On the dynamics of turbulent vortical flow

Zusammenfassung Die Wirbelströmung in einer turbulenten kompressiblen Flüssigkeit wird behandelt. Die Bewegungsgleichungen werden durch die Vernachlässigung der kleineren Glieder vereinfacht. Die experimentellen Ergebnisse erlauben eine Fehlerrechnung für einen Fall. Ein wichtiger Schritt in der Vereinfachung ist die Voraussetzung, dass die Radialgradienten viel grösser sind als die Axialgradienten. Für die kräftigen Wirbel erwies sich diese Annahme sowohl durch die Erfahrung als auch aus den wesentlichen theoretischen Betrachtungen heraus als begründet. Die vereinfachten Gleichungen zeigen einige wichtige Aspekte der schnelldrehenden Strömungen und geben einen Anhaltspunkt für die ausführlicheren Studien.

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Notation r radial co-ordinate - z axial co-ordinate - u, U, u radial velocity component, its time-mean value, and the turbulent perturbation to it - v, V, v tangential or swirl velocity component, etc. - w, W, w axial velocity component, etc. - p, P, p fluid pressure, etc. - ,R, fluid density, etc. - , , , numbers small with respect to unity - C, F, G, G ₀ constants of integration     

Existenzaussagen für gewisse Zweipunkt-Randwertaufgaben

Zusammenfassung Für Randwertaufgaben der Form–u–l ₀ ...u–l ₀ ...u=f(x, u) mitl ₀R,lR,f definiert und stetig auf {a<-x<-b, |u|<} wird eine Existenzaussage gewonnen, fallsf inu linear durch die aufeinanderfolgenden Eigenwerte der zugehörigen linearen Aufgabe beschränkt ist. Zum Beweis betrachtet man die äquivalente Hammersteinsche Integralgleichung mit nichtsymmetrischem Kern. Mit Hilfe des Schauderschen Fixpunktsatzes erhält man für diese Integralgleichung Existenzaussagen, welche Ergebnisse von Dolph verallgemeinern.

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Summary This note contains an existence theorem for a two-point boundary value problem of the form–u–l ₀ u–l ₀ u=f(x, u) wherel ₀R,l ₀R,f defined and continuous on {a<-xb, |u|<} iff is linear bounded inu by the successive eigenvalues of the corresponding linear problem. To prove this result we consider the equivalent Hammerstein integral equation with non-symmetric kernel. Schauders fixpoint principle supplies existence theorems for integral equations of this type which generalize results of Dolph in some sense.

     

Randwertprobleme und Methode der inneren Parallelen: eine gemeinsame Erweiterung zweier Ungleichungen von Pólya

Zusammenfassung Die Methode der inneren Parallelen von Makai und Pólya wird hier auf das Randwertproblem (3) angewendet. Die sich ergebenden Schranken (11) und (11) für das FunktionalQ() enthalten als Grenzfälle die von Pólya [9] erhaltenen Schranken (2) und (1) für die Torsionssteifigkeit (Fall=0) bzw. für den Grundton einer Membran (Fall ₁.

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Summary We apply here the method of interior parallels of Makai and Pólya to the boundary value problem (3). The resulting bounds (11) and (11) for the functionalQ() contain as limit cases the bounds (2) and (1) obtained by Pólya [9] for torsional rigidity (case=0) and for the lowest eigenfrequency of a membrane (case ₁).

     

Über Automorphismenbahnen von Elementen u≠O mit (ad u)3=αad u in endlichdimensionalen einfachen komplexen Lie-Algebren

In this paper we study certain semisimple elements in simple complex Koecher-Tits-constructions from Jordan-triplesystems. Let L be a finite dimensional simple complex Lie-Algebra and u O an element in L with (ad u)³=-ad u. Then there is a compact real form L of L, which contains u. The involutorial automorphism id_L+2 (ad_Lu)² of L induces a Cartan-decomposition of a real form L (u) of L and this gives us a criterion of conjugacy under Aut L for two such elements u₁, u₂L.Using this result, we show that the number of conjugacy classes of elements uL (u O) with (ad u)³=ad u (\{O}, under Aut L is equal to the number of similarity classes of Jordantriplesystems, the Koecher-Tits-construction of which is isomorphic to L. The corresponding data are finally listed for all possible types of L.     

The best one-sided approximation of the classes WrHω

In this paper we calculate the upper bounds of the best one-sided approximations, by trigonometric polynomials and splines of minimal defect in the metric of the space L, of the classes W^rH (r = 2, 4, 6, ...) of all 2-periodic functions f(x) that are continuous together with their r-th derivative f^r(x) and such that for any points x and x we have ¦f ^r (x) f^r (x) ¦ (x–x¦), where (t) is a modulus of continuity that is convex upwards.Translated from Matematicheskie Zametki, Vol. 21, No. 3, 313–327, March, 1977.     

Structure of axisymmetric force-free magnetic fields in a dissipative plasma

Zusammenfassung Es wird untersucht, in welcher Weise die Struktur axisymmetrischer kraftfreier Magnetfelder in einem Plasma mit den Eigenschaften dieses Mediums zusammenhängt. Aus der Bedingung für das Verschwinden der Lorentz-Kraft und einer Energiegleichung für den Transport der Jouleschen Wärme wird ein System nicht-linearer Differentialgleichungen abgeleitet, wobei die aus der kinetischen Theorie folgende Feld- und Temperaturabhängigkeit der Transportkoeffizienten berücksichtigt wird. Es zeigt sich, dass ausser einer charakteristischen Länge nur ein einziger dimensionsloser Parameter auftritt, und dass dieser im wesentlichen durch das Quadrat des Verhältnisses von magnetischer zu kinetischer Energiedichte an der Achse bestimmt ist. Das Verhalten der Lösungen für beliebiges wird diskutiert, und für kleine werden Näherungslösungen entwickelt. Beispielrechnungen für =0, 0.1, 3 zeigen den Verlauf der verschiedenen physikalischen Variablen als Funktionen des Radius.     

über straffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum der Schwartzschen Distributionen

Zusammenfassung In den letzten Jahren erschien eine Reihe von Arbeiten, die sich systematisch mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf topologischen Gruppen, Halbgruppen, topologischen RÄumen und topologischen linearen RÄumen beschÄftigten. Als besonders geeignet für eine topologische Wahrscheinlichkeitstheorie erwiesen sich hierbei die sogenannten straffen (tight) Wahrscheinlichkeitsverteilungen (vgl. Le Cam [3], Hildenbrand [11], Prochoeov [20], Varadarajan [25]).Die vorliegende Arbeit befa\t sich mit straffen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum D, dem topologischen Dualraum des Raumes D der auf der reellen Zahlengeraden definierten beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem TrÄger Tr .Der Ausgangspunkt für die Untersuchung von Zufallselementen mit Werten in linearen RÄumen, die nicht notwendig BanachrÄume sind, war wohl der von GELFAND [8] eingeführte Begriff des verallgemeinerten stochastischen Prozesses (VSP). Solange man bei einem solchen Proze\ Eigenschaften untersucht, die sich mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, beschreiben lassen, wird man sich wie im Fall eines gewöhnlichen stochastischen Prozesses natürlich die Frage stellen, ob ein geeigneter Standard-stichprobenraum existiert, etwa der Raum D, so da\ sich jeder VSP auffassen lÄ\t als Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem geeigneten hinreichend umfangreichen -Ring von Teilmengen des Raumes D. Die fundamentale Arbeit von MINLOS [18] gab hierzu die Lösung: Durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit gewissen Eigenschaften, die denen der Randverteilungen eines VSP entsprechen, lÄ\t sich auf dem SystemB der Zylindermengen des Raumes D eine sogenannte schwache Verteilung definieren, von der gezeigt wird, da\ sie -additiv ist. Durch EinschrÄnkung des Raumes der sogenannten Testfunktionen auf den metrisierbaren Teilraum D _K{ D:Tr K, K kompakt in } von D lÄ\t sich dieses Ergebnis wie folgt verschÄrfen: Die durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit entsprechenden Eigenschaften, auf dem System B _K der Zylindermengen des Raumes D_K definierte schwache Verteilung K ist straff bezüglich der schwachen Topologie (D_K, D_K) in D_K.Die Frage nach der Gültigkeit einer entsprechenden VerschÄrfung für das Dualsystem >DD<, bzw. allgemeiner für ein Dualsystem E, F mit nicht notwendig metrisierbarem F, bildete den Gegenstand neuerer Untersuchungen, über deren Ergebnisse auf dem letzten Berkeley Symposium E. Mourier berichtete (vgl. [19]).Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit des Verfassers wird demgegenüber eine Methode aufgezeigt, mit deren Hilfe, unter Verwendung des Minlosschen Satzes in seiner ursprünglichen Form, auf direktem Wege für das Dualsystem >D, D< der Nachweis gelingt, da\ eine schwache Verteilung auf B nicht nur -additiv, sondern automatisch straff ist (bzgl. der schwachen Topologie (D, D) in D) und sich somit eindeutig fortsetzen lÄ\t zu einer straffen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem System 83 der Boreischen Mengen in D, welches den von den Zylindermengen erzeugten -Ring (B) umfa\t. Mit anderen Worten wird damit gezeigt, da\ man jeden VSP auffassen kann als straffe Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Boreischen Mengen in D. Wir sprechen dann auch von einer zufÄlligen Distribution.Im zweiten Kapitel betrachten wir spezielle zufÄllige Distributionen, nÄmlich Normal-verteilungen v, die aus Randverteilungen hervorgehen, welche n-dimensionale Normal-verteilungen sind, und beschÄftigen uns mit dem Problem der Äquivalenz und SingularitÄtzweier Normalverteilungen v₁ und v₂ in D. Für den Fall v₁ = v, v₂= v_{f 0}, wo v_{f 0}(Z) =v(Z – f₀), ZB fD, zeigte DUDLEY [6], da\ entweder Äquivalenz oder SingularitÄt vorliegt, wobei er ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für den Fall der Äquivalenz angibt. Aus der Theorie der gewöhnlichen stochastischen Prozesse ist nun bekannt, da\ die beiden Wahrschein-lichkeitsma\e, die zwei beliebigen Gau\schen Prozessen auf dem Raum ihrer Realisierungen entsprechen, entweder Äquivalent oder singular sind. Es lag deshalb nahe, nach einem Kriterium zu suchen, welches es einerseits gestattet, im Fall zweier beliebiger Normalverteilungen v₁ und v₂ in D zu entscheiden, wann Äquivalenz vorliegt, und welches andererseits die naheliegende Vermutung bestÄtigt, da\ für zwei Normalverteilungen in D dieselbe Alternative wie im eben zitierten klassischen Fall vorliegt. Dieses Problem wird gelöst, indem wir zeigen, da\ sich ein von Kallianfur-Oodaira [13] aufgestelltes Kriterium für die Äquivalenz zweier Normalverteilungen auf den Boreischen Mengen eines separablen Hilbertraumes auf den Distributionsraum D übertragen lÄ\t.Im dritten Kapitel beschÄftigen wir uns mit der Frage der Äquivalenz zweier beliebiger (nicht notwendig normaler) Wahrscheinlichkeitsverteilungen in D.Abschlie\end möchte der Autor Herrn Professor Dr. K. Krickeberg (Heidelberg) für die Anregung zu dieser Arbeit sowie für die Unterstützung wÄhrend ihrer Durchführung herzlich danken.     

Theorem of Bartle,Dunford, and Schwartz concerning vector measures

We show the existence, for an arbitrary vector measure: x (where X is a Banach space and gs is a-algebra of subsets of a set S) of a functional x X (X is the conjugate space of X) such that is absolutely continuous with respect to _x, _x (E)=(E)>, E gs.Translated from Matematicheskie Zametki, Vol. 7, No. 2, pp. 247–254, February, 1970.     

A survey of pseudo (v,k, λ)-designs

This work is an attempt to give a complete survey of all known results about pseudo (v, k, )-designs. In doing this, the author hopes to bring more attention to his conjecture given in Section 6; an affirmative answer to this conjecture would settle completely the existence and construction problem for a pseudo (v, k, )-design in terms of the existence of an appropriate (v, k, )-design.     

Spektrale Invarianz bei verallgemeinerten Eigenfunktionsentwicklungen

Let T be a selfadjoint operator in a Gelfand triplet H. Examples show that there can occur generalized eigenvalues of T which are not in the Hilbert space spectrum (T) of T. Moreover, the fuction d, which assigns to each real number s the dimension of the generalized eigenspace corresponding to s, can be essentially greater then the von Neumann multiplicity function of T. We therefore construct a new triplet H, closely related to the given Gelfand triplet, according to which the set of generalized eigenvalues of T is contained in (T), and the function d essentially equals the von Neumann multiplicity function of T. Then, in particular, the closure of the set of generalized eigenvalues equals (T). The expansion theorems in H are transferred to H.

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Grundlage dieser Arbeit ist ein Teil meiner Dissertation. Ich danke Herrn Prof. Dr. H.G. Tillmann für die Anregung hierzu und für viele wertvolle Hinweise.     

Inverse power law potentials in rectangular configurations

Summary Calculations based on a (distance)^– intermolecular potential (>3) enable study of the effects on adsorption of the geometry of the solid. This paper gives the closed form solution for the adsorptive potential about a homogeneous solid rectangular corner; and, through systematic superposition, closed form solutions for the following configurations also: the rectangular corner of a cavity; laminae and rectangular cracks occupying a quarter plane; semi-infinite rectangular prisms and prismatic cavities; rectangular parallelepipeds and brick-shaped cavities. These various results are developed in detail for the cases =6 and =4. The paradox that potentials for >3 seem to be obtainable more readily than Newtonian potentials (=1) is explained by the existence only for >3 of simple fundamental solutions for infinite homogeneous solid configurations.

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Zusammenfassung Berechnungen, denen ein intermolekulares Potential der Form (Abstand)^– (>3) zugrunde gelegt ist, ermöglichen eine Untersuchung von Effekten der Adsorption auf die Geometrie des Festkörpers. Die vorliegende Arbeit gibt die Lösung in geschlossener Form für das Adsorptionspotential um eine feste, homogene, rechtwinklige Ecke an. Ausserdem werden durch systematische Superposition Lösungen in geschlossener Form für die folgenden Konfigurationen angegeben: die rechtwinklige Innenecke einer Mulde; viertelunendliche, ebene Platten und rechteckige Spalten; halbunendliche, reckteckige Prismen und prismatische Mulden; Quader und quaderförmige Höhlen. Diese Ergebnisse sind ausführlich dargestellt für die Fälle =4. Das Paradoxon. dass Potentiale mit >3 scheinbar leichter zugänglich sind als das Gravitationspotential (=1), wird dadurch erklärt, dass nur für >3 einfache Grundlösungen für unendliche, homogene Festköperkonfigurationen existieren.

     

Some remarks concerning matrices of the form A–A′, A−1A′

Matrices and operators of the formA ^–1 A ^* have received a certain amount of attention in recent years. Here some of the literature is surveyed and the caseA ^–1 A is studied for complex matrices withA denoting the transpose ofA. A generalization ofA ^–1 A is introduced.

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Zusammenfassung Matrizen und Operatoren, die in der FormA ^–1 A ^* ausgedrückt werden können, sind in den letzten Jahren häufig studiert worden. Hier wird ein Ueberblick über Teil der relevanten Literatur gegeben und auch der FallA ^–1 A für komplexe Matrizen studiert, wobeiA die Transponierte vonA ist. Es wird auch eine Verallgemeinerung vonA ^–1 A eingeführt.

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Dedicated to Eduard Stiefel by a long time admirer     

Über konvergente Zerlegungen von Matrizen

LetA, M, N ben × n real matrices, letA=M–N, letA andM be nonsingular. LetMy0 implyNy0 (where the prime denotes the transpose). ThenAy0 impliesNy0 if and only if the spectral radius (M ^–1 N) ofM ^–1 N is less than one. This complements a result of Mangasarian, given in [1]. The same conclusions are true ifA, M, andN are replaced byA, M, andN respectively. The proof given here does not make use of the Perron-Frobenius theorem.

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Herrn Professor Dr. Johannes Weissinger zum 60. Geburtstag gewidmet     

Interrelations between the Length, the Structure and the Cardinality of a Chain

Let (Z,) be a chain and let (Z,) be its dual chain. Then the length l(Z) of (Z,) is the least upper bound of all cardinal numbers which can be order-embedded into (Z,) or (Z,). In particular, a chain is said to be short if its length is not greater than the smallest infinite cardinal. In this paper we shall prove that the cardinality |Z| of a chain (Z,) cannot be smaller than l(Z) and not greater than 2 ^l(Z). The inequality |Z|2 ^l(Z) is an immediate consequence of a general theorem which combines the structure of a chain with its length. In case of a short chain it follows that its structure may be rather complicated but that its cardinality cannot be greater than the cardinality of the real line.     

Weight functions on the Kneser graph and the solution of an intersection problem of Sali

LetX, Y be finite sets and suppose thatF is a collection of pairs of sets (F, G),FX,GY satisfying |FF|s, |GG|t and |FF|+|GG|s+t+1 for all (F, G),F, GF. Extending a result of Sali, we determine the maximum ofF.     

Über die Existenz der Lösungen von Randwertaufgaben mit gewöhnlichen,nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Ohne ZusammenfassungDiese Arbeit ist ein erster, für den Druck gekürzter Auszug aus meiner Abhandlung Existenz- und Eindeutigkeitsfragen bei nichtlinearen Randwertaufgaben, die von der Fakultät für Natur- und Geisteswissenschaften der Technischen Hochschule Hannover als Habilitationsschrift angenommen wurde. Für die Anregung zu diesen Untersuchungen danke ich Herrn Prof. Dr.L. Collatz.     

Laminar boundary layer on a flat plate at high Prandtl number

Zusammenfassung Das Problem der Laminarströmung einer kompressiblen Flüssigkeit längs einer ebenen Platte bei grossen Prandtlzahlen wird mit Hilfe der Methode der inneren und äusseren Expansion gelöst unter der Annahme, dass das Produkt aus Dichte und Viskosität quer zur Grenzschicht konstant ist. Die Tabellen des Anhanges ermöglichen die Berechnung einer vollständigen Temperaturverteilung in der Grenzschicht für isolierte und nichtadiabatische Wände. Es erweist sich, dass die für den Rückgewinnungsfaktor gewonnene Formelr=1,922 ^1/3–1,341 eine wesentliche Verbesserung gegenüber früheren Ergebnissen ist, selbst bei =10³. Es wird eine Interpolationsformel vorgeschlagen, die in die exakte asymptotische Lösung bei grossem übergeht und beir=1 ebenfalls =1 ergibt.     

A minimax principle for the critical value of a boundary value problem with positive and increasing nonlinearity

Summary For a non-linear boundary value problem with a positive and increasing non-linearity there exists a critical value* of the parameter, beyond which there are no solutions. We give a minimax characterization of*.

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Zusammenfassung In der Randwertaufgabe –u(x)=f(x, u(x)), u(a)=u(b)=0, seif positiv und wachsend im zweiten Argument. Dann gibt es einen Wert*, so dass keine Lösung existiert für>*. In dieser Arbeit wird* durch ein Minimaxprinzip charakterisiert. Der Beweis beruht auf der Anwendung von Ober- und Unterlösungen und monotonen Iterationen.

     

Parties d'ensembles B-normaux

For a given subset A of the set R of real numbers, we defined M(A) as the infimum of all the lengths of the finite intervals I such that there exists a sequence of real numbers in I such that A is the associated normal set B(). We prove that if A is a subset of A, such that all the multiples k.a' belongs to A (for each non zero integer k and each element a of A), then M(A) is less or equal to 2.M(A). Thus the family of the subsets A such that M(A) is finite is closed under intersection and finite union.     

Submanifolds of complex space forms admitting an almost contact metric compound structure

Summary Real hypersurfaces of an almost Hermitian manifold naturally admit an almost contact metric structure and the (f, g, u, v, w, , , )-structure is defined on submanifolds of codimension 3 of an almost Hermitian manifold. We study the so-called semi-invariant submanifolds of a complex space form with almost contact metric compound structure which is a general notion of (f, g, u, v, w, , , )-structure.Dedicated to professor Eulyong Pak on his 60th birthdayThis research was partially supported by Korean Science and Engineering Foundation Grant.