探析一道与面积有关解析几何问题的多种解法

<正>直线与圆锥曲线关系中涉及三角形面积的问题是一类常考常新的题型,下面我从不同角度出发,给出一道圆锥曲线面积最值问题的多种解法.此题以圆和椭圆两种曲线为载体,综合性强,体现高考的方向,很有代表性:(2018年模拟试题)已知椭圆C1:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)和圆     

一道椭圆中三角形的周长为定值试题的探究

探究一道椭圆中三角形周长为定值试题的解法,挖掘试题背景,得到了一类在直线斜率为定值的条件下直线过定点的一般性结论.     

探究2023年高考中一道椭圆焦点三角形中线长试题

探究2023年高考甲卷中一道椭圆焦点三角形中线长试题的解法,总结解题策略,并将其进行推广,得到一般椭圆和双曲线中与中线、角平分线、高线有关的性质.     

抓住关键特征,破解中考压轴题——一道与正方形有关中考压轴题的多角度求解

2022年新疆生产建设兵团中考数学第15题是一道与正方形和直角三角形有关的线段长度计算问题,涉及的知识点较多,综合性较强,对学生而言具有一定的难度,它是填空题中的一道压轴题,具有很强的选拔性功能.本文从四个不同视角入手,给出六种解法.一是利用特殊化策略求解,当几何问题中的已知条件和所求量之间的逻辑关系不明显时,可考虑动点或动线段的特殊位置,利用特殊图形解决问题,这是解决本题的一种“秒杀”法;二是利用相似三角形的性质求解;三是利用“设而不求”解题法求解;四是利用解析法求解.利用多种方法解决本题,可拓宽学生解题思路,提高学生的几何推理能力.     

挖掘基本图形 突破中考压轴题

本文从不同角度出发,对2022年贵阳市中考数学第16题的解法进行深入研究.通过挖掘基本图形,建立起已知条件与所求量之间的逻辑关系,给出问题的三种求解思路,得到五种基本解法.一是构造全等三角形,利用全等三角形的性质求解;二是挖掘相似三角形和直角三角形,利用勾股定理列方程求解;三是构造辅助圆,借助圆的性质求解.最后,得出与本题有关的两个基本结论.     

构造三角形 解梯形问题——一道世界团体锦标赛试题的解法探究

对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究,通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形,再运用勾股定理求解;二是借助15°角和45°角,或120°角构造等边三角形,然后利用三角形的性质求解;三是构造相似三角形,运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力,有利用于提升学生的数学核心素养.     

三角形“四心”的向量性质

三角形的外心、重心、垂心、内心是与三角形性质有密切关系的四个点.为了考查三角形的有关性质,向量与三角形四心的结合在各地考题中屡见不鲜.以下给出三角形四心的常用向量结论,并加以证明.     

黄金分割三角形，发散思维妙变式——一道离心率问题的求解探究

圆锥曲线的离心率既能充分体现圆锥曲线自身的几何性质,又能融合其他数学基础知识,是考查考生“四基”的一个主阵地.结合一道模拟题中椭圆离心率的求解,以黄金分割三角形来创设问题情境,合理开拓数学思维,掌握“通性通法”与“巧技妙法”,综合创新应用,发散思维变式,引领并指导数学教学与复习备考.     

一类椭圆中心三角形面积最值的探究

从一道与椭圆有关的三角形面积最值问题的错解出发,首先是对错解进行纠正,然后将试题进行拓展,得到几个有趣的结论.     

例析与椭圆的焦点三角形相关的问题

在椭圆中,所谓“焦点三角形”就是指椭圆的两个焦点与椭圆上的任意一点组成的三角形．椭圆的焦点三角形中蕴涵着很多让人耳目一新的几何性质,它融正、余弦定理、平面几何和向量等知识于一体,让焦半径充分展示其魅力,给人新颖灵活之感,值得我们去探究与总结．在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中,以“焦点三角形”为载体的问题更是层出不穷,精彩纷呈．本文结合具体问题,对椭圆的焦点三角形的性质加以归纳与剖析．     

赏析高考的一个热点——焦点三角形面积

椭圆和双曲线上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形．它是一个引人注目的三角形,其面积是一个非常重要的几何量,与其相关的问题是各类考试的重点和热点,且题型角度常变,多姿多彩,可谓考试中的常青树,值得我们深入探究．本文从不同角度对高考焦点三角形问题及其解法作了全方位的探究,供读者参考．     

构图虽巧 数量亦妙

<正>本刊2014年9月上刊载有应水平老师撰写的《构造法在求向量数量积取值范围中的应用》一文(以下简称文[1]).文[1]通过构造三角形、四边形与圆,顺次对四个求向量数量积取值范围的问题,进行了精彩的构图求解.可以看出,这四个问题解题过程,充分彰显了向量的数形两重性,解法虽然直观,但过程未必简练,且要做到顺利构图,还需要有较强的数学综合能力.     

一道解析几何预赛试题的探究与推广

从一道关于椭圆的定值问题出发,对试题的解法进行了多角度探究,然后通过观察、猜想和探究得到了更一般的结论.     

一道解析几何习题的多解与多变

有如下一道题 :在椭圆 ｘ24 5+ ｙ22 0 =1上求一点 ,使它与两焦点的连线互相垂直 .这是一道看似简单 ,但内涵丰富的好题 .很多高考题、竞赛题来源于该题的变式与推广 ,通过对该题的研究 ,我们可以总结出与圆锥曲线焦点三角形有关问题的求解规律和思想方法 ,达到做一题 ,知一类 ,提高一步的目的 .1　一题多解解法 1　 (向量法 )　设点Ｐ(ｘ ,ｙ) ,由题设知Ｆ1( - 5,0 ) ,Ｆ2 ( 5,0 ) ,Ｆ1Ｐ为 (ｘ + 5,ｙ) ,Ｆ2 Ｐ为 (ｘ - 5,ｙ) .∵Ｆ1Ｐ⊥Ｆ2 Ｐ ,∴Ｆ1Ｐ·Ｆ2 Ｐ =0 ,即 (ｘ + 5) (ｘ - 5) + ｙ2 =0 ( 1 )又点Ｐ在椭圆上 ,∴ ｘ24 5+ ｙ22…     

一道面积题目的多种解法

分别运用不同方法对一道面积问题进行求解,从多个方面揭示问题的几何结构,从多个角度理解三角形的面积.     

一道高三调研试题的解法探究与推广

本文先给出2021年广东佛山二模调研考试中一道椭圆试题的解法,然后探究一般情况,得到了椭圆的几个性质,并类比推广到双曲线和抛物线,给出了相应性质.     

一道求解三角形面积最值问题的多角度思考

<正>三角函数与解三角形是高中数学的重要内容之一,其中利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边、角等几何量是高中解三角形的主要学习目标,也是历年高考的热点,2021年4月西南四省联考的第16题以我们熟悉的知识情境——三角形一边的中点构图,求解△ABC面积的最大值,题干简洁明了,解法多样,值得深入思考.     

在伸缩变换下,让圆与椭圆相伴互生——2012年高考数学湖北卷解析几何解答题探究

2012年高考数学湖北卷文理共用第21题,是一道由圆经过伸缩变换生成椭圆后,再以直线与椭圆的动态变化位置关系为载体的解析几何综合题.试题以解法灵活为考生提供了多样的选择,以贴近教材为教学提供了良好的导向,以背景丰富为研究提供了广阔的空间,是一道平中见奇、卓尔不群的好题.下面通过对这道题目进行解法     

高考研题“四重奏”,提升解题新境界——2023年高考数学全国甲卷理科第12题探究

本文探究了2023年高考数学一道椭圆题的多种解法,通过正确阅读理解题目,对问题进行多思维角度的切入与求解,并进行合理的变式改编与拓展,进行针对性教学思考,指明研题具有会读、会解、会变、会学这“四重奏”,提升新的解题境界,引领并指导数学教学与学习.     

差异分析：从失败走向成功

2008年苏、锡、常、镇四市高三一模试卷中的一道试题为： 考题1 如图1，已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为√3/2，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为6√5/5．