三角形”阶段性复习研讨课的思考

这是一节来自2014年“浙派”名师班关于阶段性复习的研讨课,上课老师为我们展示了一节别样的“全等三角形”复习课.现将课堂实录与笔者的思考整理成文,供同行们交流研讨.一、课堂实录1.视频引课课堂一开始,老师让同学们观看视频,视频中一位老师作如下讲述.同学们,我们今天研究一个有趣的话题,我随手画一个三角形,能证明所画的三角形是等腰三角形.同学们相信吗?下面请看我的证明.如图1(视频中老师徒手画图),任意画三角形ABC,则有     

旋转与四点共圆

<正>贵刊2017年8月下,刊发了《例谈旋转角的确定及其在解题中的应用》,我读后收获良多,进一步思考:由旋转角相等带来等角的条件证明四点共圆,借助圆可便捷地导角,更灵活地解几何综合题.现与同学们分享如下.1旋转共顶点相似三角形与等角在初二学习全等三角形时,我们遇到这样的题目:共顶点的等边三角形可证得全等三角形(如图1);将条件弱化,共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形(即相似的两个等腰三角形),仍可得全等三角形(如图2);将条件再一般化,共顶点的相似三角形,仍可得相似三角形(如图3).至此,三个图可化归为图3.在初三学习旋转后,从动态角度看,     

关于“全等三角形”一节的教学

三角形是研究平面几何图形的基础。初中《平面几何》教材从这一章起要求学生逐步学会几何命题的推理论证.开始对学生进行严格的逻辑思维训练。全等三角形又是本章的重点,对今后的数学学习有着深远意义。本文就《全等三角形》一节的教学谈几点体会。一、奠定基础对三角形的各个元素的对应部份的认识是学好三角形全等的性质必不可少的基础。这是因为,两个三角形全等的判定公理和定理都是以“对应”为其条件的,离开“对应”条件,将不可能产生三角形全等的结论。其次,通过证明两个三角形全等进而证明两条线段相等或两个角相等,这两条线段或两个角也是对应     

从图形运动变化的视角,引领《全等三角形》复习

为了及时做好学习的归纳和巩固,在学习完《全等三角形的性质》以及《全等三角形的条件》中一般三角形全等的判定之后,笔者尝试安排了一节阶段性复习课,带领学生从图形运动变化的视角,在图形的动态变化中,识别全等三角形,找出全等三角形的对应元素.学生在一次或两次平移、旋转、翻折运动变化之后的图形组合中识别两个全等三角形,并掌握动态变化中全等三角形的相关定理运用和问题的解决的方法.     

填图·补图·心中有图

中考题中出现了一系列填图、补图题,这类题融知识性、趣味性于一体,较好地考查了考生阅读、空间想象力、性质转化及应用能力,既易又活.要做好它们,应心中有图才行. 例1(2001福州)两个全等的三角板,可以拼出各种不同的图形.图1已画出其中一个三角形.请你分别补画出另一个与其全等的三角形,使每个图形分别成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分).     

初二几何第一学期期中自测题

A组题一、填空题 (每小题 4分 ,共 40分 )1 .三角形的两边长为 4和 6,第三边为偶数 ,则此三角形的周长为 .2 .等腰三角形的底边长为 6cm ,它的周长不大于2 0cm ,则腰长的取值范围是 .3 .在△ABC中 ,∠A -∠C =2 5°,∠B -∠C =2 0° ,则∠A =,∠B =,∠C =.4.如图 ( 1 ) .以∠α为公共角的三角形是和;以BD为公共边的三角形有 .5 .如图 ( 2 ) ,AD ,CE是等边△ABC的二条中线 ,则图中与△ABD全等的三角形共有个 .　　 6.如图 ( 3 ) ,AB⊥AC ,DC⊥AC ,要使△ABC≌△CDA ,还要增加一个全等条件 ,那么需增加的一个条件是或或 .7.在…     

“错误”岂能“错过”,“跌宕起伏”成就精彩

一、背景描述 苏科版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第十一章是《图形的全等》,第三节第一课时内容是“探索三角形全等的条件(边角边)”,本节课的教学流程是先让学生探索“两边与夹角(边角边)”再探索“两边与对角(边边角)”,探索的方法是先提出问题,然后让学生通过画图来验证.在教学过程中探索“边角边”时非常顺利,完全按照我的课前预设,但是在探索“边边角”时,却出现了意外,课堂变得“面目全非”…… 二、教学片断 此前,我们已经共同探索了“边角边”的条件. 师:通过刚才的学习,我们已经知道用“边角边”可以判定两个三角形全等.但是当这时相等的角不是两边的夹角,而是其中一边的对角时,两个三角形还是全等的吗?请同学们在草稿本上画图来验证,然后同桌之间互相交流.     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

五个元素相等的非全等三角形——答一些初中学生所问

在讲授“全等三角形”一节时,有几位同学提出了这样一个有趣的问题:“一个三角形有六个元素;三条边和三个角,是否有这样两个非全等三角形,第一个三角形的五个元素与第二个三角形的五个元素分别相等”呢? 虽然这是一个比较简单的问题,但饶有意     

一道课外练习题的再思考

<正>题目(中学生数学2017年7下P47)如图1,点P是正方形ABCD对角线BD上任意一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别是E、F,求证:AP⊥EF.这里从利用三角形全等、三角形相似、平行线的性质等方面思考解决问题.解法1利用三角形全等.     

以皓骏设计“全等三角形的判定”的积件及教学应用

三角形全等的判定是八年级数学教学中的重难点,是帮助学生积累画图、实验、分析、归纳等数学基本活动经验,培养学生直观感知、数学推理等核心素养的良好素材.传统教学中,一般是让学生或教师自己尺规作图,先画图,再观察,然后归纳出三角形全等的判定,但画图不够精准、缺失实验环节或不便操作、归纳推理勉强,难以促进学生发生深度学习和破解教学难点.本文试图以Hawgent皓骏设计“全等三角形的判定”的积件,具有作图精准、动态数形结合、任意变式图形等特点,助力破解教学难点.如下阐述应用Hawgent皓骏制作“全等三角形的判定”积件的设计原理与制作步骤以及在教学中的应用.详细操作步骤请扫描二维码学习微课.     

一个结论的妙用

结论两个面积相等的图形有部分重合,则每一个图形不重合部分的面积相等.应用图1例1(2007年遵义市中考题)如图1所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形ABC沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2.简析根据模型,两个三角形是全等的,     

从“全等三角形”中学习逻辑思维

利用全等三角形说明两个角相等或两条线段相等是常用的手段之一 ,因此 ,掌握全等三角形的识别方法是重要的知识与技能 .部分初学者在学习这部分内容时感到困难———当题中图形较为复杂时 ,有时找不对两个全等三角形的对应元素 ;有时对命题的证明思路不清或知道意思却逻辑表达欠佳 .针对这些问题 ,结合本人的教学实践 ,谈谈在“全等三角形”的学习中 ,怎样帮助学生提高逻辑思维能力 ,并通过例子说明“综合法”与“分析法”在解题中的应用 ,供大家参考 .一、导学知识1.要准确找出全等三角形的对应元素针对两个三角形不同位置关系 ,总结出寻找…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题构造全等三角形.适用年级初中二年级.训练目的1.巩固全等三角形的知识,应用三角形全等证明线段与角的相等及进一步推证.2.创造性思维的培养,通过辅助线的添加,构造全等的三角形.     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

数学问题解答

617.试证:等底、等高、等两腰差的两个三角形全等。证.如图:Q、R分别为△ABC与△A′BG的旁切圆圆心,QE、RF为相应圆的半径,易知     

一道反比例函数试题的解法探究

<正>反比例函数求k值是很多省市中考试题的重要考点.这类题除了考查函数本身的性质,还可以融入更多的几何图形性质.一般来说,可以结合三角形,四边形的性质及图形的全等和相似等知识点来考查.试题的难度属于中档题,同学们稍微细致些,可得全分.