创设情境引导思考的一则案例

教学片断这是“实数与向量的乘法”新授课 .当我讲授了实数与向量乘法的定义及运算律之后 ,在黑板上给出了以下问题 :如图 ,在△ABD中 ,F是AB的中点 ,C是BD延长线上的点 ,且BC =2BD ,设AD =a→,BC =b→ .教师 :请用a→,b→表示CA .这道例题是笔者在教材例题的基础上稍作修改而来的 ,由于问题比较简单 ,大多数学生思考片刻后便找到了答案 .教师 :请一位同学讲述一下该如何解决这个问题 .学生 1 :CA =CD +DA=12 CB +DA =- 12 BC -AD =- 12 b→-a→.教师 :很好 .学生 1发现所求向量CA与已知向量AD组成了△ACD ,因此根据向量加…     

用活共面向量的充要条件

共面向量定理涉及三个向量p→,a→,b→共面问题,它们之间的充要条件关系为：如果两个向a→,b→不共线,     

向量恒等式在解题中的妙用

平面向量数量积是高考重点内容之一,大部分学生都能熟练掌握平面向量数量积的两个计算公式：1 a·b=｜a｜·｜b｜cosθ;2若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a·b=x1x2＋y1·y2.     

一对向量姊妹高考题的解法

<正>不久之前看了一本2016年高考试卷的参考书,其中浙江省高考的一对姊妹向量试题引起了笔者的关注,研究出几种解法,现评述如下:题1(浙江省2016年理科高考试题)已知向量→a、→b,|→a|=1,|→b|=2,若对任意单位向量→e,均有|→a·→e|+|→b·→e|≤6^(1/2),则→a·→b的最大     

定比分点公式的向量形式及其应用

向量代数中 ,关于线段的定比分点公式有两种形式 :一种是坐标形式 ,一种是向量式 ,由于受传统习惯思维的影响 ,我们在解决有关问题时 ,往往倾向于用坐标形式的公式 ,但其实向量式在应用时更具有整体、便捷的优越性 .下面推导定比分点向量公式 :图 1　定比分点示意图如图 1 ,在平面内任取一点O ,设OA→ =a ,OB→ =b ,OC→ =c,C分别AB→ 所成的比为m ,即AC→ =mCB→ .∵AC→ =OC→ -a ,　CB→ =b -OC→ .∴ (OC→ -a) =m(b -OC→ ) .OC→ =a +mb1 +m =11 +ma + m1 +mb ( 1 )公式 ( 1 )就是线段的定比分点公式的向量形式 .1　对公…     

直线与平面垂直判定定理新证

如图 ,ｌ1 α ,ｌ2 α ,ｌ1∩ｌ2 =Ｐ ,则ｌ⊥ｌ1 且ｌ⊥ｌ2 ｌ⊥α .证明　在ｌ1 ,ｌ2 ,ｌ上各取一段向量 ,不妨皆取单位向量 :如图ｅ1——→ ,ｅ2——→,ｅ3——→.ｌ⊥ｌ1 ｅ1——→·ｅ3——→=0 ,ｌ⊥ｌ2 ｅ2——→·ｅ3——→=0 ,ｌ1 ∩ｌ2 =Ｐ 可由ｅ1——→,ｅ2——→ 确定整个平面α上的任何向量 .即对平面α上任一向量ｖ——→,可表为ｖ——→ =λ1 ｅ1——→+λ2 ｅ2——→,从而　ｅ3——→·ｖ——→=ｅ3——→·(λ1 ｅ1——→ +λ2 ｅ2——→)　　 =λ1 ｅ3——→·ｅ1——→ +λ2 ｅ3——→·ｅ2——→ =0 ,从而ｌ与平面…     

例析高考平面向量综合题

从2004年至2005年的各省高考新课程卷来看,高考对向量的考查力度在逐年加大,平面向量综合类考题将向量与解析几何、三角、立体几何等内容相结合,在知识交汇点处命题,既是当今高考的热点,又是重点.本文对高考平面向量综合考题命题趋势作简要分析.类型Ⅰ:平面向量学科内知识点交汇这类考题主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面同量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等相关概念,能熟练向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1设e1,e2是两个垂直的单位向量,且a=…     

平面法向量在立体几何中的解题应用

空间向量是平面向量的发展 ,是高考的必考内容 ,其方法与运算非常简单 .掌握了这种方法 ,会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题 .本文试举例说明平面法向量在立体几何中的解题策略 .1　证明线面平行设n为平面α的法向量 ,要证a∥α ,只需证a·n=0 .例 1　 (1994年全国高考文理题 )如图 1,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱 ,D是AC的中点 .求证 :AB1∥平面DBC1.证明　建立如图 1所示的空间直角坐标系A-xyz .设正三棱柱的底面边长为a ,侧棱长为b ,则　A(0 ,0 ,0 ) ,　B(32 a ,a2 ,0 ) ,C1(0 ,a ,b) ,B1(32 a ,a2 ,b) ,D(0 ,a2 ,0 ) .设平面…     

一题三变话“四心”

近年来,随着平面向量的引入,与三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)有关的几何问题已经成为各种考试考查的热点,求解这类问题的基本策略是利用好以下两个判定向量平行与垂直的基本性质.性质1a⊥b(a,b为非零向量)a·b=0.性质2存在唯一实数λ,使a=λb(b≠0)a∥b(b≠0)a与b(     

多角度深层次挖掘已知条件

笔者在某高三一轮复习参考书上看到这样一道习题： 题目 如图1所示,P为△AOB所在平面上一点,向量^→OA=^→a,^→OB=^→b,且P在线段AB的垂直平分线上,向量^→OP=→c.若｜^→a｜=3,｜^→b｜=2,则^→c·（^→a-^→b）的值为（ ）.     

平面向量的数量积初探

高一数学第一册 (下 )第五章“平面向量”是新增内容 ,教师对这一内容的重点和难点不易把握 ,很难适应课程的改革 .其实 ,平面向量进入高中课本的历史并不长 ,从近几年上海市高考题及 2 0 0 0年天津市、江西省首次按试验教材命题的高考试卷看 ,平面向量的数量积均为考查的热点 ,这足以引起广大师生的重视 ,尤其是应着眼 2 0 0 3年的首次使用新教材修订本的高考 .结合本人教学实践和研究的体会 ,谈谈平面向量的数量积的性质、注意点及应用 ,以期抛砖引玉 .1　平面向量的数量积的重要性质设 a,b都是非零向量 ,e是与 b方向相同的单位向…     

用法向量证明线面位置关系

<正>若→a⊥α,则向量→a叫做平面α的法向量,利用这条法向量就可以解决立体几何中解(证)问题.法向量的求法:设平面α的法向量为→a=(x,y,z),平面内相交两条直线所在的向量为→b=(x_1,y_1,z_1),→c=(x_2,y_2,z_2)     

关于c（向量）=xa（向量）＋yb（向量）的几种常见转化方法

以c→=xa→＋yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→＋2/3OC→,则｜AB→｜∶｜BC→｜=.解∵OB→=1/3OA→＋2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,     

一类向量问题的解法

平面向量的数量积是江苏省《考试说明》中的C级要求,在近几年高考中对此内容进行了多次考查,在各地的高考模拟试题中也多次出现．平面向量的基本定理、三角形法则、平行四边形法则是平面向量运算的核心内容,下面就这类题型做些梳理、归纳、延伸和拓展,希望对广大教师的教学和同学们的学习有所帮助,不当之处望同行斧正．     

用化归思想解高考题

<正>2014年高考数学(浙江卷)文科第16题:已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是__.分析本题主要考查最值求解的基本策略,咋看题目涉及到的字母参数较多,思路不太清晰,同学们很容易迷失方向以致半途而废.若把要求的字母a看作常量,其他字母如b和c看作变量,将题目条件化归为解析几何或方程或函数或三角函数或不等式或平面向量或     

对“基底”的广义理解

一、基底 1．平面向量基本定理：如果e1^→、e2^→是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a^→,有且只有一对实数λ1、λ2,使a^→=λ1e1^→＋λ2e2^→．     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

三角形“内心”的向量表示

文 [1 ]、[2 ]给出的三角形内心的向量表示可进一步改进为更简洁的形式 :设O为△ABC所在平面上一点 ,角A ,B ,C所对的边长分别为a ,b ,c ,则O为△ABC内心的充要条件是aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .证　充分性若aOA→ +bOB→ +cOC→ =0 .∵OB→ =OA→ +AB→ ,OC→ =OA→ +AC→ ,∴ (a +b +c)OA→ +bAB→ +cAC→ =0 ,∴AO→ =1a +b +c(bAB→ +cAC→)=bca +b +c( AB→|AB→|+ AC→|AC→ |) .∵ AB→|AB→ |与 AC→|AC→|分别为AB→ 和AC→ 方向上的单位向量 ,设AP→ =AB→|AB→ |+ AC→|AC→|,则AP→ 平分∠BAC .…     

2009年安徽卷中一道高考题的思考过程

翻开2009年安徽卷我们发现有这样一道题: 　　图1例1 (理科14题)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→,它们的夹角为120°.如图1所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y的最大值是__.……     

关于c(向量)=xa(向量)+yb(向量)的几种常见转化方法

<正>以c→=xa→+yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→+2/3OC→,则|AB→|∶|BC→|=.解∵OB→=1/3OA→+2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,