北京数学奥林匹克学校课堂实录

课　题　 换元法适用年级　初二年级学期　2 0 0 3— 2 0 0 4学年度第一学期　　已知x=(x2 + 3x-2 ) 2 + 3 (x2 + 3x-2 ) -2 ,x2 + 2x-2≠0 ,求x2 + 4x的值 .分析与解答　令　x2 + 3x -2 =t①则　t2 + 3t-2 =x②① -②得(x-t) (x +t) + 3 (x-t) =t-x,∴　x =t或x +t+ 4=0 .x =t时 ,x2 + 3x -2 =x ,x2 + 2x-2 =0不合题意 ,舍 .x+t+ 4=0时 ,x2 + 4x -2 =0 .∴　x2 + 4x =2 .名人名言志不强者智不达———墨　翟老师课堂用题1 .分解因式　 (x2 +x + 1 ) (x2 +x + 2 ) -1 2 .2 .比较A与B的大小 .其中A =3 6892 2 1 3 271 2 43 2 1 0 1 ,　B =3…     

完全平方公式

1.诊断测试师:请大家拿出练习本做几个小题,看谁做得既对又快.计算:(1)(m+n)(m-n);(2)(-2x2 +5)(-2x2 -5);(3)(3+2a)(-3+2a);(4)(-5ab-1)(5ab-1);(5)(a+b)(a+b);(6)(a-b)(a-b).(1.学生做题,教师巡视,个别指导,2分钟后6名学生板书,随时请不同解法或错解的同学板书.     

一道三角函数题的解法

数学老师经常教育我们 :“拿起一道题 ,先自己做 ,不要迷信别人的解法 ,相信自己能想出更好的方法 .”不久前 ,老师讲解一道三角函数题 ,很多同学没做出来 .老师马上提供了一种解法 .例题　证明函数 f(x) =x -sinx在区间(0 ,π2 )内是增函数 .分析　解这道题 ,很自然会想到用定义做 .于是设　 0 相似文献   

对无理函数最值问题的多种解法的探讨

试题 已知函数y=√(3-x)+√x+1的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/4 B.1/2 C.√2/2 D.√3/2此题作为一道选择题,我们容易得出答案为C,但此题同时也是一道典型的形如y=√(ax+b)+√(cx+d)(ac＜0)的求函数最值的题.它是高中数学的一个热点同时也是一个难点.本文研究此题的多种解法,与大家共勉.1 利用二次函数的性质求最值解法1显然y≥0,两边平方的y2 =4+2√(3+2x-x2),移项得y2-4=2√(3+2x-x2).因为x∈[-1,3],所以3+2x-x2 ∈[0,4],.即2√(3+2x-x2)∈[0,4],所以ymax=2√2,ymin=2.解法2由上面变形得到的y2-4=2√(3+2x-x2),两边再平方整理得4x2 -8x+y4-8y2 +4=0.(*)记f(x)=4x2 -8x+y4-8y2 +4,方程(*)在x∈[-1,3]有解.     

分离变量好处多

我是从两道题感受到分离变量的好处的. 题一设A={x|x2-x-2≤0},B={x|x2 +4x+p<0},若A(?)B,求实数p的范围. 起初我是这样解的: 解一由x2-x-2≤0,得-1≤x≤2. 由x2+4x+p<0得     

综合题新编选登

题 94　 已知向量a =(1,1) ,b =(1,0 ) ,c满足a·c =0且 |a| =|c| ,b·c >0 .1)求向量c ;2 )若映射 f :(x ,y)→ (x′ ,y′) =xa + yc,①求映射 f下 (1,2 )的原象 ;②若将 (x ,y)看作点的坐标 ,问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在直线上 ,若存在求出直线l的方程 ,否则说明理由 .解　 1)设c =(m ,n) ,由题意得 :m +n =0 ,m2 +n2 =2 ,m·1+n·1>0解得 m =1,n =- 1.∴c=(1,- 1) .2 )①由题意x(1,1) + y(1,- 1) =(1,2 )得 x + y =1,x -y =2 ,　解得x =32y =- 12∴ (1,2 )的原象是 (32 ,- 12 ) .②假设存在直线l适合题设 …     

试题研讨(13)

题 1　 (2 0 0 3年安徽省春季高考试题 )设α、β为 x2 - x - 1=0的根 ,且α>β,令 cn =αn -βn　 (n∈ N+) .(1)求 c1 ,c2 ,c3 ;(2 )证明 :1α2 n-1 +1α2 n >1c2 n-1 +1c2 n;(3)证明 :∑nk=11ck <α.命题溯源　数列与不等式相结合的题型是高考命题中的一个“热点”,在全国各地的综合测试卷中出现的频率较高 .1998年及2 0 0 2年高考都是以这类题型作为压轴题 ,它能很好的考查学生知识转化为能力的水平层次 .原题思路　 (1)解方程 x2 - x - 1=0得α =1+52 ,　β =1- 52 ,则c1 =α-β=5 ,c2 =α2 -β2 =5 ,c3 =α3 -β3 =2 5 .(2 )易得α+…     

2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

一道希望杯题的思考

<正>第二十二届"希望杯"全国数学邀请赛高一组21题:求函数y=x2-2x+5/2+x2-8x+25/2的最小值,并求出y取得最小值时的x值.此题揭开了代数与几何的一个关系,下面我们一起来探究思考一已知M∈L,A、B两点在L的同侧,求MA+MB的最小值,并求出此时M的坐标.     

On the stability of a mixed functional equation deriving from additive,quadratic and cubic mappings

In this paper, we investigate the general solution and the Hyers–Ulam stability of the following mixed functional equation f(2x + y) + f(2x- y) = 2f(2x) + 2f(x + y) + 2f(x- y)- 4f(x)- f(y)- f(-y)deriving from additive, quadratic and cubic mappings on Banach spaces.     

一道函数题引发的思考

<正>我们学过基本不等式后老师出的一道函数题引发了我的思考,下面是我对这道题的一点感悟.题已知:f(x)=ax²+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x2+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x²+1/2对一切实数x都成立.一般解法假设存在实数a、b、c满足题意.∵f(x)的图像过(-1,0)对一切实数x都成立,     

函数单调性的应用

单调性是函数的一个基本性质 ,该性质有广泛的应用 ,主要用于如下几个方面 :1　比较两个数的大小例 1　比较log2 (x + 1)与log2 ( 2x + 3)的大小 .简析　从题设的两个对数 ,便联想起y =log2 u在 ( 0 ,+∞ )上是单调函数 ,因此只要比较两个真数的大小 ,原题就可获解 .解　由 x + 1>0 ,2x + 3>0 ,解得x >- 1.当x >- 1时 ,有 0 - 1,且x≠ 0 ,n∈N ,n≥ 2 ,求证 :( 1+x) n>1+nx .简析　欲证 ( 1+x) n >1+nx ,需…     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

一个有趣猜想的证明

文[1 ] 提出了下述猜想 :若自然数n使 4n+ 1为质数 ,则有且只有n个不超过 2n的不同的自然数 :k1 ,k2 … ,kn(k′1 ,k′2 ,… ,k′n为相应的不超过 2n的剩余的n个不同的自然数 ) ,使∑ni=1cos2ki- 14n + 1 π=1 + 4n+ 14,∑ni=1cos2k′i- 14n+ 1 π =1 - 4n + 14.本文给出上述猜想的证明并且指出序列k1 ,k2 ,… ,kn 的特性 .记A={x∶x是模p的二次剩余 },B ={x∶x是模p的二次非剩余 }.引理 1　 ( [2 ])设奇素数p≡ 1 (mod4) ,则( 1 ) 1 ,2 ,… ,p- 1中有且只有p - 14个偶数为模p的二次剩余 ,p - 14个奇数为模p的二次剩余 ;( 2 ) 1 ,2 ,… ,p-…     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

两道湖北省预赛题的另解

题1(2011年湖北省预赛第9题)已知二次函数y=f(x)=x2+bx+c的图象过点(1,13),且函数y=f(x-1/2)是偶函数.(1)求f(x)的解析式;     

“反个劲儿”思维解题

在一些数学题中 ,若按常规思路去解答 ,非常复杂 ,有时甚至难以奏效 .采用“反个劲儿”的思维方法求解 ,既省时 ,又简捷 ,常有别开生面之效 .　　 1.不先开方先平方例　计算 3 + 5 + 3 -5的值 .分析　此题常规解法是将原式中两个根式的被开方式先配方后再开方 ,但配方较难 ,采用先求原式平方 ,再求开方值 ,显然简便 .解　设x =3 + 5 + 3 -5 (x >0 ) ,∵　x2 =(3 + 5 + 3 -5 ) 2=6+ 2 (3 + 5 ) (3 -5 )=6+ 2 4=10 ,∴　x =10 .　　 2 .不用正向用逆向例　若a是关于x的方程x2 +bx +a =0的根 ,且a≠ 0 ,求a +b的值 .分析　此题常规解法是将关于…     

恒成立不等式面面观

在高三复习中,我见过很多题目似乎相似,课余加以比较分析,果然有不少发现.题一若|x-(a+1)2/2|≤(a-1)2/2与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A与B,求A∪B=B时a的取值范围.题二已知p:|1-x-1/3|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.     

综合题新编选登

题10 0 　已知集合A={ (x,y) | x2 + y2 - 4x- 14 y+ 4 5 <0 } ,B={ (x,y) | y≥| x- m| + 7} .1)若A∩B≠ ,求m的取值范围;2 )若点Q的坐标为(m,7)且Q∈A,集合A,B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N ,求△QMN的面积的最大值.图1　题10 0图解　1)如图1,当射线y=x - m+ 7(x≥m)与圆(x- 2 ) 2 + (y-7) 2 =8相切时,由| 2 - m+ 7- 7|2= 2 2得m=- 2或m=6(舍去) .当射线y=- x+ m+ 7(x≤m)与圆(x- 2 ) 2 +(y- 7) 2 =8相切时,由| 2 - m- 7+ 7|2=2 2得m=6或m=- 2 (舍去) .图2　题10 0图故所求的m的取值范围是区间(- 2 ,6 ) .2 )显然点Q在圆(…