最小数原理

集合理论的重要性的一个侧面是它的方法论意义.我们知道,有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不平衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其它元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的依据之一就是本文所要介绍的有关集合的一条简单性质.最小数原理Ⅰ设M是正整数集的一个有非空子集,则M中必有最小数.最小数原理Ⅱ设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最小数.推论设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最大数.1最小数原理是解决存在性问题的利器由于最小数原理实际上是一个存在性定理,因而与大量存在性问题有着密…     

极端原理在解题中的应用

为了解决某些数学问题,设想极端,考察某些邻界的元素。例如,取函数的最值,研究距离、长度、面积、体积等的最大(或最小)情况,讨论问题的特殊情形,考虑图形的退化与极限位置等。利用考察极端状态实现解题的思维方法称为极端原理”。下面通过对各类问题的分析,探讨应用极端原理解题的思想方法。     

集合与逻辑

集合是一个原始的不定义的概念．在高中数学竞赛中，有关集合的问题主要分两类，一类是利用集合的性质处理代数、数论等问题，另一类则是分析某个集合的子集、拆分等组合结构的组合问题．处理这两类问题，一方面要求解题者能紧抓集合元素的特性（互异性，无序性），并具有良好的代数变形、转换命题的基本功，另一方面，还应掌握极端原理、抽屉原理等组合思想方法．     

集合与逻辑

集合是一个原始的不定义的概念.在高中数学竞赛中,有关集合的问题主要分两类,一类是利用集合的性质处理代数、数论等问题,另一类则是分析某个集合的子集、拆分等组合结构的组合问题.处理这两类问题,一方面要求解题者能紧抓集合元素的特性(互异性,无序性),并具有良好的代数变形、转换命题的基本功,另一方面,还应掌握极端原理、抽屉原理等组合思想方法.逻辑问题在高中数学竞赛中直接考查的不多,若能深刻理解“四种命题”和逻辑的联系却能起到转换思考角度的作用.有时,对解题有较大的帮助.例1已知三元整数集A={4x2 y2,1 4y,3 9x2},B={3,21,25}…     

错排问题的递推求解

一、错排问题现有五件球衣分属五个运动员,现问五个运动员都不穿自己的球衣,而穿其它球员的球衣,这样的穿法有几种?这就是5个元素的错排问题.就一般而言,有几个不同的元素,它们一一对应于几个位置,如果这n个元素都不排在自身对应的位置上,这种排列的方法称为几个元素的一个错排.现要计算这种错排的个数.大数学家欧拉曾用容斥原理求出了n个元素的错排个数为:Dn=n!1-11!+21!-31!+……+(-n1!)n这是运用容斥原理解决问题的一个典范.现从另一个角度出发,运用错排问题自身的递推规律,求错排问题的解.二、错排问题的递推规律设有n个不同的元素a1,a…     

用“极端化方法”解不等式组中有关“不空与不满”问题

要把数学问题化难为易,化繁为简,化生疏为熟悉,化抽象为具体时,常常要考察有关数学对象或涉及到范围的极端情形:数量的最大值或最小值,图形上的界限位置,某种排列顺序的极端位置元素的性质等等.因为极端情形比较容易、简单、熟悉、具体,极端情形的解与一般情形的解往往有共性,极端情形的解往     

极端原理解题例说

极端原理是一种从特殊对象看问题的方法,其作为一种解题的思想,有着广泛的应用.直接抓住全体对象中的极端情形或其所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原则. 1情况1 把握空间图形的极端位置,寻找题目各要素之间的联系,在直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的过程中完成解题.     

排列与组合问题

基本知识加法原理 ,乘法原理 ,排列数公式 ,组合数公式 ,组合数的性质 (见高中代数课本第九章 ) .2　应用举例排列与组合问题 ,通常要应用加法原理和乘法原理 ,由于这两个原理容易发生混淆 ,我们应特别注意加法原理中每类办法都是相互独立的 ,不受其它类办法的制约 ,而乘法原理中的ｎ个步骤是一环接一环 ,缺一不可的 ;排列与组合的区别就在于前者强调了元素的顺序 ,不同的顺序决定不同的排列 ,而后者与元素顺序无关 .例 1　学校开设语文 ,外语 ,政治 ,体育 ,数学 ,物理 ,化学七门课程 .1)一天开设七门不同课程 ,体育不排在第一节 ,也不排…     

极端原理的应用

<正>我们往往在导数的压轴题中会碰到这样的问题:x∈(a,+∞)时,f(x)>0并且f(a)=0,我们能够得到一个必要条件,那就是f′(a)≥0,根据这个不等式求解出参数的初步范围,之后我们进行充分性的讨论.这就利用了导数的极端原理来解题.请大家具体看下面的题目.     

学会运用极端思想方法

<正>所谓极端思想方法,是指在解决一个问题时,以一种极端的视角审视问题,通过挖掘内隐在问题之中的极端数量关系、极端位置性质、问题反向情形等来求解问题方法.本文拟结合具体实例,谈谈这种极端思想方法在解题中的运用,以资同学们参考.一、析取极端数值解决一些数学问题的关键,有时只需析取其中的某个极端数值.如解决某些涉及多元的数学问题,或是恒成立、存在等一类问题,常常     

例说“极端性”原理在数学解题中的运用

“极端性”原理是解决数学问题的一个重要方法，从极端情形(最大值、最小值、极端有利、极端不利、边界情形、极端位置等)入手分析，往往能发现解决问题的突破口．此法不仅在解竞赛问题中用途广泛．事实上，在平时的解题过程中，为了寻求更清晰的解题思路，更简洁的运算方法，我们也会不经意地去“走极端”，本文例举说明．     

满势群——Z_m可分解群

<正> 一个群G与其生成组当然是相互决定的.因此群G的性质与其生成组的数量侧面(例如生成组所含元素的个数,生成元的阶等)有着密切的联系,有限Abel群的理论给出了一个典型的例子,关于p-群G,Burnside有一个基定理,指出G的每一个独立生成组所含元素的个数是一定的.然而这方面的结果还是不多的.本文对此问题作一个非常初步的探讨,主要内容是讨论生成组的序势(定义见后)达到极端时的一类群——满势群.结     

拟对称packing极小Moran集

本文研究了一维Moran集的拟对称packing极小性的问题.利用质量分布原理的方法,获得了直线上一类packing维数为1的Moran集为拟对称packing极小集的结果,推广了参考文献中关于拟对称packing极小性的已知结果.     

拟对称packing极小Moran集（英文）

本文研究了一维Moran集的拟对称packing极小性的问题.利用质量分布原理的方法,获得了直线上一类packing维数为1的Moran集为拟对称packing极小集的结果,推广了参考文献中关于拟对称packing极小性的已知结果.     

功率型变分原理和功能型拟变分原理及其应用

自从钱伟长建立了功率型变分原理以来,功率型变分原理和功能型变分原理在理论方面和应用方面有什么区别和联系,成为学术界关注的课题.应用变积方法,根据Jourdain原理和d’Alembert原理,建立了不可压缩黏性流体力学的功率型变分原理和功能型拟变分原理,推导了不可压缩黏性流体力学的功率型变分原理的驻值条件和功能型拟变分原理的拟驻值条件.研究了不可压缩黏性流体力学的功率型变分原理在有限元素法中的应用.研究表明,功率型变分原理与Jourdain原理相吻合,功能型变分原理与d’Alembert原理相吻合.功率型变分原理直接在状态空间中研究问题,不仅在建立变分原理的过程中可以省略在时域空间中的一些变换,而且给动力学问题有限元素法的数值建模带来方便.     

读极限思想与补集思想的应用

解析几何问题的求解特点是以代数方法求解几何问题 ,这类问题容易形成“入手容易”、“答对困难”的情境 .究其原因 ,由于盲目运算 ,以致运算量大 ,这样不仅影响解题速度 ,也极易出错 .因此 ,在解题中 ,尽量减少运算量则成为迅速、准确解题的关键 .就此问题 ,本文谈一下减少解析几何运算量的两种数学思想 .1　极限思想通过考察问题的极端元素或着眼于一类问题的极限状态 ,灵活地运用极限思想解题 ,则可避开抽象及复杂运算 ,优化解题过程 ,降低解题难度 .这是减少运算量的一条重要途径 .1 .1　视点为“圆”或“椭圆”例 1　有一圆与直线 4 x …     

平面有限点集问题初探

国内外数学竞赛中有不少关于平面有限点集的试题,这类问题处理起来往往使人感到困难,常有不知从何做起的感觉。本文尝试着探讨解决这类问题的几种常见方法。一、“极端性”原则平面有限点集的元素是有限的,所以解决这类问题时,可以考虑从某些在数量上达到极端值(最大值或最小值)的元素作为分析问题的出发点,来寻求问题的答案。例1 给定平面上n(≥4)个点,其中无三点共线,证明:存在以已知点为顶点的三角形使得其余n-3个     

抽屉原理

抽屉原理俗称鸽巢原理,又叫狄利克雷原理.简单地说就是:把3个苹果放入两个抽屉中,必有一个抽屉中至少有两个苹果;把3个苹果放入4个抽屉中,必有一个抽屉中没有苹果.1抽屉原理的几种形式1)第一抽屉原理(少的抽屉原理)设有m个元素分属于n个集合(其两两的交集可以非空),且m>kn(m,n,k均为正整数),则必有一个集合中至少有k 1个元素.2)第二抽屉原理(多的抽屉原理)设有m个元素分属于n个两两不相交的集合,且m相似文献   

求解周期性分段线性系统动态响应的高效数值方法

基于参变量变分原理,提出了一种求解具有大量间隙弹簧的周期性分段线性系统动态响应的高效率数值方法.通过参变量变分原理来描述间隙弹簧,将复杂的非线性动力问题转化为线性互补问题求解,避免了求解过程中的迭代和刚度阵更新,该算法能准确判断间隙弹簧的压缩和松弛状态.基于结构的周期性和能量传播速度的有限性,提出了一种求解系统动态响应的高效率精细积分方法.该算法指出周期结构的矩阵指数中存在大量的相同元素和零元素,从而不需要重复计算和存储这部分元素,节省了计算量并降低了计算机存储要求.分析了一个五自由度分段线性系统在简谐荷载作用下的动力学行为,包括稳定的周期运动、准周期运动和混沌运动.通过与Runge-Kutta方法的比较,该文方法的正确性和高效率得到了验证.     

极端性原理

一、极端性原理所谓极端性原理指的是直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、解决问题的思想方法。例1 证明:任何四面体中,一定有一个顶点,由它出发的3条棱可以构成一个三角形。证明组成四面体的六条棱中总存在最长棱,不