Existence Results for a Class of Semilinear Elliptic Systems

In this paper, we study the existence of nontrivial solutions for the problem
{-△u=f（x,u,v）＋h1（x）in Ω
-△v=g（x,u,v）＋h2（x）inΩ
u=v=0 onδΩ
where Ω is bounded domain in R^N and h1,h2 ∈ L^2 （Ω）. The existence result is obtained by using the Leray-Schauder degree under the following condition on the nonlinearities f and g：
{lim s,｜t｜→＋∞f（x,s,t）/s=lim ｜s｜,t→＋∞g（x,s,t）/t=λ＋1 uniformly on Ω,
lim -s,｜t｜→＋∞f（x,s,t）/s=lim ｜s｜,-t→＋∞g（x,s,t）/t=λ-,uniformly on Ω,
where λ＋,λ-∈（0）∪σ（-△）,σ（-△）denote the spectrum of -△. The cases （i） where λ＋ = λ_ and （ii） where λ＋≠λ_ such that the closed interval with endpoints λ＋,λ_ contains at most one simple eigenvatue of -△ are considered.     

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……     

三角形中一个向量性质及推广

性质1 如图1，在△PAB中，M是边AB上任意一点，Q是PM上的任意一点，过点Q的任意一条直线交边PA，PB于A′，B′，若→AM=λ→AB，→PQ=t→PM，→PA′=x→PA，→PB′=y→PB，则1-λ/x＋λ/y=1/t.     

向量命题的两种推广

文[1]用两种方法证明了向量命题：命题若P是△ABC内部一点,且λ1PA→＋λ2PB→＋λ3PC→=0→（λ1,λ2,λ3〉0）,记S△PBC=SA,S△PAC=SB,S△PAB=SC,则SA∶SB∶SC=λ1∶λ2∶λ3.     

三角形的一个性质再探

文[1]从2004年全国高中数学联合竞赛试题第四题出发，通过对问题的进一步探索推广得到下列结论：设点O在△ABC内部，且λ→↑OA＋m→↑OB＋n→↑OC=0,（其中λ，m，n均是正数）。则S△AOB：S△BOC：S△AOC=1/λm：1/mn：1/nλ，文[2]利用向量的几何意义对上述结论给出了较为简捷的证明。     

四面体的若干性质

文[1]，[2]介绍了三角形的若干性质： 命题1 已知△ABC及其内部一点P，若λ1^→PA＋λ2^→PB＋λ3^→PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则S△PBC：S△PCA：S△PAB=λ1：λ2：λ3。     

Traveling Waves and Capillarity Driven Spreading of Shear-Thinning Fluids

We study capillary spreadings of thin films of liquids of power-law rheology. These satisfy ut＋（u^λ＋2｜uxxx｜^λ-1uxxx）x=0,where u （x, t） represents the thickness of the one-dimensional liquid and λ 〉 1. We look for traveling wave solutions so that u（x,t） =g（x＋ct） and thus g satisfies g＇＇＇=｜g-ε｜^1/λ/g^1＋2/λ sgn（g-ε） We show that for each ε 〉 0 there is an infinitely oscillating solution, gε, such that limt→∞ gε=ε and that gε→ g0 as ε → O, where g0≡ 0 for t ≥ 0 and g0=cλ｜t｜3λ/2λ＋1 for t〈0 for some constant cλ.     

三角形的一个性质的证明及拓广

文[1]给出了三角形的一个简捷的性质： 已知ΔABC及其内部一点P，若λ1PA＋λ2PB＋λ3 PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3．     

一道经典向量问题的探究与推广

问题 已知G是正△ABC的重心,过G的直线分别与边AB、AC交于E、F,记→AB=a,→AC=b,并令→AE=λa,→AF=μb(如图1),求证:1/λ+1/μ为定值.     

两个三角形垂心相同的充要条件

在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC…     

一道排列、组合高考题的延伸

2005年湖南省高考数学试题（理10）：设P是ΔAPC内任意一点，S△ABC表示△ABC面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）     

关于奇数维流形上规范化的Ricci流的一个注记

要设（Mn，go）（n奇数）是紧Riemannian流形，λ（go）〉0，这里λ（go）是算子-4△go＋R（go）的第一特征值，R（go）是（Mn，go）的数量曲率．设以（Mn，go）为初值的规范化的Ricci流的极大解g（t）满足｜R（g（t））｜≤C和λ（对某个常数C一致成立）．我们证明这个解有子列收敛于一个Ricci收缩孤立子．进一步，当n=3时，条件fM ｜Rm（g（t））＋n/2dμt ≤ C可去．     

关于M/M/1系统方程的瞬态解

经典的M/M/1随机服务系统的排队方程是{G_0~＇(t)=-λG_0(t)+μG_1(t),G_k~＇(t)=λG_(k-1)(t)-(λ+μ)G_k(t)+μG_(k+1)(t),k=1,2,…,其中G_k(t)表示在时刻t系统内恰有k个顾客的概率.在一般初始条件下方程(1)的解已由Clarke用母函数方法求出:G_k(t)=e~(-(λ+μ)t)[(λ/μ)~(k/2)I_k(2t(λμ~(1/2))+(λ/μ)~((k-1)/2)I_(k+1)(2t(λμ~(1/2))     

Multiple Positive Solutions for Semilinear Elliptic Equations Involving Subcritical Nonlinearities in RN

In this paper, we study how the shape of the graph of a（z） affects on the number of positive solutions of -△v＋μb（z）v=a（z）vp-1＋λh（z）vq-1,inRN.（0.1） We prove for large enough λ,μ〉 0, there exist at least k＋ 1 positive solutions of the this semilinear elliptic equations where 1 ≤ q 〈 2 〈 p 〈 2＊ = 2N/（N-2） forN ≥ 3.     

MULTIPLE SOLUTIONS FOR SCHR(O)DINGER EQUATIONS WITH MAGNETIC FIELD

The authors consider the semilinear SchrSdinger equation
-△Au＋Vλ（x）u= Q（x）｜u｜γ-2u in R^N,
where 1 〈 γ 〈 2＊ and γ≠ 2, Vλ= V^＋ -λV^-. Exploiting the relation between the Nehari manifold and fibrering maps, the existence of nontrivial solutions for the problem is discussed.     

Well-posedness in the energy space for non-linear system of wave equations with critical growth

The authors consider the well-posedness in energy space of the critical non-linear system of wave equations with Hamiltonian structure{utt-△u=-F1（｜u｜^2,｜v｜^2）u,utt-△u=-F2（｜u｜^2,｜v｜^2）u where there exists a function F（λ,μ） such that δF（λ,μ）/δλ=F1（λ,μ）.δF（λ,μ）/δμ=F2（λ,μ） By showing that the energy and dilation identities hold for weak solution under some assumptions on the non-linearities, we prove the global well-posedness in energy space by a similar argument to that for global regularity as shown in ＂Shatah and Struwe＇s paper, Ann. of Math. 138, 503-518 （1993）＂.     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

Analyticity of the sine family with L p -maximal regularity for second order Cauchy problems

If the second order problem u（t） ＋ Bu（t） ＋ Au（t） = f（t）, u（0） =u（0） = 0 has L^p-maximal regularity, 1 〈 p 〈 ∞, the analyticity of the corresponding propagator of the sine type is shown by obtaining the estimates of ‖λ（λ^2 ＋ λB ＋ A）^-1‖ and ‖B（λ^2 ＋ λB ＋ A）^-1‖ for λ∈ C with Reλ 〉 ω, where the constant ω≥ 0.     

脉冲Hematopoiesis模型的概周期解

获得了脉冲Hematopoiesis模型{Q（t）=-c（t）Q（t）-α（t）Q（t）/1＋Q（t）＋β（t）∫^τ0F（u）Q（t-u）/1＋Q（t-u）ds △Q（tk）=αk（t）Q（t）k＋bk（t） 概周期解的存在性与指数稳定性．     

一类带调和势的非线性Schrödinger方程在RN中的整体解存在的门槛

本文考虑一类带调和势的非线性Schrodinger方程iψt=-△ψ+|x|2ψ-μ|ψ|p-1ψ-λ|ψ|q-1ψ,x∈RN,t≥0,其中μ＞0,λ＞0.当N=1,2时,1＜p＜q＜∞;当N≥3时,1＜p＜q＜N+2/N-2.运用精巧的变分方法、势井方法和凸方法,得到了方程的整体解和爆破解存在的门槛.进一步回答了当q＞p＞1+4/N时,方程的Cauchy问题的初值小到什么程度,其整体解存在?.