折纸告诉你直角等分问题的数学原理

一、问题的引入 我们知道,一张正方形的纸（如图1）如果按其对角线AD往上翻折,那么右下角∠D就被平分了,即将一个90°的角分成了两个相等的45°角．因此很容易利用折纸的方法得到直角的角平分线．那么,如何用最直接的方法得到直角的三等分线呢？如图2,先将正方形纸片对折,得到折痕MN,再将右底角向上翻折,使得翻折后的顶点落在折痕MN上,如图3．     

一题多解一例

题以直角三角形ABC的弦AB为边,在直角顶点另侧做正方形ABDE,设BC=a,AC=b,AB=c.试求直角顶点C到正方形中心的距离. 解法1(利用正弦定理)设Q是所作正方形的中心(图1),则∠AQB=90°,于是A、C、B、Q四点共圆,即Q在△ABC的外接圆周上.AB是这外接圆的直径.对△AQC,应用正弦定理有:     

矩形折纸中的风采探究

近几年来,折纸成为中考的热点,难点,它不但考查学生灵活运用数学知识的能力,而且也考查了学生看图、识图、动手操作能力.解决这类问题的关键是:把握折纸实质上是以折痕为对称轴的轴对称,充分利用翻折前后的两个图形全等,问题就容易解决了.下面谈谈矩形折纸中的数学问题. 一、折叠出正方形 矩形最基本的折纸,就是用一张长方形纸片折一个正方形. 如图1,可以折出正方形, 二、折叠出菱形 例1已知:如图2所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,分别连接AF和CE.     

利用中位线解题

精选妙题如图1所示,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC,M为BC的中点。求证:AB=2DM。常规策略我们可以AD所在直线为对称轴把△ADC沿AD翻折,利用全等三角形和等腰三角形的性质去解决问题。     

三等分线段的方法及其推广

初中已经学过用平行线方法三等分线段.现在向大家介绍另一种尺规法来三等分线段.这种方法由“垂线法三等分线段”和“尺规作线段垂线”组合而成.一、垂线法三等分线段如图,AD=DE=EC,FE、HD都垂直AC,又AC⊥AB,PF⊥FE,QH⊥DH.不难得出P、Q是AB的三等分点.(平行线等分线段定理)     

外莫莱三角形的几组对偶性质

将任意三角形的外角三等分 ,以分别接近于三条边的外角的三等分线的交点为顶点的三角形称为外莫莱三角形 .本文将给出外莫莱三角形的三组对偶性质 .图 1性质 1　如图 1 ,设△ PQR为△ ABC的外莫莱三角形 ,AD⊥ QR于点D,BE⊥ RP于点 E,CF⊥ PQ于点 F.则 PD、QE、RF相交于一点 .证明　由文 [1 ]知AQ =8Rsin B3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,AR =8Rsin C3sin( 6 0°- B3) sin( 6 0°- C3) ,∠ AQR =C3,　∠ ARQ =B3.而　 QD =AQcos∠ AQR,DR =ARcos∠ ARQ,∴　 QDDR=tan B3cot C31同理 REEP=tan C3cot A32PF…     

你能折出正三角形吗?

如图1,ABCD是一张正方形纸片,E、F分别为AB、CD的中点,沿过点D的折痕将A角翻折,使得点A落在EF上(如图2),折痕交AE于点G,那么∠A’DG等于多少度?能证明你的结论吗?     

一道中考操作探究题剖析

问题:操作:将一三角尺放在正方形ABCD上,并使它直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:在滑动过程中,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论.方法一证明:如图(1)Q点在正方形边DC上.过P作MN∥AD交AB于M,交CD于N.∵正方形ABCD∴AB=AD=MN,∠BAC=45°∵MN⊥AB于M∴∠AMN=90°∴AM=MP∴BM=PN∵∠MBP+∠MPB=∠MPB+∠NPQ=90°∴∠MBP=∠NPQ∵△MBP≌△NQP∴PB=PQ如图(2)点Q在正方形边DC的延长线上,即射线DC上证明方法同(1).方法二证明:如图(3)过…     

一道中考题的解法探讨及归纳

<正>解法探讨及归纳,是回顾知识和提升思维的一种有效方法.下面以2014年益阳市中考第21题为例,说明如下.试题如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4,点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.(1)求AD的长;(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的     

巧用梯形中位线证线段a=b+c一例

例(2010江苏省徐州市)如图1,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与     

巧分面积与线段

如图1,ABCD是 任意凸四边形,A1、C1 分别是AB与CD的中 点,B1、B2与D1、D2分 别是BC与DA的三等 分点.E、F为A1C1与 B1D2及A1C1与B2D1 的交点.则图1中有结论: ①E、F是A1C1的三等分点; ②S1+S6=S2+S5=S3+S4=1/3SABCD.     

一道课本题的变式探究

题目(人教版·数学·八年级下册,第116页,实验与探究1)如图1,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,两个正方形的边长相等,那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的14,想一想为什么?     

Morgan定理的推广

1　前言美国的《数学教师》期刊上多篇文章涉及三角形内某一几何图形面积与原三角形面积之比为定值 ,如文 [1]的 Marion定理 :如图1,对于任一三角形 ,将每边三等分 ,则等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为 110 .文[2 ]利用几何软件将该结论推广得到 Morgan定理 :如图 2 ,对于任一三角形 ,将每边 n等分 ( n为大于或等于3的奇数 ) ,则边上第 n-12 、n 12 个等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为89n2 -1.为了便于推广 ,将 Morgan定理叙述为 :如图 2 ,在△ ABC中 ,A1 、B1 、C1 分别为边 BC、CA、AB的…     

图形翻折问题的解题策略探究

<正>图形的翻折问题是图形运动的重要内容之一,是中考考查的一个难点,也是学习过程中的一个难点.如何更好地解决这一类问题?首先需要我们掌握翻折的性质,从而寻找解决问题的突破口,掌握正确解题的方法和思路.本文将通过例题的讲解和变式练习的巩固让同学们能够更快的熟练这类题的解题方法.1例题解析例题如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,点D在边BC上,将△ACD沿AD翻折,点C恰好落在斜边AB上,求CD的长.     

Morley定理的一种极限形式

美轮美奂的Morley定理[1]称:图1一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点.(如图1)该定理一经问世,便一直为人们所津津乐道,的确不失为一个令人惊讶的数学定理.图2然而笔者发现,若将通常定义的三角形予以某种拓广:如将其一顶点A置于“无穷远点”,即通常所谓二平行直线A1B∥A2C被直线BC所截,得到折线图形A1BCA2(如图2).与直线A1B,A2C距离相等的点的轨迹,即“正中”平行线l仍然保持通常定义下的三角形的“角”平分线的某些性质.如:l与两角∠C,∠B的平分线三线相交于同一点I,此点到三“边…     

Morley定理的更简证明

近年 ,我们对 Morley定理的研究日深 ,证明日简 ,本文给出一个仅用几行文字的证明 ,供大家赏析 .Morley定理　如图 1,任意△ ABC每两个内角相邻的三等分角线的交点构成正△ DEF.图 1　　　　　　　　　图 2证明　如图 1,设 A =3α,B =3β,C =3γ,如图 2 ,又构造凹六边形A′F′B     

牛顿定理的两种新证法

<正>牛顿定理[1]圆外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合.此定理是说,若凸四边形ABDF外切于圆,AB,BD,DF,FA边上的切点分别为P、Q、R、S.则四条直线AD、BF、PR、QS交于形内一点.文献[1]给出了8种证法.经笔者探究,给出如下两种新的证法,供鉴析.     

外莫莱三角形的一个性质

将ABC的各外角三等分，每两个外角的相邻的三等分角线相交得DEF，称之为西ABC的外莫莱三角形．由文[1]知AD、BE、CF相交于一点．对于△ABC的外莫莱三角形△DEF,有如下性质．定理△ABC与其外莫莱三角形△DEF对应顶点连线AD、BE、CF共点于西ABC的内心的充要条件是bABC为正三角形．记bABC的三内角为A、B、C，定理的证明需用到如下事实：，＿。。＾．＿＿。＿，L—B、－1引理1在西ABC中，有sinz（士丁Q）＜十，同理可证其它两丸定理的证明：必要性容易证明，这里从略，下证充分性．本文绘出了文［2］提出的一个猜想的证明…     

正方形中的一个结论及其应用

<正>1.基本图形结论如图1,在正方形ABCD中,E、G、F、H分别为边AB、BC、CD、AD上的一点,若(1)EF=GH;(2)GH⊥EF,垂足为I,则由其中(1)■(2),也可以由(2)■(1).下证(1)■(2).证明如图2,过B作BM∥GH,交AD于点M,交EF于点K;过点C作CN∥EF,交AB于点N,交BM于点P.因为MH∥BG,     

由一个性质定理的多种证明所想到的

等腰梯形的性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等.(四年制几何第二册,第117页) 已知:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠B=∠C.