初二代数第二学期期中自测题

A组一、填空题 ( 1— 5题 ,每小题 3分 ,6— 1 0题每小题 4分 ,共 3 5分 ) .1 .数的平方得 812 5 6,4962 5 的开平方得 .2 . 1 72 -82 的算术平方根是 .3 . -12 是数a的一个平方根 ,则a=.4.若 3 -2x有意义 ,则x=.5 .当a =3时 ,( 2 -a) 2a -2 =.6.(± 13 ) 2 的平方根是 ;9的算术平方根是;-82 7的立方根是 .7.如果a2 =2 5 ,则a3 =;如果 (a -5 ) 2 =5-a ,则a 5 ;如果 -a =3 ,则a =.8.当x =时 ,代数式 2x +3 -x有意义 ;若x<0时 ,则3 x3|x|=;若x+12 +|y -3 |=0 ,则x2 +y2 =.9.若 1 .0 0 7=1 0 0 3 ,1 0 0 7=3 1 73 ,则0 .0 0 1 0 0 7=;若 3 …     

中专代数§53近似数平方根的誤差的一个講法

我在讲公式δ′(a~(1/2))=1/2δ′a时采用以下的方法: 問学生:若x为近似数,δ′x~2=? 答:δ′x~2=2δ′x. (*) 又問:若x~2等于已知数a,x=? 答:x=a~(1/2),(取算术根) 再問:若以x~2=a,x=a~(1/2)代入(*)式,結果怎样? 答:δ′a=2δ′(a~(1/2)),δ′(a~(1/2))=1/2δ′a.随着就可以告訴学生。最后的結果就是課本中65頁第10行所说的事实,即:近似数平方根的相对誤差界,等于被开方数的相对誤差界的一半。这样通过几次問答,完全可以使学生下費力气地接受这部分的知識。至于近似数高次方根的誤差問題,也可以很自然地得到結論。如     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

初二代数第二学期期中自测题

A组(满分100分) 一、填空题(每小题3分,共15分) (1)1-2的相反数是_,|π-23|=_,|2-3|=_。(2)如果x2=16,则x3=_;如果x3=64,则x=_.(3)如果a的平方根是±2,那么a=_。(4)3-64=_;±4256/625=_;2n+1-1(n为自然数)=_。(5)当x_时,3x-4无意义.(6)已知正方体一面的面积是a,则这个正方体的体积是_.     

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

∑(a/(b c))~(1/2)<1 2(3~(1/2)/3)的初等证明

本刊文 [1 ]中用导数方法证明了 :在△ ABC中 ,有　　 ∑ ab c<1 2 33 . (1 )本文给出一个初等的证明 .证明　由对称性 ,不妨设 a≥ b≥ c=1 ,易知 a b≥ 2 ,a 相似文献   

含参数的一类函数问题解题策略

含参指数函数与对数函数问题,涉及知识点较多,综合性较强,既是高考考查热点,也是中学数学教学难点.本文列举数例谈谈解法,仅供参考. 一、析出参数法(利用二次函数性质) 例1 关于x的方程a2x+(1+lgm)·ax+1=0(a>0且a≠1)有解,求实数m的取值范围.     

Whc80部分的初步解决

对于函数 yi( x) =aix2 bix ci　 ( a1a2≠ 0 ,i =1 ,2 ) :研究两个二次函数迭加即y0 ( x) =y1( x) λy2 ( x)是否不变号 (定正或定负 )的判定性质时 ,杨之先生在文[1 ]Whc80中提出 :有无 y0 ( x)定号的简易判别或论证方法 ?多个函数迭加问题有无本质的区别 ?本文着手解决这个问题 .定理　对二次函数　 f1( x) =a1x2 b1x c1,　 f2 ( x) =a2 x2 b2 x c2 ,( ai,bi,ci ∈ R,i =1 ,2 ,a1a2 ≠ 0 ) ,存在λ使 f0 ( x) =f1( x) λf2 ( x)不变号 (定正或定负 ) ,当且仅当下列条件之一成立 :i)Δ1<0 ;　 ii)Δ2 <0 ;iii)Δ1=0 ,p =b1…     

求解大规模带二次简单约束的二次规划的显式自调比投影收缩算法

1　引　　言我们来考虑如下的带二次简单约束的二次规划问题12 x TH x +c Tx =mins.t.,‖ x‖ 2 ≤ a (1)其中 H∈ Rn× n是一个半正定对称矩阵 ,c∈ Rn,这里 a是一个确定的参数 .求解问题 (1)的最基本的方法是构造 L agrange函数 :L (x,λ) =x TH x +2 c Tx +λ(x Tx - a2 ) (2 )当约束起作用时 ,由 x L (x,λ) =0 ,　　 λL (x,λ) =0 ,得H x +c+λx =0‖ x‖ =a (3)即(H +λI) x +c =0‖ x‖ =a从而有‖ (H +λI) - 1 c‖ =a令φ(λ) =‖ (H +λI) - 1 c‖ ,　　 S(λ) =(H +λI) - 1 c则φ2 (λ) =STS =c T(H +λI) - 2 c=…     

综合题新编选登

题130设定义在R上的函数f(x)=a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4(a0,a1,a2,a3,a4∈R),当x=-1时,f(x)取极大值32,且函数y=f(x 1)的图象关于点(-1,0)对称.1)求f(x)的表达式;2)试在函数y=f(x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-2,2]上;3)设xn=2n2-n1,ym=2(13-m3m)(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<34.解1)将y=f(x 1)的图象向右平移一个单位,得y=f(x)的图象,所以得f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)是奇函数,所以f(x)=a1x3 a3x.由题意,得f′(-1)=3a1 a3=0,f(-1)=-a1-a3=32,所以a1=31,a3=-1,f(x)=13x3-x.可以检验f(x)满足题…     

为何少了一个值?

题目　已知关于x的函数 f(x) =2ax- 1x2 在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,求a的取值范围 .解法 1　由已知可得 f′(x) =2a + 2x3 .∵f(x)在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,∴有 f′(x) >0在 ( 0 ,1 ]上成立 ,即a >- 1x3 在 ( 0 ,1 ]上成立 .而函数 g(x) =- 1x3 在x∈ ( 0 ,1 ]上是增函数 ,且 [g(x) ]max=g( 1 ) =- 1 ,∴a >- 1 .解法 2　设 0 0恒成立 ,即　 (x2 -x1) 2a+ x1+x2x21x22>0恒成…     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

"三元等和代换"及其应用

对于任意的三个正数 x,y,z,总可以由另外的三个实数 a,b,c表示为 :( T)　x =- a b c,y =a - b c,z =a b - c.则易知 a >0 ,b >0 ,c>0 ,且x y z =a b c.我们称上述的代换为“三元等和代换”,以下简称 ( T)代换 .由 ( T)代换的结构形式 ,可以看出它有其明显的几何意义 :即 x,y,z是以 a,b,c为三边的三角形的任意两边之和与第三边的差 .由此 ,我们很自然地又会想到三角形的三边长 ,可由另外的三正数来表示 ,即 ( T)代换的逆代换 ( T) -1,从而有( T) -1　a =y z2 ,b =z x2 ,c =x y2 .显然　 x >0 ,y >0 ,z >0 .下面举例…     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

椭圆和双曲线的又一个姊妹圆

本刊文 [1 ]推出了椭圆和双曲线的四个姊妹圆 ,读后受益非浅 .在它的启示下 ,笔者进一步研究 ,又得到了一个优美有趣的姊妹圆 .命题 1　到椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a >b>0 )的两条准线和 x轴的交点的距离之比为a - cb (c为半焦距 )的点的轨迹为圆 (x± ae2 ) 2 y2 =(be2 ) 2 (e为离心率 ) .证明　设 M(x,y)是轨迹上的任一点 ,又知两条准线和 x轴的交点为 E(- a2c,0 )和F(a2c,0 ) ,则有(x a2c) 2 y2(x - a2c) 2 y2=(a - cb ) 2=a - ca c=1 - e1 e,1或　(x - a2c) 2 y2(x a2c) 2 y2=1 - e1 e. 2化简 1或 2可得到x2 y2± 2 ae2 x…     

Ⅱ_k空间上自共轭算子的开根

在Hilbert空间中任何一个自共轭算子A,如果A≥0,则A有唯一的自共轭平方根A_1:A_1=A_1~*,A_1~2=A,σ(A_1)={λ~(1/2)|λ∈σ(A)}.在不定尺度空间Ⅱ_k上,一个正算子(即对任何x∈Ⅱ_k,(Ax,x)≥0,此地(·,·)是Ⅱ_k上度规,显然当A是有界算子时,A必是Ⅱ_k上自共轭的)是否能有自共轭的平方根呢?这是本文讨论的目标.其次还讨论了Ⅱ_k上酉算子的平方根问题.     

用数轴确定一次不等式中的参数

<正>根据含有参数(即字母系数)的一元一次不等式组的解集或解的情况,来确定不等式组中参数的取值范围,是"一元一次不等式组"中的一个难点,下面举例说明借助数轴解决此类问题的方法,以供参考.例1若关于x的不等式组x>a,3x+2<4x-1的解集为x>3,则a的取值范围是().(A)a≥3(B)a=3(C)a<3(D)a≤3解析解不等式3x+2<4x-1,得x>3,这个解集在数轴上表示如图1所示.可以看出,表示数3的点把数轴分为三个部分,即表     

八年级数学(北师大版)第一学期期末自测题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .平方根等于本身的数是 .2 .如图 1 .所有四边形都是正方形 ,所有三角形都是直角三角形 ,其中最大的正方形边长为 7cm ,则正方形A ,B ,C ,D的面积之和为cm2 .3 . ABCD在直角坐标系中 (如图 2 ) ,已知A ,B ,C三个点的坐标如下 :A( 1 ,2 ) ,B( 0 ,0 ) ,C( 3 ,0 ) .则D点坐标为 ,它关于x轴对称的点D′的坐标为 .4.已知甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球分别为 9,9,x ,7.若这组数据的众数与平均数恰好相等 ,则这组数据的中位数为 .5 .x=2y=-5 是方程 3x -ay =7的一个解 ,则a =.6.已知 |…     

一道函数试题的解法探讨

某地区2007年初的高三数学“一模”检测中的一道试题为:已知集合P={x|1/2≤x≤3},函数f(x)=log2(ax~2-2x 2)的定义域为Q.(Ⅰ)若P∩Q=[21,23),P∪Q=(-2,3],求实数a的值;(Ⅱ)若P∩Q≠,求实数a的取值范围.这是一道以集合作为外衣、与复合函数的定义域相结合的典型试题,其中复合函数是由对数函数及含参数a的二次函数(a=0时退化为一次函数)复合而成.本文仅对第(Ⅱ)问的解法进行探究,给出下列七种解法,以飨读者.定义域Q由ax2-2x 2>0(1)确定,与此对应的方程为ax2-2x 2=0(2)解法1(正向思考,用求根公式求解)1)a=0时,由(1)得-2x 2>0,解得x<1,即Q={…