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1.
四面体是空间里较为简单的几何体 ,笔者通过将它与三角形的有关性质进行类比 ,得到一个有价值的结论 .定理 四面体A -BCD中 ,E ,F ,G ,H分别在棱AB ,BC ,CD ,DA上 ,且 AEEB =λ1,BFFC =λ2 ,CGGD =λ3,DHHA =λ4 .则内接四面体EFGH的体积VEFGH =|λ1·λ2 ·λ3·λ4 -1|(1 +λ1) (1 +λ2 ) (1 +λ3) (1 +λ4 ) VABCD证明 如图 1 ,连结ED ,BG ,得四棱锥E -FBDG ,G-EBDH ,在△CBD ,△ABD中 ,SCFGSCBD =CF·CGCB·CD =11 +λ2 · λ31 +λ3=λ3(1 +λ… 相似文献
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《高等数学研究》2003,(3)
一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .sin60° =.3 .函数 y =x -1的自变量x的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数a ,b分别满足a2 -5a +2 =0 ,b2 -5b+2 =0 ,则 ba +ab =.6.分解因式 :x3-4x =.7.若直线 y =2x +b过点 ( 2 ,1 ) ,则b =.8.如图 ,如果m∥n ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ABC中 ,AB =AC ;△DEF中 ,DE =DF .要使得△ABC∽△DEF ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,A ,B是⊙O上两点 ,且∠… 相似文献
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我们先证x2+y2≥2xy(x、y∈R+,当x=y时,等号成立)证明 如图1,设正方形ABCD的边长为x,正方形BEFJ的边长为y,在AB上取AH=y,则HB=x-y,故HE=HB+BE=x-y+y=x,∴ S矩AHPD=S矩HEFK=xy.由图1显然有 S正ABCD+S正BEFJ≥S矩AHPD+S矩HEFK,即 x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时,等号成立)再证 x3+y3+z3≥3xyz(x、y、z∈R+,当且仅当x=y=z时,等号成立)证明 如图2,设三个正方体VAB、VCD、VEF… 相似文献
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20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6 已知 :ADCE为半圆 (如图 ) ,B为直径AE上一点 ,F在AC上 ,AD =FC ,DE =CG ,BE=HG ,AL∥FG .求证 :KB ⊥AC证明 因为ADCE为半圆 ,所以∠ADE=∠FCG =90° .在Rt△ADE和Rt△FCG中 ,因为AD =FC ,DE =CG ,所以△ADE≌△FCG .所以AE =FG .又BE =HG ,所以AB =FH因为AL∥FG ,所以 AKFH =CKCH =KLHG.所以 AKKL =FHHG,所以 AKKL =ABBE,所以KB∥LC .又因为LC⊥AC ,所以… 相似文献
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由于向量既具有形象、直观的特点 ,又具有代数计算的严密、简捷的优势 ,因此在数学、物理学中有着广泛的应用 ,本文就其应用的常见几种类型举例如下 .1 讨论平面图形的性质利用向量方法讨论平面几何问题 ,使几何问题代数化 ,从而降低某些问题的求解难度 .图 1 例 1图例 1 证明三角形的三条高交于一点 .证 如图 1,设H为△ABC中由A ,B两点所作的高线的交点 ,HA =x ,HB =y ,HC =z ,则AB =y -x ,BC =z- y ,CA =x -z ,由HA⊥BC ,HB⊥AC可得x·(z - y) =0 ,y·(x -z) =0 ,两式相加可得 :z·(x - … 相似文献
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一个不等式的图证及推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目:若x,y,z为正实数,则x2+xy+y2+y2+yz+z2+z2+zx+x2≥3(x+y+z);(当x=y=z时取等号);文[1]中,对上述不等式提出一个简洁图证;本文再对该不等式给出一个更具一般意义的有效图证,并进而给出其推广及证明;证明:原不等式左边等于x+y22+32y2+y+z22+32z2+z+x22+32x2;构造图(1),设AF=x+y2,DG=y+z2,EH=z+x2,DF=32y,EG=32z,BH=32x;由勾股定理得:AB=AC2+BC2=x+y2+y+z2+z+x2… 相似文献
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命题 两个正数a、b的几何平均数 ,等于这两个数的算术平均数与调和平均数的比例中项 .正数a和b的三个平均数的意义 :几何平均数G =(ab) 1 2 ,算术平均数A =a b2 ,调和平均数H =2aba b.求证 :G2 =A·H证明 画线段BC使BC =BE EC ,其中BE =a ,EC =b .以BC为直径画半圆 ,设圆心为O ,过点E作BC的垂线交半圆于D ,连结OD ,过点E作EF ⊥OD ,垂足为F .如图所示 ;于是OD =a b2 =A ∵DE2 =BE·EC即DE =(BE·EC) 12 =(ab) 1 2 =G ;由Rt△OED∽Rt△EFD得DF∶ED… 相似文献
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一、已知a <0 ,-1 <b <0 ,则a ,ab ,ab2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <b <0 ,∴b<b2 <1 .又a<0 , ∴ab >ab2 >a .二、如果二次不等式ax2 +8ax+2 1 <0的解是 -7<x <-1 ,求a的值 .解 :考虑二次函数y =ax2 +8ax +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ox轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1a .∴a=3 .答 :略 .三、在△ABC中 ,∠CBA =72° ,E是边AC的中点 ,D在BC边上且 2BD =DC ,AD与BE交于F ,求△BDF和四边形FDCE的面积之比 .解 :过E作EG∥AD交… 相似文献
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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙O1 和⊙O2 是△ABC的边AB、AC外的两个旁切圆 ,E、J、G和F、K、H是切点 ,直线EG、FH交于P点 ,直线EJ、FK交于I点 ,AD ⊥BC于D ,求证 :P、A、I、D四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设BC=a ,CA=b,AB =c ,R是△ABC外接圆半径 ,直线EG、AD交于P′ ,直线FH、AD交于P″,下面设法证明P、P′、P″是同一点 .因为c+AH=a+CF ,所以c + (b-CF) =a +CF ,CF =b+c-a2 .在Rt△… 相似文献
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四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1 命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1 如图 1 ,E ,F ,G ,H分别是四面体A BCD棱AB ,BC ,CD ,DA上的点 ,则E ,F ,G ,H四点共面的充要条件是AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1 .证 先证充分性 .分两种情况 : 1 )当EF∥AC时 ,有 AEEB=CFFB.由 AEEB·BFFC·CGGD·DHHA=1知CGGD=HAHD.∴HG∥AC .∴EF∥HG .∴E ,F ,G ,H四点共面 .2 )当EF∥\AC时 ,设直线EF与直线AC相交于点P ,连结P… 相似文献
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文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :F(x ,y) =Ax2 +2Bxy+Cy2 +2Dx+2Ey+F , φ(x,y) =Ax2 +2Bxy+Cy2 ,f1 (x,y)=Ax+By +D , f2 (x ,y) =Bx+Cy +E ,I2 =A BB C ,I3=A B DB C ED E F.定理 过P(x0 ,y0 )的直线交二次曲线F(x ,y) =0于P1 、P2 两点 ,点P分P1 P2 的比为λ ,则P(x0 ,y0 )满足 F(x0 ,y0 ) I2 F(x0 ,y0 ) -… 相似文献
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在三角形 ,有以下一个有趣的命题 :命题 设E、F分别为△ABC的边BC上的两点 ,记 BEEC =α1 、BFFC =α2 ,且 0 <α1 <α2 ,若任一直线分别与AB、AE、AF、AC或其延长线交于点M、G、H、D ,则不论直线的位置如何 ,总有 GHMD ≤α2 - α1α2 α1.为使证明简洁明了 ,首先给出如下引理 :引理 设E、D分别为△ABC的边BC、CA上的两点 ,记 BEEC =α、CDDA =β ,BD与AE交于点G ,则 BGGD =α(1 β) .证明 如图 1所示 ,在△BCD中 ,由梅涅劳斯 (Menelaus)定理得 BEEC· C… 相似文献
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《数学通报》2002,(4)
20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361 如图 ,C为半圆上一点 ,CD⊥AB于D ,AB为直径 ,G、H分别为 △ ACD、△ BCD的内心 ,过G、H作直线交AC、BC于E、F ,求证 :CE =CF .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 连结DG并延长AC于M ,连结DH并延长CB于N ,再连结MN、AG、BN .因为CD⊥AB所以∠CDA=∠CDB =90°而G、H分别为 △ACD、△BCD的内心所以DM、DN分别是∠CDA =∠CDB的平分线所以∠MDC =∠MDA=∠NDC =∠NDB= 45°在 △ MAD和… 相似文献
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《中学生数学》2003,(8)
初一年级1.50 .2 .令 C =1× 2× 3×…× 10 0 2 ,D =2× 4× 6×…× 2 0 0 4 .∵ A·C =B·D ,∴ AB =DC =2 10 0 2 .3.周长为 3× ( 43) 3 =6 4初二年级1.∵ p2 +q2 =p2 ·q2 , ∴ 1p2 +1q2 =1.∴ 原式 =p|q|- q|p|.当 p <0 <q时 ,原式 =p2 +q2q·p =pq ,当q <0 <p时 ,原式 =- pq .图 12 .如图 1,由于ABCDEF的各内角都是钝角 ,那么AB、CD、EF三边所在直线 ;BC、DE、AF三边所在直线 ,分别可构成△PQR、△P′Q′R′ ,而∠P =∠ABC -∠PCB ,∠P′ =∠DEF -∠… 相似文献
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结合条件、对照图形、分析结论是做几何题的三步曲 .从不同的角度去分析结论 ,将会得到不同的证题方法 .这对于开发证题思路 ,活跃思维空间 ,将起到良好的互补作用 .现就课本上的一题举例说明 .图 1题目 过△ABC的顶点C任作一直线 ,与边AB及中线AD分别交于点F和E ,求证 :AE∶ED =2AF∶FB(提示 :过点D作DM∥CF交BF于点M) .(人教版《几何》第二册P2 5 5 第 17题 )[分析与证明一 ] 从课本给出的提示来看AEED=AFFM ,而结论是 AEED =2AFFB ,即 AEED =AF12 FB.如图 1,显然只须证明FM =1… 相似文献
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高一年级1.在△ABC中 ,∠A =2 0° ,AB =AC =b ,BC=a .求证 :a3 +b3 =3ab2 .2 .若 π6 ≤x≤ π3,求函数 y =tanx -sin2 xtanx +sin2 x的最大值和最小值 .3 .若函数f(x)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且f(a2 -sinx)≤f(a+ 1+cos2 x)对一切x∈R恒成立 ,求实数a的取值范围 .高二年级1.在棱长为a的正方体ABCD -A1 B1 C1 D1中 ,过BD1 的截面分别交AA1 、CC1 于E、F两点 ,求四边形BED1 F面积的最小值 .(北京 含 笑 )2 .已知 :x ,y∈R+ ,且x + y =1.求u =1x3 +12y的… 相似文献
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A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ABCD的面积是 16cm2 ,P是AB边上的任意一点 ,△CPD的面积是 .2 .已知a =1,b =2 ,c=3,它们的第四比例项d =;a ,c的比例中项x =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12cm2 ,则菱形的周长为 .4 .已知AD是△ABC中∠A的平分线 ,△ABD和△ACD的面积的比是 2∶3,则AB∶AC =.5.已知 :如图 1,在△ABC中 ,E ,F分别是AB ,AC的中点 ,延长BC到D ,使CD =13BC ,DE交AC于O ,则CD∶EF =,OC∶OA =.6 .如图 2 ,在Rt△ABC… 相似文献
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《数学通报》2001,(11)
20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6 ⊙O中 ,直径AB垂直于非直径的弦CD ,弦AE与半径OC交于点F ,弦DE交弦BC于点G .求证 :FG∥AB .(四川省普格县荞窝农场子弟学校 王承宣 6 1 5 3 0 2 )证明 如图 ,连结BD、CA .∵AB ⊥CD ,∴ CA =DA ,CB=BD ,∴∠COA =∠CBD ,又AO =CO ,∴∠ACF =∠GCD ,又∠EAO=∠EDB ,∠CAF=∠CDE ,∴△ACO ∽△CBD ,△AOF∽△DBG ,△ACF∽△DCG ,∴ CFCG =ACCD =AOBD =FOGB,即 CFFO =C… 相似文献