几何学概论(二)

(三)罗巴切夫斯基几何的诞生要知道罗巴切夫斯基几何是怎样诞生的,就应该回顾一下欧几里得第五公设的历史.罗巴切夫斯基几何的诞生,归根到底就是试证第五公设的结果.第五公设是这样叙述的:如果两条直线被第三条直线所截,在截线一侧的两个同侧内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一侧无止境地延长之后,一定会相交.     

平行公理与非欧几何

中学所学的平面几何源于欧几里得《几何原本》 ,而欧氏几何的基础有五个公设和五大公理 .其中的第五公设说“若一直线与两直线相交 ,且若同侧所交两内角之和小于两直角 ,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点 .”现在几何书上的平行线公理就是由此而来 .从公元前 3 0 0年直到 180 0年间 ,人们虽始终坚信 ,欧氏几何是物理空间的正确理想化 ,但是在那样长的几乎整个时期之内 ,数学家却始终对一件事耿耿于怀 ,那正是这个第五公设的证明 .它使许多著名的数学家付出了毕生的心血 ,有的一无所获 ,有的却有新的发现 .其中值得一提的有四位数学家 ,…     

“几何学上的哥白尼”——罗巴切夫斯基

<正>一、试证第五公设与罗氏几何的创立欧几里得的《几何原本》问世以后,人们发现,欧氏第5公设叙述冗长,不像其他公设那么简明,很像是一个定理.于是数学家们想证明第5公设,希望从欧氏的其他公设和公理出发,推导出第5公设来.《几何原本》的第5公设Ⅴ:(在一平面上)若一直线与二直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点(如图1).     

非欧几何的发现

欧氏几何包括我们高中生学过的平面几何和立体几何 ,但欧氏几何并不是唯一能正确反映物质空间的几何学 .为了开阔同学们的视野、了解几何空间的多样性 ,这里介绍另一种几何———非欧几何 .欧几里得的《几何原本》是欧氏几何的经典著作 .许多人认为《几何原本》中的第五公设 (它等价于过直线外一点 ,只能作一条直线与已知直线平行 )是可以用其它的公理、公设证明出来的一个定理 .从欧几里得时代起 ,直到十九世纪初 ,都没有找到正确的证明 .俄罗斯数学教授罗巴切夫斯基在青年时代也曾企图找到“第五公设”的证明 ,但很快地他就发现是不能证明…     

“平几”中真,“立几”中也真吗?

立体几何中,常常会遇到与平面几何中“形式”相同的命题,这些平面几何中的真命题,在立体几何中还真?下面给出一组平面几何中的无误的真命题,考虑在立体几何中,哪些真?哪些不真? 1.不相交的两条直线一定平行。 2.两条互相垂直的直线一定交于一点。 3.如果一条直线与两条互相平行的直线中的一条相交,那么必与另一条直线相交。 4.四条边都相等的四边形一定是菱形。 5.四边形的四个内角和必为360°。 6.各边都相等的四边形的两条对角线一定互相垂直。 7.平行于同一直线的两条直线一定平行。 8.垂直于同一条直线的两条直线一定平行。     

相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

三角形的五心初谈(一)

<正>在欧几里得的《几何原本》中,没有三角形五心的概念.对三角形"心"的认识应该说是平面几何认识的深化,是近代人们较为系统的开拓.1对三角形五心的初识人们在几何作图和证明中逐渐发现,三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线、三边的垂直平分线和一个内角的平分线以及另两个外角的平分线都是共点的.我们用极其初等的办法就可以证明.     

关于两直线垂直的证明

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1.利用垂直的定义来证例 1　已知 :如图 1,在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ⊥ＣＤ ,分别在ＡＢ ,ＣＤ上取点Ｅ ,Ｆ ,使ＡＥ =ＣＦ .过Ｅ作弦ＣＮ ,过Ｆ作弦ＢＭ ,两弦相交于点Ｈ .求证 :ＣＮ⊥ＢＭ .分析 :欲证ＣＮ⊥ＢＭ ,只需证∠ＣＨＦ =90° ,即只需证∠ＨＥＢ +…     

线线垂直的证明方法

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1 .利用垂直的定义来证例 1　如图 ,已知 :△ABC的高AD ,BE相交于点H ;F ,G分别是AC ,BH的中点 .求证 :DG⊥DF .分析 :欲证DG⊥DF ,只需证∠GDF =90° .观察图形 ,由已知条件知∠ADB =90° ,故只需证∠ADF =∠GDB .证明 :∵DF是Rt△ACD斜…     

直说平行性和三角形内角和之本质与关系

平行是欧氏平面几何中的一个重要的基本概念而“三角形内角和恒等于平角”则是具中一个常用、好用的基本定理．在欧氏的几何原本中，两者都有赖于下述第五公设（fifth postulate），亦称平行公设：     

几何学概论（二）

耍知道罗巴切夫斯基几何是怎样诞生的,就应该回顾一下欧几里得第五公设的历史．罗巴切夫斯基几何的诞生,归根到底就是试证第万公设的结果．     

分类讨论思想在三角形分割线中应用

<正>三角形的分割是指从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.由于分割后的图形位置与形状的不确定性而需要加以分类讨论,纵观近年中考试题,涉及三角形分割线的试题屡见不鲜,解答此类问题,一定要注意正确的分类讨论,谨防以偏概全的漏解错误.例1已知△ABC中,∠C是其最小的内角,如果过顶点B的一条直线把这个三     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

怎样计算两条异面直线之间的距离

空间两条不重合直线的位置关系有以下三种情况:在同一平面内有(1)相交直线和(2)平行直线;不能在同一平面内的有(3)异面直线。要确定两条相交直线之间的相关位置,只要确定这两条相交直线所成的角就够了.但要确定两异面直线的相关位置,就必须引进两条直线的交角和它们之间的距离两个概念,借助于这两个数来恰切地确定它们的位置关系.所谓异面直线间的距离是指它们间     

利用圆外(内)角和圆周角的大小关系解题

<正>圆是平面几何中的基本图形,看似朴实无华,实则魅力无穷.我们把顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫圆周角;圆外角指顶点在圆外,且两边都和圆相交的角;圆内角指顶点在圆内的角.这三种角之间有大小关系:一条弧所对的圆内角>它所对的圆周角>它所对的圆外角.如图1,圆周角∠C>圆外角∠D,这是因为∠C=∠AEB>∠D;图2中同理有圆周角∠C<圆内角∠ADB.     

双曲线的另一定义

定义平面内的动点到两相交直线的距离之积为常数k(k>0)的点的轨迹叫做双曲线.其中两条相交直线为双曲线的渐近线. 证明以两条相交直线的角平分线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则可设两相交直线的方程为6x±ay=0(a,b>0),设动点     

一道课本习题的推广和应用

教材《解析几何》（必修）P88第8题为：命题1过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1；y2。，则y1y2＝-p2．不难证明，这个命题的逆命题也成立：命题2一条直线与抛物线y2＝2px相交的两个交点的纵坐标为y1、y2．若y1y2＝－p2，那么这条直线过抛物线的焦点．由命题1和命题2，可得：命题3直线和抛物线y2＝2px相交，两交点的纵坐标为y1、y2，那么，这条直线过抛物线焦点的充要条件是：y1y2＝－P2．将命题3推广，则有：命题4一条直线和抛物线y2＝2px的两个交点的纵坐标为y1、y2，那么，这条直线过抛物线对称轴…     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

数学归纳法——兼与史宁中先生商榷

欧氏几何有个平行线公理:过线外一点有且仅有一条直线与它平行.历史上有许多学者宣称得到了它的证明,结果不是发生推理错误,就是用到了一个与它等价的命题.用了二千多年,人们才知道它是不可能证明的.它是建立欧氏几何不可缺少的一个基本假定.因此有时也称为公设.     

空间上“点在线上”的证明

空间中证明“点在线上”主要根据立几的公理二。其证法步骤如下: (1)分析出要证的直线是哪两个平面的交线; (2)再证明要证的点是这两个平面的公共点; (3)由立几公理二,点必在线上。例1 三个平面两两相交,有三条交线,若这三条交线两两相交,则三条交线交于一点。分析:证三线共点可转化为证其中两线的