高中三角教学建議

数学通报1955年9月号在題目为“在中学数学教学中向忽視各科之間的联系这一現象进行斗爭”的社論中曾經指出:“近几年高等学校招生数学試題中,凡是只涉及代数、几何、三角中一門的問題,学生就解答得比較好,而涉及兩三門的問題成績就特别坏,这就是孤立一科,关門教学的不良后果。”1956年高等学校入学考試中有这样的一道数学題:“若三角形的三个角成等差級数,則其中一定有一个角是60°,若这样三角形的三边又成等比級数,則三个角都是60°,試証明之。”这題的第二部分考生是比     

在“用一元二次方程解应用問題”教学中的两个問题

問題虽然是发生在师大同学的实习課中,但对于中学老师們来說,也不无研究的意义。因此,写出来和中学的老师們商榷,并希予以指正。一、关于設x(或y)代表什么数的問題 有些实习生在教学这一課題时說:“对某些应用問題只能用x(或y)代表另外的未知数,从而間接地求得題中所要求的未知数。对这样的問題根本不能设x(或y)直接代表题中所要求的未知数而解出。”这种說法是不对的。根本沒有不能用x直接代表題中所要求的     

制作数学直覌敎具和測量仪器的工作經驗

在和八年級学生研究“相似三角形”問題时,可以进行几个有趣和有益的实际工作。而其中特別有趣的是测量不能或难以直接测量的物体之高度。在八年級研究“相似三角形”时,我採用了一种專門的仪器,它的一般形狀和構造如圖1所示。仪器的構造非常簡單,因此在敎师的帮助下学生就能自己动手做成。它的主要部份是組成直角三角形ABF的三根木条。Г形木条BC借     

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极限概念是整个数学中最重要的概念之一,它也是学生难以接受的概念之一。不但如此,困难还表現在下面的問題上:“在学生的現有知識水平上按什么样的严格程度来給出极限的概念”?簡单地說来,这是好的教师不必把該說的都全部說出来也能把它讲好的概念之一。在《委員会报告》中极限概念是在《中学九年級的数学》中第一次遇到的,因此让我們从研究級数     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯(續)

§7 許多实际間題和理論問題的解决都需要知道三角形的內角和等于多少。 1.問学生:直觉能告訴我們三角形內角和是多少嗎?总是很快就得到回答說:“不,直覺沉默了。”应該采取什么措施呢?首先用实驗方法試試看。让学生“在练习本上画三个不在一条直綫上的点,用綫段把它們联結起来,量一量所得三角形的每一个角,并且算出所得三个数的和”。用实驗方法求三角形內角和通常得到:180°,179°.5,179°,181°.5,181°,…等不同的数值。因为测量不可能完全精确,所以得到的只是三角形內角和的近似值,它提供了一个想法,三角形的內角和精确地或近似地等于180°。实驗提供了一个近似答案。 2.运用涉及任意三角形內角和的这个性貭的判断,可以得到关于一切三角形內角和等于多少的問題     

中等學校中的非歐幾何(績)

六年級 1) 在學習了教學大綱中的主題“平行線公理及其推論”以後;因之在學生們知道了歐幾里得第五公設的表述(附錄1)以後,必須在做習題的課上,考察關於平行線公理各種表述的等價證明的習題,在貝斯金(H.M.BeckИH)的幾何教學法(?)第115頁中可以找到證明。(附錄2) 2) 歐幾里得的第五公設無異於下列命題:同一直線的垂直線和斜線恒相交。說明這一點是有好處的,其證明需要用到一個定理,即所有三角形中,任意二內角之和小於二直角。 3) 學習到教學大綱中的主題“三角形諾角之和的定理”時,必須讓學生來分析這定理的證明,說明我們在證明中用到了平行性的反定理。顯然平行性的反定理可根據關於平行線的公設來證明,因此“三角形諸角之和等於二直角”的定理的正確性可從歐幾里得第五公設推出來。     

对高中平面几何中銳角三角函数教学的意见

引言中学数学教学大綱(修訂草案)中規定:在高中一年級几何課程中給出10小时来学銳角三角函数.在大綱的分科說明中这样指示: “关于三角函数与解直角三角形的初步知識,是在高中一年級几何課程中教到相似形时提出来的.因此学生一学到各种相似形时,就会在解决实际問題中立刻得到应用並且获得解几何習題的新方法.”     

二次方程中的物理問题

在現有的各种代数习題集中,除了关于均勻运动的問題外,物理問题所构成的二次方程只有很少的一些。在(?)拉利切夫的习題集中比其他的还稍微多些。但是在他的109个題目中,若不算均匀运动的問題吋,共有9个。下表說明在这几个問題中,是如何采用了物理定律的:     

数学问题解答

第9期问题编者按.这一期的問題里有打上星号*者,是編輯部极欢迎讀者給本刊投寄題解的題目。其题解研討将于年終发表。 493.证明在調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…中划掉所有在分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数(湯正誼提)。 494.设直綫PO与平面M相交于O,过O在平面M內引直綫OA,OB,OC,若PO与OA、OB、OC成等角,那末PO垂直于平面M(张美新)。 495.如果p和q是“孿生”素数(即相距为2的一     

敎四則应用問題的几点体会

算术四則应用題,对初中一年級学生說来,是比較难于接受的,敎师講解时也感到困难。往往是学生听懂了,課后却不能独立思考、完成作業。其原因就是这些問題沒有固定的解法,不知如何把一些分散的条件联系起来逐步推到要求的問題上去。过去有过很多这方面的經驗,特別是圖解法,在講解应用題中起着很大的作用。本文打算从另外几个方面来談。 1.使学生牢固的掌握最常見的数量关系大綱說:“应用題的內容应当由最常見的数     

級数

級数在高等数学中和极限一样,是研究量和函数的有力工具,也就是說我們可以用級数計算和表达各种不同的量和函数。例如无理数π和e可以表成无穷級数:无穷极数不同于中学中的等差极数和等比极数,     

关于三分角問題的“研究”问题——答一些青年学生問

近年来,我們中国科学院数学研究所收到了不少关于三分角問題的来信。在这些信中,絕大多数都是来自全国各地的青年学生,他們在钻研数學問題上,敢于通过自己的独立钻研,想尽种种方法来謀求“問題”的解决,这种精神是好的。但是由于对三分角問題的实质缺乏全面的了解,对用圓規直尺三等分任意一角的不可能性沒有得到正确的理解。因此他們白白地耗費了很多时間和精力。根据这种情况,我們认为有必要向青年学生再作一次广泛的說明,使对三分角問題的提法上有較为正     

从北京市中学1962年数学竞賽試题談起

(一) 这次北京市数学竞賽分高三和高二两組进行,每組举行两次考試,第一次要在一小时內解答四、五个題目,侧重在基本訓练和演算速度;第二试要在两小时内解答四个題目,侧重思考能力和灵活性。題目虽然不多,可都是經过多次討論,从不少題目中挑选出来的。特別是第二試的題目,我們一方面要求它具有高度的灵活性,不拘于现成的格式;另一方面又要求解題的原则还是簡单而又基本的,并不超出中学生数学知識的范围,回顾当时出完題目之后,不少数学专家曾表示:假若亲身参加竞赛考試,說不定也会感到并不轻松,临考的也有的老师們担心题目是否太难以致分数集中不易分出等級来。但从考試結果来看,成績比以往各次数学竞賽都要好,可以说,沒有一道“难題”难住了所有     

使用“对比法”教学等差、等比数列的尝試

等差数列和等比数列,是两种重要的数列。通常总是按照先等差数列而后等比数列的順序进行教学的。作为試驗,在教学中我們使用了另外一种教法一“对比法”。所謂“对此法”,就是把等差数列和等此数列的相应內容,同时提出,平行地加以研究。下面让我們說說这种教法。为了引出等差数列和等比数列,我們給出了这样一个問題:某铜鉄厂1957年产鋼量是5千吨,以后每年此前一年多产2千吨,写出1957年至1961年的产量;如果以后每年的产量是前一年的1.5倍呢?     

苏教版必修5的一道开放题的教学

苏教版·必修5 P52有这样一道开放题:设△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c.1)若a,b,c成等差数列,由此你得到什么结论?2)若a,b,c成等比数列,由此你得到什么结论?这是一道典型的三角形边角关系与数列整合的题目,具有很好的开放性与综合性,如何通过这道开放题的探究性学习来贯通知识间的联系呢?由于这道题涉及必修5中的解三角形知识、数列知识、基本不等式知识,故而将本节课安排在完成必修5所有基础知识的学习后教学.笔者进行了如下的教学设计.为了更好地体现学生主体性地位,笔者组织学生分组讨论,然后交流.生1:若a,b,c成等差数列,那么有2b=a…     

在小学三年級試教代数“有理数”部分的經过和結果

一、试教目的根据“适当縮短年限,适当提高程度,适当控制学时,适当增加劳动”的要求,为了回答小学中年级的学生能不能学习代数这一問題,我們进行了这一次教学实驗。为了更具有說服力,我們选了中学代数里面的难点和重点之一的“有理数”部分作为試教內容。假若这些教材能为小学三年級的九至十岁的儿童順利掌握,则小学中年级的学生能不能开始学习代数的問題就可得到肯定的答案;同时,也給这样年龄的儿童接受相应     

拉特馬吼級数表示的函数

<正> 1.大家知道,接特马吼级数系r_n(x)(n=1,2,…)是这样定义的■：形如■的級数就称为拉特馬吼級数,其中a_m(m=1,2,…)是与x无关的常数. 有关(1.2)的收斂問題,有着下面熟知的定理: 定理A.若則(1.2)几乎处处收斂;反之,若则(1.2)几乎处处不能用綫性求和法求和. 至于(1.2)在收斂时所表示的函数的性貭,那么我們只知道有以下的     

关于“复数无大小”的問题

在高三代数課复数这一章的教学中,一个突出的問題是如何向学生讲授“复数无大小”?教学大綱的說明中沒有涉及这个問題,但現行課本中关于这个問題却有一段比較含糊的敍述。根据历年来我讲授这部分教材的經驗,都有較多学生提出問題,最普遍的問題是:“为什么不規定复数的大小?”     

針对学生年龄特点进行数学教学的一些体会——給新担任数学教学的老师們的几点意見

多年来接触到一些新教师,他們在刚开始担任教学时,常反映“教材太簡单,无法鉆研;在課堂上几分钟就可以把它讲完了”;“低年級学生爱說爱动,不易使他們专心听讲”这两个問題分析起来,前者說明了这些教师还不善于鉆研与处理教材,后者說明了他們在組織課堂教学方面,     

关于直角三角形三内角之間可否通約的問題

在中学数学敎学法(伯拉基斯著吳品三譯)第四册几何敎学法46頁的第二行提到“兩个角也可以是不可通約的,例如,在埃及三角形中的角(所謂埃及三角形,即以3,4,5为边的三角形)。”关于这一結論的証明原書只指出了参考文件,但一般也不易查到。本文目的是要說在什么情况下的直角三角形三內角之間可通約,在什么情况下的直角三角形三內角之間不可通約,而埃及三角形內角之間不可通約便当作本文的特例而解决了。为此目的,我們先作如下的一般討論。