2006年高考向量亮点解读

平面向量是高中数学的重要内容,它是衔接代数与几何的桥梁和纽带,向量、向量法在其他章节内容中的穿插、渗透和融合,是高考数学试题中的一道靓丽的风景,纵观2006年全国各地高考试卷,对平面向量内容的考查呈现“六大”亮点,现予以解读:亮点一:考查平面向量加、减法的运算法则例1(2006年·安徽卷)在平行四边形ABCD中,AB=a→,AD=b→,AN=3NC,M为BC中点,则MN=(用a→、b→表示)解析:MC=12b→,NC=14AC=41(a→ b→),∴MN=MC CN=MC-NC=12b→-14(a→ b→)=14(b→-a→).评注:理解平面向量的概念,熟练掌握向量加、减法的三角形法则,是解题…     

创设情境引导思考的一则案例

教学片断这是“实数与向量的乘法”新授课 .当我讲授了实数与向量乘法的定义及运算律之后 ,在黑板上给出了以下问题 :如图 ,在△ABD中 ,F是AB的中点 ,C是BD延长线上的点 ,且BC =2BD ,设AD =a→,BC =b→ .教师 :请用a→,b→表示CA .这道例题是笔者在教材例题的基础上稍作修改而来的 ,由于问题比较简单 ,大多数学生思考片刻后便找到了答案 .教师 :请一位同学讲述一下该如何解决这个问题 .学生 1 :CA =CD +DA=12 CB +DA =- 12 BC -AD =- 12 b→-a→.教师 :很好 .学生 1发现所求向量CA与已知向量AD组成了△ACD ,因此根据向量加…     

关于c（向量）=xa（向量）＋yb（向量）的几种常见转化方法

以c→=xa→＋yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→＋2/3OC→,则｜AB→｜∶｜BC→｜=.解∵OB→=1/3OA→＋2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,     

用向量数量积解线性规划问题

→a·→b的几何意义是:数量积→a·→b等于a的长度|→a|与→b在→a的方向上的投影|→b|cosθ的乘积.……     

关于c(向量)=xa(向量)+yb(向量)的几种常见转化方法

<正>以c→=xa→+yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→+2/3OC→,则|AB→|∶|BC→|=.解∵OB→=1/3OA→+2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,     

不等式■·■≤|■|·|■|的妙用

妙用向量不等式a→·b→≤|a→|·|b→|(当a→、b→ 为非零向量时,当且仅当a→、b→同向时取等号) 解题,往往可以拓宽解题思路,有益于培养学 生分析问题、解决问题的能力,下面举例说明．     

向量的平方

对于向量的平方,我们有（1）^→2a=｜^→a｜^2;（2）（^→a＋^→b）^2=｜^→a｜^2＋｜^→b｜^2＋2｜^→a｜·｜^→b｜cosθ（θ为^→a与^→b的夹角）。向量的运算和其他运算一样,若能考虑到向量自身的平方,则往往可以收到事半功倍的效果．本文试举几例,以期引起重视．     

关于微分中值定理的一个注记

本文给出并论证了微分中值定理中的ξ,当 b→a时,将趋于a,b的中点,即lim(ξ—a)/(b—a)=1/2。b→a     

直线与平面垂直判定定理新证

如图 ,ｌ1 α ,ｌ2 α ,ｌ1∩ｌ2 =Ｐ ,则ｌ⊥ｌ1 且ｌ⊥ｌ2 ｌ⊥α .证明　在ｌ1 ,ｌ2 ,ｌ上各取一段向量 ,不妨皆取单位向量 :如图ｅ1——→ ,ｅ2——→,ｅ3——→.ｌ⊥ｌ1 ｅ1——→·ｅ3——→=0 ,ｌ⊥ｌ2 ｅ2——→·ｅ3——→=0 ,ｌ1 ∩ｌ2 =Ｐ 可由ｅ1——→,ｅ2——→ 确定整个平面α上的任何向量 .即对平面α上任一向量ｖ——→,可表为ｖ——→ =λ1 ｅ1——→+λ2 ｅ2——→,从而　ｅ3——→·ｖ——→=ｅ3——→·(λ1 ｅ1——→ +λ2 ｅ2——→)　　 =λ1 ｅ3——→·ｅ1——→ +λ2 ｅ3——→·ｅ2——→ =0 ,从而ｌ与平面…     

向量的简单分解与合成

所谓向量的简单分解,即对向量AB^→,可任意引入一个需要的点O,有AB^→=AO^→＋OB^→或AB^→=0B—OA^→．     

一对向量姊妹高考题的解法

<正>不久之前看了一本2016年高考试卷的参考书,其中浙江省高考的一对姊妹向量试题引起了笔者的关注,研究出几种解法,现评述如下:题1(浙江省2016年理科高考试题)已知向量→a、→b,|→a|=1,|→b|=2,若对任意单位向量→e,均有|→a·→e|+|→b·→e|≤6^(1/2),则→a·→b的最大     

对“基底”的广义理解

一、基底 1．平面向量基本定理：如果e1^→、e2^→是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a^→,有且只有一对实数λ1、λ2,使a^→=λ1e1^→＋λ2e2^→．     

二重极限与累次极限的关系

二元函数f(x,y)在点(a,b)的二重极限和累次极限是两类不同的极限.前者是指同时x→a与y→b时(即(x,y)→(a,b)时,也即(x-a)~2 (y-b)~2→0或|x-a| |y-b|→0时.其中“→”均含有|x-a| |y-b|≠0之意)的极限.而后者是指x→a在先,y→b在后;或者y→b在先,x→a在后时,f(x,y)的极限.下面举例说明两者之异同,供学生参考.     

多角度深层次挖掘已知条件

笔者在某高三一轮复习参考书上看到这样一道习题： 题目 如图1所示,P为△AOB所在平面上一点,向量^→OA=^→a,^→OB=^→b,且P在线段AB的垂直平分线上,向量^→OP=→c.若｜^→a｜=3,｜^→b｜=2,则^→c·（^→a-^→b）的值为（ ）.     

借用向量分解定理巧求f(x0)的范围

已知函数 f ( xi) ( i =1,2 ,3 ,… )的范围 ,求 f( x0 )的范围 .笔者在同行们研究的基础上 ,借用向量分解定理 ,使这类问题的解决更加简单、明了 ,可操作性强 ,便于实施 .例 1　已知一次函数 f( x) ,1≤ f ( 1)≤2 ,3≤ f ( 2 )≤ 4,试确定 f( 5 )的范围 .解　设一次函数为 f( x) =ax + b,则　 f( 1) =a+ b,f( 2 ) =2 a+ b,f( 5 ) =5 a+ b.记　 p1→ =a+ b,p2→ =2 a+ b,p=5 a+ b显然 p1→ ,p2→ 不共线 ,根据向量分解定理p=λ1 p1→ +λ2 p2→ 　 (λ1 ,λ2 为实数 ) ,即　 5 a+ b=λ1 ( a+ b) +λ2 ( 2 a+ b…     

让数学思维绽放出美丽的花朵

思维是人世间最美丽的花朵 .数学思维以好严谨、深刻、简炼的特点 ,使人敬畏和向往 .她好象雪莲花 ,盛开在高高的雪山上 ,人们很少看到她灿烂的一面 .数学课堂教学 ,是数学思维活动的教学 ,我们怎样学习数学 ,怎样进行数学思维 ,才能使朵朵高雅和高贵的雪莲花绽放出美丽的笑颜呢 ?上海高中二年级第一学期数学教材 (上海教育出版社 ,2 0 0 3)第 4 9页有这样一道题 :已知a→ +b→ +c→ =0 → ,且｜a→｜=4 ,｜b→｜=3,｜c→｜=5 ,求 :(1)a→ ·c→ ;(2 )a→ ·b→ +b→ ·c→ +c→ ·a→ .许多学生通过数形结合的方法得到问题的结果 .由已知条…     

2009年安徽卷中一道高考题的思考过程

翻开2009年安徽卷我们发现有这样一道题: 　　图1例1 (理科14题)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→,它们的夹角为120°.如图1所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y的最大值是__.……     

三角形“内心”的向量表示

文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证　充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .…     

对一道习题答案的思考

高中数学课本 (试验修订本 )第一册 (下 )第 10 3页第 7题 :已知向量ａ→ ,ｂ→ ,求作向量ｃ→ ,使得ａ→ +ｂ→ +ｃ→=0 →,表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形吗 ?教参给出的答案是可以构成三角形 ,严格地说 ,答案是错误的 .图 1　辨析用图如图 ,令ＯＡ =ａ→ ,ＡＢ→=ｂ→ ,ＢＯ→ =ｃ→ .此时向量ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 共线 ,虽然满足ａ→ +ｂ→ +ｃ→=ＯＡ +ＡＢ +ＢＯ =0 →,但显然有向线段ＯＡ ,ＡＢ ,ＢＯ不能构成三角形 ,所以答案应该是不一定构成三角形 .那么若表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形 ,图 2　辨析用…     

向量恒等式的研究

<正>在学习平面向量的过程中,恒等式(→a±→b)²=→a2=→a²±2→a·→b+→b2是我们不得不需要面对的.在平面向量中,这个恒等式的地位不亚于平面向量基本定理,在各级各类考试中,有着广泛的应用.下面对这一恒等式作一番适度的探究.