对函数式y=f(x a)理解不当致错两例

《函数》一章是高中数学的重点,函数的有关概念有时很抽象,容易产生错误认识. 1.y=f(x 1)与y=f-1(x 1)的关系. 很多同学认为这两个函数互为反函数,这说明对反函数的概念没有真正理解,如果我们要得到了y=f(x 1)的反函数,按照反函数的定义应该这样做:若f(x)有反函数,先反解     

互反函数图像的交点不一定在直线y=x上

我们知道，两个互为反函数的图像一定关于直线y=x对称．有不少同学因此而认为：互为反函数的两个函数如果有交点的话，其交点一定在直线Y=x上．其实这个结论是错误的．我们先举几个例子来说明一下：     

互为反函数的图像的交点一定在直线y=x上吗?

<正>在函数及函数图像的学习中,我们知道互为反函数的两函数图像一定关于直线y=x对称.那么如果这两个函数图像有交点,交点是否一定在直线y=x上?在老师的指点启发下,我针对这一问题作了例证和探讨.例题点(1,2)既在y=(ax+b)^(1/2)的图像上又在反函数的图像上,求a、b的值.     

函数与其反函数的图像的交点性质

一、问题的提出在学习反函数的时候,有性质“函数y= f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称”．这使得学生猜想:一个函数与其反函数的图像的交点必在直线y=x上．课本上的例子如y=x3与其反函数y=3(x~(1/2))就有三个交点(-1,-1)、(0,0)与(1,1)均在直线y=x上     

函数y=A sin(ωx+φ)的图像的教学实录与反思

本节教学内容是函数y=Asin(ωx+φ)的图像,主要研究参数 φ、ω、A对函数y=sin(ωx+φ)的图像产生的影响.在研究参数φ、ω、A对函数y=A sin(ωx+φ)的图像产生的影响的过程中,采用了固定其中两个参数,研究另一参数.     

关于函数y=f(x)与y=|f(x)|

本文对函数 y=f ( x)与 y=|f ( x) |的部分性质进行了比较和分析 ,指出了它们性质上的区别与联系 .     

函数f(a+x)与f(a-x)的图像关于x=a对称吗?

在学习函数问题时往往需要数形结合利用函数图像,有时会涉及图像的对称性.问题1函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于x=a对称吗?分析我们先从具体函数f(x)=x3谈起,     

方程=h(y)-F(x),=-g(x)的极限环存在定理

在保证 Liénard 系统=y-F(x),=-g(x)(1)存在极限环的定理中, 定理要求的条件普遍认为是最少的.对作为定理的特例之定理,近年有不少加以改进和推广之结果.但对定理本身加以推广,除文[3]外不多见.我们讨论较(1)更广泛的系统(?)=h(y)-F(x),(?)=-g(x).(2)记 G(x)=integral from n=0 to x g(ξ)dξ,令 z=G(x),作变换,记 F_i(z)=F(G_i~(-1)(z)),其中x_1=G_1~(-1)(z),x_2=G_2~(-1)(z)分别是 z=G(x)在 x>0和 x<0时的反函数,在xg(x)>0的前提下,上述反函数存在,这时系统(2)变为     

y=a~x与y=log_ax的交点问题

引理1　如果单调增函数与其反函数的图象有交点,那么交点一定在直线y =x上.证　设(a ,b)是函数y =f(x)与其反函数y=f- 1 (x)的图象的交点,则　　　　　b=f(a) ,b=f- 1 (a) ,( 1 )( 2 )由( 1 )得a =f- 1 (b) ( 3)因为f(x)与f- 1 (x)均为单调函数,且f(x)与f- 1 (x)具有相同的增减性.因为f(x)为定义域上的增函数,则f- 1 (x)也为定义域上的增函数.若a≠b ,当a >b时,由( 2 ) ,( 3)有f- 1 (b) >f- 1 (a) .所以b>a ,这与a >b矛盾.同理,当a 相似文献   

复合函数f(φ(x))的几何作图

我们知道,利用构造反函数的方法,可以引进许多新函数,并且当已知原函数的图形时,反函数的图形也不难作出,那就是原函数关于直线y=x的对弥图形。此外,有更大量的函数是通过构造复合函数的方法引进的。自然我们也希望能够从y=f(x)及y=φ(x)的图形直接作出复合函数y=f(φ(x))的图形。下面将介绍一种利用直线y=x来作复合函数图形的方法。一、已知y=f(x)及y=φ(x)的图形,作复     

y=f(a+x)的特征确定y=f(x)的哪些性质?

函数y=f(a+x)(a≠0,以下不特别说明都有这样的要求)是由函数y=f(x)经过简单的函数复合得来,它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系,试题常以告诉y=f(a+x)的性质,研究y=     

函数"y=x+k/x(k≠0)"单调性应用的思考

上海市二期课改新教材例题中研究过函数y=x+1/x的图像,它可以看作是我们非常熟悉的正比例函数y=x和反比例函数y=1/x的和.课本对于这个函数的性质和廊用没有做太多的说明,但是它却有着基本的规律性和广泛的应用性,是近几年高考命题的热点之一,本文对函数"y=x+k/x(k≠0)"的图像和件质作以下研究,并通过举例,说明此函数单调性的广泛应用,以供参考.……     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

互为反函数图像的交点问题

<正>我们已经熟知"函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f^(-1)(x)图像的交点,一定在直线y=x上.我们举两个反例加以阐释.     

浅思一道容易想错的高中数学题——利用导数的几何意义求分界点

指数函数y=αx与对数函数y=logαx是互为反函数,它们的图像是关于直线y=x对称,高一的教材或高三的复习资料都会把它们的图像画在一起,形象直观地显示了互为反函数的图像是关于直线y=x对称,如图1所示:     

y=f(x+1)与y=f~(-1)(x+1)互为反函数吗?

从图象上看　ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象是分别将 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的图象向左平移一个单位所得 ,因 ｙ =ｆ(ｘ)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ)图象关于 ｙ =ｘ对称 ,将 ｙ =ｘ向左平移一个单位得 ｙ =ｘ + 1,所以函数 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)的图象关于 ｙ =ｘ + 1对称 ,因而 ｙ =ｆ(ｘ + 1)与 ｙ =ｆ- 1(ｘ + 1)不一定互为反函数 .从求反函数过程看　由 ｙ =ｆ(ｘ + 1)有ｘ + 1=ｆ- 1(ｙ)即ｘ =ｆ- 1(ｙ) - 1,互换ｘ ,ｙ ,有 ｙ =ｆ- 1(ｘ)- 1,所以 ｙ =ｆ(ｘ + 1)的反函数为 ｙ =ｆ- 1(ｘ) - 1.记号 ｙ =ｆ- 1(…     

函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的非连续解

讨论了函数方程f(x y)=f(x) f(y)解的性质,给出了方程的一个非连续解及其图像特点     

y=Asinωx和y=Acosωx的几何性质

函数y=Asin(ωx φ) k或y= Acos(ωx φ) k的最值、周期、单调代数性质等是大家都比较熟悉的.本文介绍它们的几个几何性质,供同学们学习参考.性质如图1和图2,M,N,P是函数y =Asinωx或y=Acosωx(A>0,ω>0)的图象上的三个相邻的两个最高点和一个最低     

函数y=x+a/x的单调性及应用

1．函数y=x+a/x(a>0)的单调区间由求 导数的方法易得,函数在[-a~(1/2),o)和(0,a~(1/2)上 是减函数,在(-∞,-a~(1/2)]和[a~(1/2),+∞)上是增 函数,函数在x=a~(1/2)时有极小值2(a~(1/2)),在x= -a~(1/2)时有极大值-2(a~(1/2))． 2．函数y=x+a/x(a<0)在(-∞,0)和(0, +∞)上都是增函数．函数y=x+a/x是一个重要 函数,它的单调性在解题中有着广泛的应用．     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.