中学函数图象的教学

(一) 在中学数学教学中,函数相依的概念占着极其重要的地位。这是因为:(1)函数相依关系是客观世界中的各种現象演变过程的数学反映。例如当我們在研究指数函数的时候,就应该让学生注意到这个函数是反映生物的繁殖、热物体的冷却、放射性元素的分解等等;(2)函数相依关系还体現了近代数学辯証思維的特点,因为在研究自然現象与技术改革的过程中告訴我們:对于一个在变化过程中的量,不能够割裂地彼此孤立地来研究它們,而要研究它們的运动,研究它們之間的依存性和制約性;(3)函数相依的概念是整个中学数学的基本概念,在目前,初等数学已含育了部分高等数学的內容的情况下,它也是从初等数学进入高等数学的基本枢紐。在教函数相依的关系时,教师应該特别注意引导     

在高中一年級讲三角課时遇到的几个問題的商榷

(一) 在中学里,为了便于指导学生閱讀課本,培养他們独立工作能力,应当依照現行課本的教材順序进行教学。不过目前数学各种教材正处在逐步下放阶段,彼此銜接方面有些还不够紧密,而高中一年级的代数与三角两門課间脫节現象更为显著。在高一三角課中,首先讲三角函数定义时,要依賴于相似形的性貭与函数的概念作为基础。但是在代数里还沒讲到函数,没有函数概念的初步知識而进行研究三角函数作为一种具体的函数性貭时,对于这門知識的理解与运用来說,都将使学习受到一定程度的困难与缺陷。所以应当使学生了解函数的概念后再进一步讲三角函数的定义是完全有必要的。这样,就必然需要对現行課本中的部分教材,从順序安排方面作适当处理,才能适应于教学。怎样安排更好?个人意見是这样: 第一,开始讲三角新課前,先把函数的概念讲一些基本知識,包括常量、变量、对应关系及函数的符号与表达式等,为讲三角函数定义作好准备。如果采取这种方法,应注意下列两点: 1.讲函数的概念,不宜占用过多的課时,內容也不宜过广。主要以能够适应讲三角新課时的需要为准; 2.与代数里所讲函数概念的教材內容要一致,課     

怎样定义函数概念

无论在中学还是在大学的数学課程中,函数概念都是一个极为重要的基本概念,然而也是一个困难的概念。学生在接受这一概念时,不是一帆风順的,而总是会感到不易捉摸,从而发生或多或少的各式各样的錯誤观点。造成这种現象的原因是多方面的,不过我认为主要是由于現在所普遍采用的函数概念的定义,虽然是深刻的、正确的,但从某种意义上讲,存在一定的問題。大家熟知,現在普遍采用的函数概念定义一般如下:数值可以任意选择的(有时要在某一个范围内)变量叫作自变量。如果对于自变量的每一个确定的值,另一个变量有确定的值和它对应,那么这个变量叫作     

相关分析基本内容及其应用

大家都知道,自然界中和社会中許多現象(在概率论和数理統計学中称之为随机变量)不是孤立的,而是一个相互制約和相互联系的整体,例如:气象中的相对湿度与降雨量;水文中的径流量与降雨量,蒸发,渗漏;农业中麦田施肥量与产量;鋼铁工业中的高炉产量与炉頂压力;紡織工业中棉紗纤维的品貭长度与支数等等。在数理统计学中把現象間各种各样的关系通称作相关。为了区分相关的不同程度,我們把它分为下面三种情况: (1) 完全相关(函数相关):设有两个現象如果其中一个的变化完全由另一个現象所确定称为完全相关(函数相关)。这种現象在物理学中是常見的,例如,在固定气体的体积下,气体的压力P与溫度T成正比,其函数相关的表示式为:     

均值和方差不变的值序統計量

<正> 在数理統計学显著性检定的領域中,拟合良好性的检定是一个基本重要的問題.它的目的在于考察一組真实的观察值与某个設想的概率分布之間的符合程度,明确客观随机現象的变化情况和統計規律,从而帮助了人們首先认識这种現象,然后采取相应的措施来解决在实践中存在的問題. 本文所处理的統計問題的形式如下.随机变数ξ的分布函数是未知的.     

函数概念的历史发展

大家都知道,函数概念乃是現代数学概念中异常重要的概念之一;在現代数学教学中,函数概念也占有着十分重要的地位。概括地了解一下函数概念发展的历史,对每一个数学工作者,特別是对每一个数学教学工作者讲来,都是有必要的。本文試图給出关于函数概念发生发展历史的簡短的叙述,謹供大家参考,不足之处,尚望多加指正。一、函数概念的产生与解析几何学函数这一概念,从一开始,就与动点的軌迹,与解析几何学的产生是分不开的。再也沒有其他的例子,如同象动点作曲线运动时,它的x坐标和y坐标相互依賴并同时发生变化那样,更有利于促使人們产生变量、因变量——产生函数的概念了。而这又正是解析几何学的主要內容。     

对“关于分圓多項式既約因子的性質”一文的意見

今年七月号“数学通报”发表了佟文廷同志“关于分圓多項式既約因子的性貭”一文,提出了这样一个命題:在有理数体內多項式x~m—1之任何既約因子的系数,对任何m都只能是0或±1。从而肯定了捷波大列夫猜測正确。經研究,发現結果是錯誤的。原来作者仅提出一种分解多項式:的方法,按这种方法分解到不能再分解时,所得的每个因子的系数的确只能为0或±1,但这些因子是否一定就是既約多项式呢?作者沒有証明却含糊地肯定了。現举一反例說明实际上并不是这样的。     

希爾伯脫的“幾何學基礎”及其在問题的歷史發展中的地位(續)

歐幾里得的“原本” 歐幾里得(公元前約300年)的“原本”中包含幾何學基礎的系統的叙述,它的方式是:集成了距該時代總共約3個世耙在希臘的土壤上的數學發展。從那時起差不多封現代為止,“原本”被認為科學嚴密性的叙述體裁的模範;誰也沒有企圖過動手實行它的根本上的改編,而我們的中學教本直到現在基本上還是重刊了歐幾里得的“原本”。     

談談中学数学教学中的函数和函数概念的教学

加强函数概念的教学是提高中学数学教学貭量的一个重要問題,因而如何理解函数教学在中学数学教学中的意义,它的教学要求是什么,在教学中应該注意什么問題就成为每一个数学教师所关心的問題。本文拟就对这些問題談談个人的一些极其粗浅的看法,請同志們批評指正。一、函数教学在中学数学教学中的重要性函数是中学代数課程中的重要概念之一,这一概念之所以重要,不仅在于它是中学代数教学內容的中心,而且它是从初等数学过渡到高等数学的基本枢紐。众所周知,数的概念、恆等变形、方程、函数构成了中学代数的基本內容,其中对于方程的教学,基本上不外是两个方面:一方面是列方程,另一方面是解方程。布列方程就是求出反映某些量与量之間的函数表示式,并使之等于某个已知的数值;或者使某两个函数关系式相等。而解方程是找出这些量中未知量的数值,     

算术根概念教学的形式主义

目前,中学生掌握算术根概念的形式主义現象是十分严重的,本文試将算术根概念的教学分为三个阶段来分析,并指出預防和克服这些現象的一些措施。 (一)算术根概念教学的准备和形成阶段这一阶段的主要任务是:在平方根及其性貭、符号和算术平方根及其符号的基础上,建立一般的方根定义、性貭与符号;建立算术根的定义与符号。这是算术根概念教学的中心环节。这一阶段,学生关于算术根概念的形式主义,主要表現在两个方面: 1.定义与在定义指导下的运算有脫离現象;     

初中数学在理化中的应用

对任何自然現象的研究,可归结为对該現象的定性的研究与定量的研究。定性的研究依靠观察与試驗而認識現象的本質或內在屬性,而定量的研究則是以实驗观測各个相关的对象的量值而認識其一定的关系,並建立为規律。     

三角函数为什么可以解释为数值变量的函数

在中学的三角課里,最初是把三角函数定义为以角或弧为自变量的函数.在引入角和弧的弧度制(经制)以后,开始把三角函数解释为以实数为自变数的函数(現行課本沒有明确指明这一点),这无論对进一步学习本門課程或进一步学习高等数学,都是必要的。但是,为什么可以把三角函数解释为以实数为自变数的函数呢?这个問题在实际教学中,可能在闡述上不够清楚。特別是,角的弧度制在这一問題中究竟起着怎佯的作用,也往往被不恰当地解释了。例如,认为只有引入了弧度制以后,才能把三角函数的自变量解释为实数,这并不是个別的。那么,問題应該如何解释呢?我們說,問題的实貭并不在于选择怎样的度量制度。因为,无論在角(或弧)的那一种度量制度下,都能使角的集合(有向角)与实数集合建立起一一对应关系。这就是說,当度量方     

在中学增設概率论与数理統計的可能性

为了使数学更好地为我国的社会主义与共产主义建设服务,目前的迫切問題是要求数学教材联系实际和現代化。数学中的現代內容,一般地說,与現代的社会实践联系較紧,因而具有較广泛的发展前途。只有抓住数学中新生的进步的东西,才能迅速攀登世界数学的高峯。人們在实际中,經常碰到的現象大致可分为两类:必然現象与偶然現象,亦卽在一定条件下,必然出現(或不出現)的現象与可能出现也可能不出現的現象。如果說,微分方程是研究必然現象的有力工具,那么,研究偶然現象的有力武器便是概率論与数理統計(以下簡称概率統計)。正是由于在实际中存在大量的偶然現象,所以必須在中学讲授它,使它为广大羣众所掌握,为我国的建设服务。也只有这样,才能使这門学科在我国迅速发展。这里一个基本问题是可能性問題,就是說,中学同学是否可能学好这門課程。現在我們从下列三方面,較仔細地考察一下。     

初等概率介紹

§1.概率概念概率論是数学的一个分支。它研究或然現象。或然現象如何理解呢?为了說明或然現象我們先看它的对立概念“必然現象”。所謂一个現象是必然的,就是说这一現象在一定的条件下必然发生。例如在欧氏几何里,三角形三个內角和必然等于180°,又如手拿一块鉄,如果松手,鉄必然下落等等。必然現象的对立概念就是或然現象,例如擲一顆股子(条件),我們得到哪个点是事先不能肯定的。又如一个口袋內有同大小同重的紅白球各十个,閉着眼从口袋里取一个球,誰也不敢肯定所取的球是紅还是白。所以取球这一事件称作或然事件,如果当条件一实行,事件A可能发生但不一定发生,則事件A叫作或然事件。对于或然事件的量的刻划就是它的概率。一个或然事件的概率大就表示这个事件的发生可能性大。例如在上面所說的口袋里,我們問取紅球的概率与取白球的概率如何,我們一下子可以回答說,这两种事件的概率是相等的,又如一个口袋有10个白球,一个紅球,那么一下子可以說出,取白球的概率比取紅球的概率大。必須合理地定义或然事件的概率,才能說出其概率究竟等于多少。     

比例相似形

《相似这一名詞,从来許多教科书都沒有統一的定义。以至对于多边形、弓形、扇形、多面体、圓錐、圓柱、鼓形、球底錐、漏斗形、……的相似,一形給下一定义。相似的定义出現十多次,而前后并不互相貫通。說它們相同,則各有定义     

用代數复習圖表帮助学生進行总复習

中学代数課在工農速成中学里,連續地進行了五个学期,到畢業前总复習的时候,同学們感到不少困难,这是因为:第一,代数課講的材料多,單元划分又很零乱,教材之間缺少系統性。第二,代数課內容大部分都是些抽象的定义、定理、公式、法則,缺少直观形象,因此难以巩固知識,大部分学生复習代数只是背誦一些公式,看看作業就算完事,因为复習的时候沒有把所学得的代数知識形成一个完整的系統的巩固的概念,所以过后不久就又忘記了,作業也就又發生了困难,針对这种情况,我觉得学生首先应該完整的直观地掌握代数課的主要系統,然后学生們才能够有所遵循地独立地進行全面复習。於是我繪制了一套中学代数复習圖表,对学生進行了代数課的复習展覽,下面就是关於这方面的一些体会。     

关于师范学校代数課中二元二次方程組的教学体会

师范学校代数課本中二元二次方程組編排在二次方程和可以化成二次方程的方程之后,不同于高中代数編排在函数和它的圖象之后便于方程組的解得到几何解釋;但这部分教材与二次方程的联系非常紧密,將它放在二次方程之后不是沒有优点的。同时把函数与圖象推迟来講可以綜合所学过的代数教材,对于解方程组同样也能給予新的函数解釋和几何意义。下面是我講这部分教材的一些体会。     

数学綜合題

一、引言什么叫做綜合題?怎样解綜合題? 綜合題的本身也是一个題,实貭上就是牵涉面較广,內容較复杂的題目。但拆开来看看,也无非是几个互相关联的較簡单的习題。一切题目,包括綜合題在內,总是从已知求未知的过程。我們只要在已知量和未知量之間根据它們的相互制約关系,理出一个头緒来,那就会得到正确的解題路綫的。怎样理出头緒来呢?也不外乎从两个方面着手:一方面是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,另一方面是从“未知”看“需知”,逐步追索到“已知”。两个方面汇合了,解題的路綫也就明确了,綜合題也就分散成     

P-可测函数的构造性质

可测函数的构造性质是定义它关于测度μ的积分的理论基础.为了在P-测度空间上定义P-积分,借鉴可测函数的构造性质,引入了P-示性函数、P-简单函数、P-初等函数以及P-可测函数的概念,在此基础上系统地研究了P-实可测函数、有界P-实可测函数和非负P-可测函数与P-简单函数序列及P-初等函数序列的收敛关系;找出了P-实可测的充分必要条件;证明了实P-可测函数正部和负部都是非负P-实可测函数,最终得出任何P-实可测函数均可以表示为二非负P-可测函数之差,为定义P-积分提供了理论依据.     

談談算术根問題

算术根是中学数学的重要概念之一,它不仅和代数式的恆等变換、解方程、函数的图象有密切关系,甚至在三角学的恆等变換中也有它的应用。可是这些問題,在現行高中数学課本中并沒有得到很好地闡明,学生对这个概念也就掌握得不够好,于是造成了升入高等学校后学习数学的困难。为此,本文企图在中学数学范围內比較全面地闡述有关算术根問題,供同志們教学上参考。