连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

Smarandache平方数列SP(n)和IP(n)的均值差

对任意正整数n,Smarandache最小平方数列SP（n）定义为大于或等于n的最小完全平方数;Smarandache最大平方数列IP（n）定义为小于或等于n的最大完全平方数．日本学者建议研究数列SP（n）和IP（n）的几个均值问题．最近,国内学者首次利用初等及解析方法对这些问题进行了研究,并给出了数列SP（n）及IP（n）的几个均值公式,同时解决了日本学者提出的几个问题．本文进一步对这些问题进行研究,获得了一个新的渐近公式．     

关于四位完全平方数开平方的心算方法

贵刊于1991年第二期及第六期分别刊登了毛凤翔、陈启鸿二位同志的文章,论述了四位完全平方数的心算开方法。笔者认为这一方法还不够直观,规律性还不是很强,本文试图改进关于四位完全平方数开平方的心算方法。 一个四位(三位数在最前位加0)完全平方数,其平方根一定是一个两位数,所以只要     

问题与解答

一本期问题 1若x、万满足椭圆方程x“/1984十g活=1985,求证.x一卜岁.‘1985. 2求证‘鉴’4*,能被1 05。,整除,商为1 985汤。 3设x、夕)0,且x+,=1 986,求别‘’‘’的最大值。 南昌华东交大附中叶柯提供 4设无为正整数,且一元二次万程(无一1)x生一Px十k二o有两个正整数根,试求k“P(pp+无“)+l的值。 5第四世纪,有个希腊数学家在他所著的算术书中,有一道这样的问题: x‘一60为一个完全平方数,求x,你能不能解答? 6已知x、,、:为三个正实数,且x一卜y十z=3,1/x+1/,+r/z=3,求x“,忿+:,的值 皖祈门芦溪木材收购知长进球提供 7如果二、n、P是方程x…     

完全平方数的十位数字与个位数字的一种关系

完全平方数的十位数字与个位数字有着如下一种美妙的关系: 如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。下面我们先把这种关系证明一下,然后再看它的应用。先证前者,若已知m~2=(2k 1)。10 a,我们来证明a=6。因为完全平方数末尾数只可能是0,1,4,5,6,9,故这里的a只可能为0,1,4,5,6,9。当a=0时,m的末尾数为0,于是可设m=10n,那么(2k 1)。10=(10n)~2=100n~2,即2k 1=10n~2。     

错在那里?

题 求自然数n,使2~8 2~(10) 2~n是一个完全平方数。 解法1 设2~4=x,则2~8=x~2,2~(10)=2~6·x原式化为x~2 2~6x 2~n,要使此式为完全平方数,应有△=(2~6)~2-4·2~n=0,n=10.     

神奇的完全平方数

<正>如果一个自然数是某个整数的平方,那么这个自然数就叫做完全平方数.把一个整数平方以后得到的数记作n2,那么n2就是一个完全平方数.完全平方数有着奇妙的数字特征,完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个.除此以外,个位数字的特征还影响着十位数字的变化.下面就一个数平方以后得到的完全平方数的特征进行简单的分类.     

一类完全平方数

先看一看下面的两个命题:1.两个相邻偶数的乘积加上1是一个完全平方数.2.四个连续整数的乘积加上1是一个完全平方数.这是两个熟知的命题,证明都是基于代数式变形中的配方.注意到,一个完全平方数减去1可以通过平方差变为两个式子的乘积,上述两个命题都是对此问题经“逆向思考”后得到的.本文就这类完全平方数介绍一些性质和结论.例1设a、6为正整数,且nb+1是完     

对《新题征展(103)》第5题的研究

笔者发表于<新题征展(103)>[1]的第5题是一道数学趣题: 　　我们知道,n!=1×2×3×...×n.现在从m=1!×2!×3!×...×100!中的100个因数中去掉一个因数,使剩下的积为完全平方数,问应去掉哪一个因数呢?(找出一种方式即可)……     

小区间中的全平方数

<正> 一个正整数n是全平方数是指:p是n的素因子,则p~2|n.Q(x)表示不超过x的全体全平方数的个数.Bateman和Grosswald[1]中证明了:     

关于印度奇妙数组三个性质的证明

文[1]和文[2]都给出了一个由印度数学家发现的有趣数学现象,就是有13个三位自然数956,957,…,968,其中每个数的平方数"对折拆开"再相加,其和数又是一个完全平方数,将这些完全平方数取算术平方根,恰好从43至31,也是一组连续的自然数(见下表).文章中发问:(1)除了956～968以外,是否还有其他具有类似性质的连续自然数组;(2)若存在,分布在哪里,有什么规律.……     

关联图形的数列问题

所谓“关联图形”是指具有一定内在联系的一些图形.这类问题极富趣味性、思考性、挑战性及较强的规律性,下面笔者进行分类探究,供大家参考.1关联“点”的数列问题例1(2004上海高考题)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.图1例1图解(3)～(5)规律性比较强,第n个图有n个“杈”,每个“杈”有n个点,共有n2个点,又n个杈共一点,去掉n,加上1,所以第n个图有n2-n 1个点.点评在找规律时,要综合分析各个图形,以便发现规律.2关联“有机物结构简图”的数列问题例2下面是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑…     

应用判别式的一个是非问题

应用判别式的一个是非问题浙江省象山中学顾海润“判别式”在中学数学中有广泛的应用．本文对书刊中常见的应用“判别式”时的一个错误解法进行剖析和探讨．先看文［１］的一个例子．例若２１０＋２８＋２ｎ为完全平方数，则自然数ｎ的值是＿．解设２５＝ｘ，则２１０＝ｘ...     

证明非平方数的若干方法

如果某数是一个整数的平方,那么称某数是完全平方数,简称平方数。否则称为非平方数。本文介绍证明一个整数是非平方数的若干方法,不当之处,请批评指出, 一、间隔法根据“在两个相邻整数的平方之间的任一整数都不是平方数”。要证明整数M是非平方数,只须证明M在两个相邻整数的平方之间。     

“二等分段平方数”初探

郑成生先生在文 [1]中研究了双色平方数的构造问题 ,很有情趣 .本文研究另一类平方数 .定义　若自然数 a1 a2 … anan 1 an 2 … a2 n 是一个 2 n位平方数 ,a1 ≠ 0 ,an 1 ≠ 0 ,且 a1 a2 … an与 an 1 an 2 … a2 n 也均为平方数 ,则称a1 a2 … anan 1 an 2 … a2 n 为二等分段平方数 .例如 ,2 2 5 62 5 =475 2 ,且 2 2 5 =15 2 ,62 5 =2 5 2 ,故 2 2 5 62 5是一个二等分段平方数 .设二等分段平方数a1 a2 … anan 1 an 2 … a2 n =H22 n,则　 a1 a2 … an =M2n,an 1 an 2 … a2 n =R2n.从而　 H22 n =10 n M2n R2n.定理 1　…     

2002年第20届美国数学邀请赛（AIME）试题

1 .已知 1 )x与 y均为介于 1 0 0与 999之间 (含 1 0 0与 999)的整数 .2 ) y可由x的各位数字反向排列而得 .3)z =|x - y| .试问z共有多少个不同的可能值 ?2 .已知一正方体的三个顶点为P( 7,1 2 ,1 0 ) ,Q( 8,8,1 )与R( 1 1 ,3,9) .试问此正方体的表面积是多少 ?3.已知log6 a +log6 b +log6 c =6 ,其中a ,b ,c为正整数 .若a ,b ,c为等比递增数列 ,且b -a为一完全平方数 ,试求a +b+c .4 .中南美洲国家房子庭院中要建造花第 4题图园时 ,都会在花园的每边使用n个边长为 1单位的正六边形砖块 ,边连边地铺设出花园的轮廓 .右图所示为当n =5时围…     

读者.作者.编者

本刊 2 0 0 0年第 2期“数学问题解答”栏中的第 1 2 32题刊出后 ,一些读者来信指出了该题解答中的一些不妥之处 ,现把几位读者的意见整理如下 ,供大家研究 .原解答中的不妥处 :“由 78.91 1 n 31 1 n - 8,进而可知 P2 0 0 0 >(1 1 ) (1 13) (1 15) .4736.5847.6958…… (1 1× 2 0 0 0 31 1× 2 0 0 0 - 8)= 81 5. 2 2 0…     

一个包含平方补数的方程

对任意正整数n,我们定义a(n)为n的平方补数,即a(n)表示能够使na(n)为完全平方数的最小正整数.本文的主要目的是利用初等方法研究方程a(n1)+a(n2)+…+a(nk)=m·a(n1+n2+…+nk)的可解性,并证明对某些特殊的正整数m及任意正整数k>1,该方程有无穷多组正整数解(n1,n2,…,nk).     

网络优化中一个组合问题的探讨

文[4]提出了网络优化中若干有待解决的组合问题，本文围绕其中之一“减小直径问题”进行了探讨．设P（n，t）表示长为n的路径增加t条边后所得图直径的最小值，C（n，t）表示长为n的圈增加t条边后所得回直径的最小值．本文取得如下进展：1）给出P（n，2），P（n，3）及C（n，2）的精确值，并得出P（n，4）的一更精细的上界及一种更好的加边方式．上述结果均满足小极大度原则．2）在有极大度限制的条件下，分别对t为偶数和奇数给出了P（n，t）的上界．     

极坐标的几个“特区“

极坐标给中学数学增添了一道风景 ,在运用中独树一帜 ,用它来解决圆锥曲线的问题非常方便 ,由于它与直角坐标的区别 ,常常使学生学习起来感到困难 .下面就极坐标的几个难点 ,学生易混淆的几个问题进行剖析 ,以给同学们提个醒 .1　坐标的多值性1 .1　教材 P1 2 4“一般地 ,如果 (ρ,θ)是一个点的极坐标 ,那么 (ρ,θ 2 nπ) ,( -ρ,θ ( 2 n 1 )π)都可以作为它的极坐标 ,n∈ N”,这就是极坐标的多值性 ,它与直角坐标系中点的坐标的唯一性不同 ,学生容易出错 .1 .2　教材 P1 2 6“由于在极坐标系中 ,曲线上的每一点坐标都有无穷多个 ,…