数学奥林匹克问题选登

1992年3月号问翅解答 (解答由供坦人给出) 19.设H是平面上△月刀‘区域的任一点,月万、刀万、‘万的延长线交△ABc三边于D、E、F,求证:在△月刀‘区域,存在一个以△刀召尸的某两边为邻边的平行四边形. 证如图,G是△月刀‘的重心,D‘、E‘、F‘分别为肥、“、AB边上中点,则△A肥区域被 一48一划分为六个区域:△AF‘G,△BF‘G,△胳G,才△C刀’G,△口召‘G,△AE‘G,不妨设H点落在△cR,G区域,如~口一口刀一_口召,图易知:筋镇’,兹镇l,篇、,,由塞瓦定李理,得豁·器·釜一1=>器一器·纂、1,器一豁·器、影冷艺BFD)艺FDE,乙”D“)匕…     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

数学奥林匹克问题选登

l,.,年s月号问题解答 (解答由供题人给出)23.在O口外切梯形月刀‘刀中,叨//朋.试证:(l)ADZ+刀叮至<月刀,十刀C,,△月刀C.石净,仪产(头 l。.__了万__).=气犷。职M万犷=--二尸~.刀盯. 乙’乙,_、1 .1_1 .1叹Z)气下十下二吸.丁井十下共. 产U声刃七Z幻口刀L,___,。月,AEEF_了万二,。月。“夕‘‘。‘之几。月‘一几节~石蕊~一气犷~,IIu乙。月L刀笼枯 ZUJL洲奋‘ 证明:设O口切AB、货于M、N,切AD、邵于E、F;显然M、o、万共线,连o月、oD.记乃从=朋=a,刀肘=刀尸一b,角,:.乙刀月口二450.此时乙通刀召=450=匕戒甲, 由四点共圆知识又得乙…     

圆周角平分线的一个性质及其应用

定理设朋洲D、淞是圆的三条弦,乙召解~2a, (l)若朋平分乙月月‘,则朋+淞二ZA刀℃osa. (2)若AD平分乙刀韶的外角,且月刀>Ac,则 月召一肖少~2川为Ina. 证明(l)连结肥、BD.如图1所示,由△月汀的面积关系有 月刀·水少·SjnZa二(AB+双、)月E·sjlla即2朋·留·cos。二(月刀十月c)刁刃,C又△‘E。△ADB,荔一器,A。·Ac一AD·朋②将②代入①即得2月石七仍a~月D十淞·必丁二{‘图2 (2)设乃D与肥的延长线交于E,连结DD,如图2所示,则乙C月E二900一a,乙川刃=900十。,类似于(l)有万悠 月刀·水)sinZa二沌刀·月召sln(900+a) 一淞·滋肠in(9…     

2005年高考数学湖南卷

选择题: 2.函数f(x)一了l一2x的定义域是() 复数z~i+i“+i“+14的值是( A.一1 B.O C.ID (一、, (一。, B.[o,+二) D.(一二,+。) ﹁1.、产 0门︸ AC 3.已知数列{109:(an一1)}(n eN’)为等差数 ___,一,,.,1 .1 且az=3,aZ~匕,贝组l一m气—十— ~叻口2一口1口3一口2 △ABC的面积,助- S△PBc S△ABc S△Pe^ S△ABc l 十’..一十—)=气少 口”十l一a刀 3 匕。气二向 乙 S△P^B S△ABe ,定义f(尸)一(川,几,几3),若G A.2 C.1 是△ABC的重心,f(Q)一 () A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内 C.点Q在△GAC内 D.点Q与点G重合 1 1 11\…     

一常见三角公式的另一证法

“在△A刀c中,有t、A十toB十tgC= 即tga=又’:乙CBE=‘分+仇而‘一夕之匕OAE,探一︷劣招Atg山茄”这是一个常见的三角公式,但许多数学参考书都是利用三角证明的。现用另一种方法给予证明。.’.△O月E。△C刀刀,.’o刀C召EA口刀召 证明:如图,设刀D、召E、 CF分别是△A刀C三边上的 高,重心为O, 刀C=a,AC=乙, AB=C,AO=x, 刀O=万,CO=z, 乙BAC=二.乙ABE,乙刀OC=匕EOF,丫在Rt△ABE中,tga=塑二三A丑x c邵十乙之a~、-,·、-,一白‘一万之x整理得:卿:十乙二:+。刀x=a乙。,两边同除以粉之得:,.’乙且CF=(1)(2)(8)‘︸之 .,口一…     

数学诡辩

1.不过圆心的弦 与直径相等题:如图:在00中,ALB是直径,D是弦AC的中点,连结BD并延长交00于E,连结cE,求证:cE~月Z孔 证明:在△滋刀刀与△五汪℃中. 乙A一乙E,匕B一艺C,乙通刀刀一艺召Z刃,月刀二货, △月刀刀望△召之兀),…月刀~C刀认五.都是根又都是增根解方程aretg(:一1) areetg(x 1)=arctg冬. 乙解1设a=aretg(:一l), 则tga一z一1.设刀一areetg(: l),则etg刀=: 1. tga十tg刀 tg(a 刀)一下共一月誓二 ,、一‘厂‘l一tga .tg声 l、1 ~tg(arctg音)一音. ,、一一,2‘2’:一1十即 1劣 1l一劣一lx 1l2 解得:一士1,经检验,知x一1是原方程的…     

一道课本上习题的推广与应用

求证:A 刀 C一“”(”七z)是:tg月十‘91, tge二ts滋·tgB·*‘己的充要条件。 证明充分性\由A十刀一‘一C(lJ任Z)得到一tgC二ts(A十召)=tgA十tgCl一tgAtg召 tg4 tg刀十tgC一tgA·tg6·tg〔’必要性假设、一tg爪‘U一0,则t‘,一六- t匕L, ,汀气8又下~一廿) 乙 高中代数第一册PZ17第22(!)题:△注肥,求证:tg月 tg刀 tsC=tgA,g召‘gC· 本文将此题推广成如下: “十”一“, 晋‘。任z,将ts月·t8B=I代入tgA十tg召十tgC=tg乃·tg召·tgC“tg(’ tgA十ts刀~0解得:A十刀二川二(ll,ez)①与②矛盾,故1一论A·饱召护0①②3马将tgA tg刀二t…     

二倍角正切公式的一个几何推导

半径为‘一,切线刀万切于产阮|卜r|l卜.1.八vC,,下||旧、!‘l‘1 以O为圆心作半圆,圆于H点,过B作圆的另一切线刀C,交HO的延长线于C,切点为石(如图)。 设HC二人,刀H=刀刃二P,OH=O尸=场C刀=s,乙HBO二匕C方口二日,则匕HBC二又’:匕刀亡H公用,2夕…△C万O叻八CH几C万万OCH汀月_CO沛三=几 C刀~”hPh(h一了)/l一r百 P由此可得、了、7、1211Q山q合扮了、了‘、产r、s(s p)及sP二(2)一(1)得hr‘z=hZ一21乙于由(2)、(3)两式消去碍叮 尹二jlz一Zh:h=一竺一一 z一(二)2 夕两边同除以川毕 了 2(乡)1一(厂), P(一1) 一一心九一力占由图…     

数学问题解答

1”0年8月号问题解答 (解答由间题提供人给出)已、 =叮。.夕了一。。织· D\奋l ‘inGsin(0+C)‘666.、证明o<甲<要时, ‘中相似文献   

拟线性波动方程耦合组Cauchy问题的整体解存在定理

对于相对场相互作用系统〔‘l口切=F(切,吵,刀p,D必口砂=G(切,劝,刀甲,D妇t二0:(甲,叻)“(蜜:,舀2),(沪‘,功.)二(叮:,斤2)声..t‘苦.t 、产 ︸l 了、其中场变量伽,初为(t,x)任R+xR”的未知函数,F、G、古:、条、粉:、刀:为已知函数,口=a‘一△,D=(J.,a二:,…,a二。),有 定理若存在常数v。>o,使当1入】(v。时,)F{二o(囚’‘,),【Gl=o(囚.”),入==(入。,入:,…,入。,#。,拼,,…,拼,),F、G〔C’(R,,+舍),且八>2(a+1)la,a》z,对于任何正整数50>。/2(a+i)+i及s》〔an/(a+1)〕+s。+1,存在d>o,E>o,使当君:、么〔H,+’(R”)门研.+’,,“+”…     

实部连对角占优阵和共轭连对角占优阵的特征值分布

几设A一(a‘,)…〔C”’“,‘己刀‘一馨Ia‘,l,‘成‘(n·我们引厂厂述定义: j中落 定义1若}Rea‘,日Rea,,})刀‘刀,,:’,j==1,,,‘制,则称A为实部连对角占优阵,记为月任sD。(R);若{Rea“1 1 Rea,,l>刀‘刀,,‘,j=石,i尧j,则称A为实部严格连对角占优麟三,i己为A〔SD(R);若A为既约矩l钧屯,IRea,‘l!Rea,,})刀‘刁,,f,j=1,n,i封,且对任一i,不能全部为等号,则称A为既约实部连对角占优阵,记为刁〔51(R). 仿照【3〕,分别记严格对角占优、共辆严格对角占优矩阵的集合为D、G;仿照【2〕,分别记实部对角占优、实部严格对角占优、既约实部…     

巧作圆周率π的密率

画法(1)角,使刀C“1,作直角三角形ABC,C为直7一8’ 一一 C A (2)在斜边妊B上截取BD=告。 (3)过D点作DE上BC于E,连接AB,过D点作D尸//且E交BC于F。 (仲延长CB至G,使BG=3。 则线段FG为所求。 证明由勾股定理知 AB=立里1全 8滩,.’ DE// ACBE BDBC AB.i准广一气 r二一】~一.’. BE二BC .BDAB二.,11入卜不~ 乙侧113 8 4亿113,: DF llA凡。BF_B丑’‘丽一丽,。BF_BD二丽一亘万.,. BF二BEZ二16113-因此FG二刀尸十刀G= 3=35511只.石一怜巧作圆周率π的密率@李铁烽$广州市师范学校~~…     

初中数学竞赛综合训练题(一)

一、选择肠 1.对实数二、y定义运算·:二.,~已 b 1.若l.2”969,2 .3一983,则2*9=(). (A)蓄989(B)1 990(C)1 991(D)1 992 2.若。~(一3)‘,b~一3‘,。二一含‘,则下列结论错误的是(). (A)】吃价二一4(B)1劝,~0 (c)a、e互为相反数(D)a、b互为倒数 3.已知址2一0.3010,印是日位数,正整数“等于(). 一42一 (A)10(B)11(C)12(D)13 4.若M~3尸一8, gr,一4二 6, 13,则下式一定成立的是().减 (A)M>0(B)M)0 (C)M<0(D)M簇0 5.如图1,在△A肥中.匕月:艺刀:艺e一3:5:1 0.又△才尸c望△J刁及,,则/石忆二月‘:乙。已尸等于().图l场、、中学数学(湖北)1…     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

问题与解答

一、本期问题1解方程刀万二万+刀厂石二x刁百。2解方程(、一于牙二二厄夏万+了户二不落牙)’·,‘,g鑫+…+一‘、。二a,,c tg(,:+1)。十、、护沪泛盲燕毛.一夕乒了丽不亨)’司’”/‘ 沈阳市叶经学校杨锦生提供 3已知4、’,、C是△且广C的内角.且eosA该一151,,是实数,试问△A 6计算侧4(1一2一3+2一3一4+3 .4一5+…+17一18一19)+1 皖舒城茶叶技术中宇朱道法提供 二上期问题解答 1在介、且BC中.已知BC、CA边_L的高分别是li二二6,厂‘二4,h;二3‘试求么‘;月C的面积。气‘0 sB十15蓄刀方)(co:C+f 517了C)BC是怎样的三角形。解:,.’b’·…     

数学奥林匹克问题选登

1992年l月号问题解答 (解答由供题人给出) 一‘.证明连结。,11,o:21,0.02,记,:,,,分别是0,,o:的半径· 显然艺ol产Ic,乙O:月口~450,匕O:矛J口:二90.,且侧△Allc的几△月心刀的欣△CHB(如图1),所以一二认侠\尹l,一拜抹,‘气篇不,不等式两边同除以‘· ’ :)’,得到一个形式相同的关于x.y,z的不等式,其中x Y十z=1).再把不等式等价地变形为 4(刁 扣 二),一(12苹 l)(刁 乒 二) 二笋蕊0,把:十y~l一:代入上面不等式中得4(刁 :(l一:))2一(l 12二护)(刁 :(l一z)) 公拼续0,化简为峨(1一3:)(刁);一(l一:)(2一1)(6一l),一z(l一z)(22一l)含毛0.令t二…     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

上期课外练习参考解答

(上接第37页) 在△ACD中,AE一粤(Ac AD一cD) 乙 AB一BC一AD一CD,在△BcD中,BG一粤(Bc BD一cD), 乙一*,一一一一~1,一,__._、仕之兰八彭曰甲,刀户一二戈八月十乃刀一八曰少. 乙 BG一BF一粤(Bc一cD一AB AD) 乙1尸.____不匕仁八口一C扫)一(A刀一刀〔川‘ 一O, BG一BF,即G、F两点重合.故△ABD和△BCD的内切圆互相外切.口…初一年级… _a一干1了<、只一、, 乙了>Zb 3及一1<二<1‘1..少l| 由,。!2占 3一‘’.f一1,寸寻成a十1,二(. }-一下厂一一1.}b一一艺 L乙共有如图(a十1)(b一1)=一6.499个零.,设AC一二,则AB一2工根据线…     

三、数列、数列极限、数学归纳法

一、选择肠1.在等比数列中,若. :二尹十q(,。,:,尹,q任万),公式是((B(D则下列等式成立的是()(A)a。,。一~a,,a.(C)‘一a.=a,一a’(B)“. a.=a, a-(D)。八二‘a-(^);一去一(一,)或;(e)刁 音(一,)或月; 合(一1)‘一音(一,,7.若。.二‘,一合)(l一专)一(1一工),则lim、等于( )(A)。(B)l(e)冬(D)不能确定 乙 8.用数学归纳法证明:(、十l)(,十2卜二(、 ,‘’、2二]·3·5·一(2,一1).(,任N)时,从’“,应增添的因式是()(Zk l)(Zk 2)k十l2无十2k十1、户,BD了、了、、户r、,矛AC了、了百、 2.某工厂在1986年底制定计划,要使2000年的总产值在原…