向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

数学问题解答

20 0 1年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 6　设ｍ >0 ,ｎ >0 ,α∈ (0 ,π2 ) ,求证 :ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα≥ (ｍ23 ｎ23) 32 .(江苏省灌云县中学　朱兆和　 2 2 2 2 0 0 )证明　设点Ｐ的坐标为 (ｍ ,ｎ) ,直线ｌ过点Ｐ ,倾角为π-α ,ｌ与ｘ、ｙ轴的正半轴分别交于点Ａ、Ｂ(如图 ) .则 ｜ＰＡ｜ =ｎｓｉｎα,｜ＰＢ｜ =ｍｃｏｓα则 ｜ＡＢ｜ =｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜=ｍｓｅｃα ｎｃｓｃα .又设Ａ(ａ ,0 ) ,Ｂ(0 ,ｂ) ,则直线ｌ的方程为 ｘａ ｙｂ =1 ,ｌ过Ｐ(ｍ ,ｎ) ,所以 ｍａ ｎｂ =1 .｜ＡＢ｜2 =ａ2 ｂ2 =(ａ2 ｂ2…     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

一类转迹问题的一般解法

关于“已知某直线过一定点 ,且与某二次曲线相交 ,求所得弦的中点的轨迹方程“一类问题 ,可视具体情况采取多种解法 .利用直线的参数方程中参数ｔ的几何意义 ,可较简捷地得到一般解法 .问题 1　设直线ｌ过定点 (ｍ ,ｎ) ,且与椭圆ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 相交 ,求所得弦的中点的轨迹方程 .解　设直线ｌ的参数方程为 :ｘ =ｍ ｔｃｏｓαｙ =ｎ ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ,代入椭圆方程 ,得ｂ2 (ｍ ｔｃｏｓα) 2 ａ2 (ｎ ｔｓｉｎα) 2 -ａ2 ｂ2 =0 ,化简得到(ｂ2 ｃｏｓ2 α ａ2 ｓｉｎ2 α)ｔ2 2 (ｂ2 ｍｃｏｓα ａ2 ｎｓｉｎα…     

利用向量证明不等式

平面向量与不等式分别是高中新教材第五、六章内容 .如果我们认真分析不等式的结构特征 ,类比向量相关知识 ,可以建立向量结构 ,用向量方法简捷证明不等式 .例 1　求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .分析　若 (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )≠ 0 ,原不等式可变形为 ａｃ +ｂｄａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 ≤ 1 .这种结构提示我们构造向量 ,利用两非零向量ａ—→、ｂ—→的夹角公式ｃｏｓθ =ａ—→·ｂ—→|ａ—→|·|ｂ—→| 求证 .证明设向量ＯＡ———→ =(ａ ,ｂ) ,　ＯＢ———→ =(ｃ,ｄ) .图 1( 1 )当 (ａ2 +ｂ2 )·(ｃ2 +ｄ2 ) =0…     

关于椭圆的一个命题

设Ｐ1Ｐ2 Ｐ3 Ｐ4 为椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1的内接矩形 (如图1) ,则Ｐ1Ｐ2 ,Ｐ1Ｐ4 分别平行于ｘ轴 ,ｙ轴 .证　不妨设ａ >ｂ ,Ｐｉ(ａｃｏｓαｉ,ｂｓｉｎαｉ) (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,0≤α1<α2 <α3 <α4 <2π .因为矩形两条对角线相交于一点 ,且相互平分 ,所以ａｃｏｓα1+ａｃｏｓα3 =ａｃｏｓα2 +ａｃｏｓα4 ,ｂｓｉｎα1+ｂｓｉｎα3 =ｂｓｉｎα2 +ｂｓｉｎα4 ,即 ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 =ｃｏｓα2 +ｃｏｓα4ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 =ｓｉｎα2 +ｓｉｎα4(1)(2 )∴ (ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 ) 2 + (ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 ) 2=(ｃｏｓα2 …     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知ａ ,ｂ是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数ｎ ,使得ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .证　不妨设ｃ =ａ -ｂ >0 ,则存在非负整数 ｑ ,ｒ ,使得ｂ =ｑｃ +ｒ ,这里 0≤ｒ≤ｃ -1 ,令ｎ =ｃ +1 -ｒ +ｋｃ ,这里ｋ为非负整数 ,则ａ +ｎ =(ｂ +ｃ) +(ｃ+1 -ｒ +ｋｃ)=ｑｃ+ｒ +2ｃ+1 -ｒ +ｋｃ=(ｑ +ｋ +2 )ｃ+1 .ｂ +ｎ =(ｑ +ｎ +1 )ｃ +1 .设ｄ是ａ +ｎ与ｂ +ｎ的最大公约数 ,则ｄ|(ａ +ｎ) - (ｂ +ｎ) =ａ -ｂ =ｃ,∴ｄ|1 ,∴ｄ =1 .∴ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .2　 (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

课外练习

高一年级1 .设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足 (ｘ - 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｘ - 1 ) + 1 =0 ,(ｙ- 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｙ- 1 ) - 1 =0 .求ｘ + ｙ的值 .2 .已知锐角α ,β满足 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 + ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 =2 .求ｓｉｎ2 0 0 2 (α + β)的值 .3 .过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ .设ＰＡ =ＡＢ =ａ .求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成二面角的大小 .高二年级1 .设数列 { 1ｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,是否存在数列 {ａｎ}使得等式Ｓ1 +Ｓ2 +… +Ｓｎ - 1 =ａｎ(Ｓｎ- 1 )对ｎ≥2的一切自然数都成立 ,并证明你的结论 .2 .ＡＢ…     

等式sum from n=1 to ∞(1/n~4=π~4/90)的初等证明

本文利用初等方法证明∑∞ｎ =11ｎ4 =π490 .1　几个引理引理 1　 ∑∞ｎ =1ｃｏｔ2 ｎπ2ｍ+1 =13 ｍ(2ｍ-1 ) ,∑ｍｎ ,ｌ =1ｎ<ｌｃｏｔ2 ｎπ2ｍ +1 ｃｏｔ2 ｌπ2ｍ +1=13 0 ｍ (ｍ -1 ) (2ｍ -2 ) (2ｍ-3 ) .其中ｍ、ｌ、ｎ等均表示整数 ,下同 .证明　由ｄｅ·Ｍｏｖｒｅ公式得ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ +1 )α=(ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) 2ｍ+1于是 ,ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ+1 )α=∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ2ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) +1αｓｉｎ2ｋα+ｉ∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ+12ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) αｓｉｎ2ｋ+1α. (1 )比…     

一类三角问题解的讨论

在高中数学课本、课外参考书及报刊杂志上 ,经常会碰到这样一类三角问题 :已知　ｃｏｓα±ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα±ｓｉｎβ =ｎ .求 :ｓｉｎ(α±β)的值 .文 [1],[2 ]对特殊情形 :已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ =12 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ =- 13,求ｓｉｎ(α + β)的解法及避免增解作了分析 ,文 [1]还提出条件不变 ,ｓｉｎ(α - β)符号怎样验证和判断的困惑 ,本文对这类问题进行分析与讨论 ,以加深对这类问题解的认识 .显然上述问题的条件有四种不同组合 :(Ⅰ ) ｃｏｓα +ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα +ｓｉｎβ =ｎ .(Ⅱ ) ｃｏｓα -ｃｏｓβ =ｍ…     

求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

整边三角形的广义通解公式

整边三角形的通解问题 ,古今不少数学工作者进行过深入研究 ,取得一些可喜成果 .例如文[1 ]用初等数学方法就给出了一个很好的公式 .受文 [2 ]作者使用的恒等式方法的启发 ,本文也用初等数学方法给出一个与文 [1 ]公式不同的整边三角形的通解公式 .设△ＡＢＣ的三边之长为ａ ,ｂ ,ｃ,由余弦定理知ｃ2 =ａ2 ｂ2 - 2ａｂｃｏｓＣ .设ｃｏｓＣ =ｎｍ,其中ｍ ,ｎ是事先给定的互质的整数 ,且ｍ >｜ｎ｜ .我们来研究ａ ,ｂ ,ｃ为正整数的条件 .由ｃ2 =ａ2 ｂ2 - 2ａｂｎｍ,得 (ｍｃ) 2 =(ｍａ) 2 (ｍｂ) 2 - 2ｍｎａｂ ,或 (ｍｃ) 2 =(ｍａ-ｎ…     

有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

一道课本习题的商榷

全日制普通高级中学教材 (试验修订本 (必修 )人民教育出版社编 )《数学》第一册 (下 )Ｐ 15 1复习参考题Ｂ组练习第 4题 :已知ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,求证 :|ａ| =|ｂ| ｃ⊥ｄ .我们认为由ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,|ａ| =|ｂ|并不能推出ｃ⊥ｄ .例 1　当ａ =ｂ=0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ =ｄ =0 .例 2　当ａ =ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｄ =0 .例 3　当ａ =-ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ=0 .以上三例虽然有 |ａ| =|ｂ| ,但均不能推出ｃ⊥ｄ(因为 0与任一向量平行 ) .综上所述 ,此题有误 .笔者认为应改为 :已知ｃ ,ｄ为非…     

四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…