平面向量与解析几何知识的交汇

平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点．其主要考查方向有：①直线的夹角转化为向量的夹角(注意范围的区别)；②线段的长度(或距离)转化为向量的模的问题；③两直线的位置关系：相交、平行、垂直,分别转化为向量的不共线、共线、垂直来分析；④有关的轨迹方程(或轨迹)可以应用平     

不可忽视“直线的方向向量”

<正>向量作为中学数学中数形结合的一个重要工具,可以用来处理与函数、不等式、三角、几何等知识有关的问题.直线的方向向量是学生在学习中容易忽视的一个概念,本文就利用直线的方向向量来处理直线的位置关系,直线的夹角以及点到直线的距离等等.1直线的方向向量的定义直线上的向量(p_1p_2)(向量)以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量.2直线的方向向量的表示     

向量法求空间中的角

“求角”是立体几何中的基本问题之一,采用向量法,利用向量的内积公式(m·n=|m|·|n|cos)可以使整个解题过程转化为程式化的向量运算,简捷方便.一、求空间两条直线的夹角,可以转化为求两直线上的非零向量的夹角(或夹角的补     

在解析几何教学中逐步渗透向量方法

新教材中向量在高一和高二 (下 )中有专门论述 ,在高二 (上 )解析几何中逐步渗透向量方法 ,既能复习旧知 ,又能衔接后面内容 ,可防止内容脱节 .所以在解析几何中适当地渗透向量方法就显得尤为重要和关键 .下面结合高二 (上 )教材谈几点认识 .1　在推导公式中使用向量方法点到直线距离公式推导历来是中学数学难点 ,主要是为什么构造直角三角形 ,使用面积法求解 (参见新课程人教版第二册 (上 ) ) ,这对初学者不易突破 .公式 :已知点P坐标 (x0 ,y0 ) ,直线l的方程是Ax +By +C =0 ,P到直线l的距离是d ,则d =|Ax0 +By0 +C|A2 +B2 .证　当B≠…     

两异面直线之间距离公式的多种推导

分别借助向量方法、平行六面体的高、向量的射影、点到平面的距离、两点间距离和平行平面间距离,给出空间两异面直线间距离公式的六种推导方法．相关方法显示了直线、平面的向量式方程和向量运算在解决几何问题中的重要作用．     

使用向量工具 调整直线内容的教学

人教版新教材全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )数学第一册 (下 )增加了“平面向量”教学内容 ,第二册 (上 )“直线和圆的方程”在阅读材料中增加了“向量与直线”教学内容 ,我们在教学中也认识到“向量”作为一种工具在处理直线与直线的平行、垂直、夹角、距离等方面有独到的地方 ,学生也有这方面的知识 ,于是我就调整了“直线”教学思路 ,在我们区进行实验改革 .1　使用“向量”工具 ,研究直线方程时 ,方程形式出现的顺序发生了改变新教材是在讲完“方程的直线”与“直线的方程”概念后研究直线的倾斜角和斜率 ,目的是引入直…     

利用向量求异面直线所成的角

异面直线所成角的问题,是空间“三大角”问 题之一,历来是考试的重点内容．传统的方法是 按定义平移,然后再通过解三角形的方法来求出 角的,如何平移,有一定的难度和技巧．如果是使 用向量,求异面直线所成角便不再困难了．a与b 是两异面直线,设它们所成的角是θ,任取一个 与a共线的已知非零向量a,一个与b共线的非 零向量b,则a与b的夹角(?)便是θ或π-θ,所     

探究性教学中问题切入口的探索

1问题提出 题目《普通高中课程标准试验教科书数学必修4》（苏教版）中给出关于向量投影的链接：设a，b是两个非零向量，θ为a，b的夹角，则｜b｜cosθ叫做向量b在a方向上的投影，它是数量．试根据上述的内容回答下列问题：     

构筑多层思维,破解向量难题——以2023全国乙卷理数12题为例

<正>向量是具有大小和方向的量,是重要的数学概念,具备几何与代数两重特征．在动态的向量问题中,伴随着点或直线的运动,向量的内积的值也跟着变化,在某一处或者几处取得最值．在思考此类问题时,因动态情形下变化的长度和夹角较多,导致问题的求解出现困难．我们以一道高考题目为例,来展示解决向量问题中的不同思维层次．     

变形公式处理解析几何中夹角问题

新课标教材在必修2《解析几何初步》一章中删除了老教材中的"到角公式"与"夹角公式",这样涉及与两直线夹角有关的问题需转化成向量夹角方法处理,但由于在具体解题过程中常涉及向量模长(特别是含有变量),因此运算较繁,且运算量大,不易化简,所以此法有时可行,但不可取.我们在解题中发现涉及这类问题可以用向     

空间向量，夹角与距离

本单元的重点：空间向量的加减、数乘以及数量积的运算，向量共线、共面及其基本定理，向量的坐标形式及其运算，空间的夹角与距离．其中夹角（异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角等）与距离（点点距、点线距、点面距等）一直是高考考查的重点和热点．     

巧求平面的法向量

利用法向量解决立体几何问题是高考考查的一种重要方法,也是立体几何中求“夹角与距离”的一个通法,尤其是利用平面的法向量求二面角的大小,更是学生“最爱的选择”,但是,求二面角的两个面的法向量是一个计算难点,也是一个易错点．下面介绍一种简便、易行的好方法给大家,请关注．     

用超级画板探究圆锥曲线的斜足曲线——获取数学活动经验的一则案例

1引言数学是"做"出来的.数学教学是数学活动的教学,让学生在探究活动中获取数学活动经验,是数学教学的应有之义.文[1]用超级画板探究了圆锥曲线的垂足曲线.进一步地,若两直线的夹角是一个锐角,在保持这个夹角不变的情况下,让其中一条直线运动,那么这两条直线的交点(斜足)的轨迹又是怎     

用向量知识解决解析几何中与角有关的问题

一、问题的提出1991年教材的改革,把向量引入了教材,使立体几何中求异面直线的距离简化,也为解析几何中求角问题提供了便利. 在解析几何直线夹角一节中,许多计算或证明常常要考虑斜率不存在的情况,如“L1⊥     

用法向量夹角求二面角大小的教学设想

在苏教版高中数学选修教材2-1(以下同)中,用法向量的夹角来求二面角的大小.教材这样总结方法: “由于平面的法向量垂直于平面,这样,这两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.考虑到二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或者互补.”     

三复数组成正三角形的充要条件教学探讨

统编高中课本第三册复数复习题第18题“求证z_1、z_2、z_3组成一等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式z_(1~2) z_(2~2) z_(3~2)=z_2z_3 z_3z_1 z_1z_2”是一道涉及知识面较广的综合题,教学中有一定的困难。为了克服这个难点,在复习课中,除了让学生掌握复数的基本概念和基本运算法则外,还应把向量的有关概念及表示法,尤其是两个自由向量间的夹角及其计算向学生作必要的补充,以便充实学生的学习内容。求两个自由向量的夹角,既是解决第18题的关键,也是难点。关于复平面内两个自由向量的夹角可分以下三种情况来讨论: (1)有公共起点的两个向量的夹角,     

“空间向量与立体几何”的教学探讨

空间向量是解决立体几何问题简易而强有力的工具,是高考的常考点之一．它主要考查利用空间向量论证空间中的线面平行与垂直关系以及求夹角、距离等问题．笔者就新课标北师大版高中数学选修2—1第二章的教学为例进行分析与探讨．     

关于点向式方程的改进意见

陈国正老师《关于点向式方程的改进意见》一文是对进行改革的新教材的认真钻研 ,这种精神值得鼓励 .国家规划教材《数学 (基础版 )第二册》(高教社出版 )对于直线的点向式方程的推导 ,只需要用到向量的加法和数量乘法两种运算 ,因此所得的点向式方程不仅对于直角坐标系成立 ,而且对于仿射坐标系也成立 .如果采用向量的积来推导 ,由于向量的内积在直角坐标系中才有简洁的计算公式 ,因此所得到的直线方程只对于直角坐标系成立 .此外 ,用内积来推导 ,计算比较繁 .至于新教材在推导直线的点向式方程中 ,“约定当式中某一个分式的分母为零时就表示分子也为零” ,这种约定的合理性 ,可以参看本期发表的《高中和中等职业学校数学教学内容体系的一些改革》一文的第三段     

让向量法在直线和圆中闪亮登场

众仁知晓，向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性．因此向量法也是研究直线和圆的一个有力工具．如能让直线的方向向量或法向量在直线和圆中闪亮登场，那么她将活力四射，光彩照人!     

利用平面向量探求异面直线所成角的问题

由于老教材没有引入平面向量知识 ,因此 ,我们是用平移法求解异面直线所成角的问题 ,现行高中新教材第一册 (下 )引入了平面向量的有关知识 ,这为我们求解异面直线所成角的问题开辟了一条新道路 .即要求异面直线ｌ1与ｌ2 的所成角 ,我们可在异面直线ｌ1,ｌ2 上分别选定两个非零向量ａ与ｂ ,设向量ａ与ｂ夹角为θ,然后先求出ａ与ｂ的数量ａ·ｂ ,再根据公式ｃｏｓθ =ａ·ｂａ·ｂ 便可求出θ ,但要注意 :因规定θ∈ [0 ,π],若求出的θ是一个钝角 ,则异面直线ｌ1与ｌ2 所成角是θ的补角 .下面我们用向量法 ,即借助平面向量的有关知识来探索…