小小“K”型图用处真大

<正>最近,我在解题时经常会遇到如下的基本图形(我们的老师形象地把它叫做"K"型图):如图1,AD⊥AB,BC⊥AB,点P在线段AB上,且∠CPD=90°,则必有△PAD∽△CBP.特别地,当PD=PC时,△PAD≌△CBP.利用这个"K"型图,我们可以建立线段之间的等量关系来解决一些与线段有关的问题.先来看     

与角平分线有关的两个例题

<正>在解决几何问题时添加辅助线非常关键,一条合适的辅助线能化难为易.下面介绍两例.(一)与角平分线有关的"截长补短"法例1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB、AC、CD三者之间的数量关系,并说明理由.解AB=AC+CD.理由如下:     

“∑”型几何题的一题多解与一题多变

<正>数学是一门基础学科,数学题千变万化,我们要充分利用一切有用条件,运用类比、联想,采取一题多解、一题多变以提高学生兴趣,也可避免"题海战术",达到做一个通一类的目的.下面有一道形如字母"M"的几何题解法多样,变化也较多.原题已知:如图1,AB∥CD,探讨∠AEC与∠A、∠C之间满足什么关系,并说明理由.     

“8字型”的简单应用

学生在做全等三角形的有关问题时,往往被纷繁复杂的图形弄得无所适从,不知从何下手.俗话说"再高的楼房也是由一砖一瓦砌起来的",其实,在证明时,我们要充分发掘全等三角形中的基本图形,只要能从复杂的图形中找出基本图形,运用基本方法,我们就能化繁为简,化难为易.在图1中,线段AB、CD相较于点O,连接AC、BD,可得结论:∠A+∠C=∠B+∠D,我们把如图1的图形称之为"8字形".这种基本图形,常见于     

折叠矩形探究规律

图形折叠的本质是轴对称变换,折叠起来趣味无穷,而以矩形为载体的折叠问题倍受命题者青睐.例(2011年威海)如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.(1)若∠1=70°,球∠MKN的度数.(2)△MNK的面积能否小于12?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由.     

一堂复习课的教学实录与反思

问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C     

构造全等三角形解题举例

<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE     

证明“线段a=b+c”的基本思路

<正>在初中几何中,三条线段长分别为a,b,c,求证"a=b+c"的证明题是常见问题,尤其对于线段都不在同一直线的情形.本文针对这种情况给出三种基本思路,下面结合一道考试题进行说明.问题如图1,∠B=∠C=90°,AE平分∠DAB,DE平分∠ADC.求证:AD=AB+CD.由于线段AD、AB和CD相互分离,不在同一直线上,因此需要想方设法进行转化,有三种思路.一、将a一分为二此方法将较长线段AD分割成两部分,使     

一个几何最值问题的两种解法

<正>例如图1,P是线段AB上的一动点(不与A,B重合),AB=a,分别以AP,BP为斜边,在AB的同侧作点Rt△APC,Rt△BPD.且使∠PCA=∠PDB=90°,∠A+∠B=90°(∠A、∠B的度数均为定值)连接CD,求CD的最小值.解法1如图2,延长AC、BD相交于点E,则∠PCA=∠PDB=∠CED=90°.所以四边形形PCED为矩形.连接PE,则PE=CD.过点E作EQ⊥     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

一个基本图形在中考题中的应用

大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求…     

"蝴蝶"型两个结论的应用

如图1的图形称之为"蝴蝶"型,下面就"蝴蝶"型的两个结论谈两类应用. 1 一般"蝴蝶"求角度 结论1 如图1,如果AD, BC相交于点O,那么∠A+∠B=∠C+∠D. 此结论可称之为"蝴蝶"型的角度和相等.构造满足此结论的图形.可将复杂图形求角度的问题转化为特殊图形角度和.     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.     

对两道习题的思考

<正>题1已知:如图1,直线AB与⊙O相切于点C,AO交⊙O于点D,连结CD,OC.求证:∠ACD=1/2∠COD.原解如图1,作OE⊥CD于点E,则∠COE+∠OCE=90°.∵⊙O与AB相切于点C,∴OC⊥AB,即∠ACD+∠OCE=90°.∴∠ACD=∠COE.∵△ODC是等腰三角形,OE⊥CD,     

求阴影部分面积的几种常用方法

一、和差法仔细观察图形,明确该图形是由哪些简单而规则的图形组合而成,利用这些基本图形的和与差求出阴影部分的面积.例1如图1,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=A′     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

巧求圆中阴影部分的面积

<正>圆中阴影部分面积的计算是历年来中考关注的热点.这类题目灵活多变,解决此类问题时往往要用到割补、图形的平移、旋转等图形变换,现结合例题进行讲解.割补法例1如图1,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则阴影部分的面积为_.分析已知BC为直径,则∠CDB=90°,在等腰直角三角形ABC中,CD垂直平分AB,CD=DB,D为AB的中点,阴影部分的面积可以看做是扇形ACB     

避开相似 充分利用三角函数

<正>对于有公共角或等角的直角三角形,我们可以避开相似,充分利用三角函数的定义解题,这样更为简洁,下面举例说明.引例如图1,CD是Rt△ABC的斜边上的高,求证:(1)BC2=AB·BD;(2)CD2=AD·BD.证明(1)∵Rt△ABC中,cos∠B=BC AB,而在Rt△BCD中,cos∠B=BD/BC,∴BC AB=BD/BC,即BC2=AB·BD.(2)∵∠B、∠ACD都与∠A互余,∴∠B=∠ACD.∵Rt△BCD中,tan∠B=CD/BD,     

“8”字型的构造及应用

<正>初中几何的学习,往往被纷繁复杂的图形弄得头晕目眩,无从下手.其实,只要平时善于归纳总结,就能从复杂的图形中找出基本图形,运用基本方法化繁为简,化难为易.而"8"字型就是一个非常经典的基本图形."8"字型是全等、相似内容里一种非常重要的基本图形.一、"8"字型,如图1(证明略)1.不规则"8"字型若线段AB、CD相交于点O,连接AC、     

一道几何题的引申

命题　PQ是以AB为直径的⊙O中的一条非直径弦 ,连接PA ,BQ的直线相交于点M ,连结BP ,AQ相交于点N .则MN ⊥AB .(图 1 )图 1证明　设直线MN交AB于点K .由AB是⊙O的直径 ,由P ,Q在⊙O上知∠MPN=∠MQN =90° .所以P ,M ,Q ,N是四点共圆 .从而∠QMN =∠QPN ,即∠BMK =∠QPB .又因为∠QPB =∠QAB ,所以∠BMK =∠QAB .由∠AQB =90°知∠QAB +∠QBK =90°.所以∠BMK+∠QBK =90°,即∠BMK +∠MBK =90°.　　所以∠MKB =90°,故MN ⊥AB .经笔者探讨 ,发现圆的这一性质 ,在圆锥曲线中仍然成立 .如果将椭圆的长轴…