妙解一则

问题已知关于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α、β,求cos(α+β)的值.解由题意知,点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)在直线3~(1/2)x+y+a=0上,同时又在圆x2+y2=1上.直线AB的斜率为k=-3~(1/2),因而     

一道动态几何题的探究

题(湖北省八校2012届高三第二次联考数学理科14)如图1,直线l⊥平面α,垂足为O,已知直角三角形ABC中,BC=1,AC=2,AB=5.该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动:(1)A∈l,(2)C∈α,则B,O两点间的最大距离为______.1适合于填空题非严密解直角三角形ABC在时刻t的运动状态有三种:(1)A,O重合,A,C在平面α内,OB=AB=5.(2)C,O重合,C,B在平面α内,OB=CB=1.(3)A,O,C无任何两点重合,设二面角O-AC-B=θ,此时有两个极端位置分别是θ为0°和180°,     

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

关于圆锥曲线与等比数列的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,本文给出圆锥曲线与等比数列的一个性质.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),双曲线C2:mx22-ny22=1(m>0,n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为线段AB上的一点,则|OA|,|OP|,|OB|成等比数列的充要条件是P点的轨迹为C3:(ax22 yb22)(mx22-ny22)=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ<π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应点的距离.设A,B,P三点的坐标分别为:A(t1cosθ,t1sinθ),B(t2cosθ,t2sinθ),P(tcosθ,tsinθ).因A点在…     

求异面直线所成角的一个简便公式及应用

定理设两条异面直线a,b所成的角为θ,由b上两点A,B引a的垂线,垂足分别是A1,B1.则cosθ=(A1B1/AB) (*) 证若A1、B1为相异两点,如图1,过A作     

对课本一个结论的加强与推广

1 课本结论的再现 全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(下B)P48,在研究平面的斜线和它在平面内的射影所成的角时,有这样一段话:"已知AO是平面α的斜线,A是斜足,OB垂直于α,B为垂足,则直线AB是斜线在平面α内的斜影,设AC是平面内α的任一直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ,那么θ,θ1,θ2之间满足如下关系式:cosθ=cosθ1cosθ2."     

武汉和北京相距多远

武汉位于东经 114°,北纬 31° ,而北京位于东经116°,北纬 4 0° ,那么 ,武汉和北京的球面距离有多远 ?(以上称问题 )为了解决这个问题 ,先介绍了一个定理 .为方便叙述 ,本文采用有向角 ,规定东经为正 ,西经为负 .北纬为正 ,南纬为负 .例如西经 12 0°记为- 12 0° ,南纬 30°记为 - 30°.定理　设A ,B是地球表面上的任意两地 ,A地的经度为θ1,纬度为 φ1,B地的经度为θ2 ,纬度为φ2 ,地球中心为O ,球心角∠AOB =α(α∈ (0 ,π]) ,则有三角关系式cosα=sinφ1sinφ2 +cosφ1cosφ2 cos(θ1-θ2 ) .证明　设地球半径为R ,A ,B两地分别…     

对一道例题的更正

本刊 2 0 0 4年第 6期《利用单位圆解三角函数问题》中例 3如下 :设θ∈ [0 ,2π) ,若cotθ 相似文献   

2003年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(理工农医类)试题及参考解答

一、填空题 (本大题满分 48分 )1 .函数 y =sinxcos x +π4 +cosxsin x +π4 的最小正周期 T =.2 .若 x =π3是方程 2 cos(x +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3.在等差数列 { an}中 ,a5=3,a6=- 2 ,则 a4+a5+… +a1 0 =.4.在极坐标系中 ,定点 A 1 ,π2 ,点 B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动 ,当线段 AB最短时 ,点 B的极坐标是 .5.在正四棱锥 P - ABCD中 ,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,则异面直线 PA与 BC所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示 )6.设集合 A ={ x |x|<4} ,,B ={ x|x2 - 4 x+3>0 } ,则集合 { x|x∈ …     

用三面角公式求二面角大小

先介绍三面角公式：如图1,设O-ABC为一个三面角,∠AOB＝α,∠AOC＝β,∠BOC＝γ,二面角B-OA—C的大小为θ,则有cosθ=（cosγ-cos αcosβ）/sin αsinβ。     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

对平面公理2的理解

《立体几何》中平面的基本性质公理2为:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线,这可用下面的数学符号语言表示: 若A6∈α,A∈β,则存在惟一直线α,使α∩β=α,且A∈α.(见图1) 对公理2,我们可从三个方面去进行理解. (一)如果两个平面有两个公共点A、B,那么直线AB就是这两个平面的交线 例1 如图2,平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且C∈l,又AB∩l=R,过     

利用点重合巧解题

众所周知,点P(a,b)与Q(c,d)重合的充 要条件是a=b且b=d,利用这一条件解某些 数学问题,可以收到出奇制胜的效果,请看两 例. 例1 设n∈N且sinα+cosα=-1,求 sinnα+cosnα的值. 解 易知点P(sinα、cosα)既是直线x+y, =-1上的点又是圆x2+y2=1上的点,而该 直线和圆的公共点只有A(0,-1)和B(-1,0) 两点,所以点P与点A或点B重合,从而有     

选择题三道

以下三道四支选一的选择题,都要求口答。 1.已知直线aα(平面),则α⊥β(平面)是α⊥β的( )。 (A)充分不必要条件; (B)必要不充分条件; (C)充分且必要条件; (D)不充分也不必要条件。 2.到两点距离的( )的点的轨迹是直线。 (A)比为定值; (B)平方比为定值; (C)平方差为定值; (D)平方和为定值; 3.已知0≤θ≤π。f(θ)=Sin(cosθ)的最大值为α,最小值为b。g(θ)=cos(sinθ)的最大值为c,最小值为d。那a、b、c,d从大到小的顺序是     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

圆锥曲线的准线切线焦点弦的相关性

文 [1 ]定理 5概括了抛物线的准线切线焦点弦的一个相关性 .本文将利用极坐标法证明三种圆锥曲线的准线切线焦点弦的几个相关性质 .1　极坐标系中的直线方程引理 1　在极坐标系中 ,过两点A( ρ1 ,α) ,B( ρ2 ,β)的直线方程 (两点式 )为ρρ2 sin(θ - β) =ρρ1 sin(θ -α) + ρ1 ρ2 sin(α - β) ,或sin(α- β)ρ =sin(α-θ)ρ2 + sin(θ- β)ρ1(不经过极点时 ρρ1 ρ2 ≠ 0 ) .证明略 .引理 2　在极坐标系中 ,过点A( ρ1 ,α) ,斜率为k的直线方程 (点斜式 )为 ρsinθ-kρcosθ =ρ1 sinα-kρ1 cosα .引理 3　A( ρ1 ,α) ,B…     

综合题新编选登

题176已知过椭圆C:xb22 by22=1(a>b>0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点;又函数y=a·sinx 3b·cosx的图象的一条对称轴的方程是x=6π.1)求椭圆C的离心率e与kON;2)对于任意一点M∈C,试证:总存在角θ(θ∈R)使等式:OM=cosθOA sinθOB成立.解1)函数y=a·sin     

一类三角式的数值求法

有些三角式的最大(小)值,可以通过求切线的斜率来求。例1 求(sinθ+2)/(cosθ-3)的最大值和最小值。解:设A、B两点的坐标分别为 (cosθ,sinθ),(3,-2) 则k_(AB)=(sinθ+2)/(cosθ-3) 而A点的轨迹为 x~2+y~2=1 ①这就是要在圆①上求一点A,使它与定点B点的连线的斜率有最大值或最小值,显然,这线     

一个计算二面角大小的公式

高中现行立体几何教材仅给出运用定义求二面角大小的一般方法,而未提供公式计算法。本文以向量为工具,得出一个计算二面角大小的有效公式,现介绍如下。公式如图1,从空间一点O引三条射线OA,OB,OC,在OC上任取点C,作CA⊥OC于C交OA于A,作CB⊥OC于C交OB于B,设(?),二面角A-OC-B的大小为α,则有 cosα=(cosθ-cosθ_1cosθ_2)/(sinθ_1sinθ_2)。证明如图1,由CA⊥OC,CB⊥OC知∠ACB为二面角A-OC-B的大小, ∴α=∠ACB=(?)。     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0