向量数量积的一些应用

两个非零向量的数量积指的是它们长度的乘积再乘以它们之间夹角的余弦．也就是a·b。｜a｜．｜b｜．cosα,其中α是向量五α万b之间的角．     

向量学习六注意

注意1 要区别向量a与实数a 向量a既有大小又有方向,它的大小就是向量a的模(长度),记作|a|,|a|是一个非负实数.两个向量不可以比较大小.它们之间的关系只能说是相等或不相等,平行或不平行,共线或不共线,a>b或a|b|表示向量a的长度大于向量b的长度.而实数a只有大小,没有方向,两个实数之间可以比较大小.     

对平面向量数量积"性质1"的解读

1平面向量数量积“性质1”[1]的解读设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量e=|bb|,θ是a与e的夹角.则(1)e·a=a·e=|a|cosθ|bb|·a=a·|bb|=|a|cosθ|a·b|b=|a|cosθ(2)|a·b|b=|a|cosθ都表示a在b方向上的射影(课本上称投影.)(3)a在b方向上的射影(投影)的长度d=|a·b|     

例析向量数量积的几何意义的应用

向量作为一种基本工具,在数学解题中有着极其重要的地位与作用,其中向量的数量积是向量中的重中之重,但教材中对于数量积的几何意义只给出了定义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.由此几何意义可看出:b在a方向上的投影为|b|cosθ=|a·a|b.本文讨论向     

巧求数量积,事半却功倍

两个非零向量的数量积的定义如下:a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ=为两向量的夹角.根据定义,在求非零向量的数量积时,既要考虑它们的模又要顾及到它们的夹角.而在一般的几何(非坐标运算)问题中,一般都会优先给出有向线段的模,这使得我们在解决问题时总是先由     

活用|a·b|≤|a|·|b|解题举例

向量不等式|a·b|≤|a|·|b|是向量的一个重要性质,本文例谈它的应用.例1若a,b∈R且a1-b2 b1-a2=1.求证:a2 b2=1.证明记a=(a,b),b=(1-b2,1-a2),由已知条件知a·b=1,又|a|=a2 b2,|b|=2-a2-b2,由|a·b|≤|a||b|得(a2 b2)(2-b2-a2)≥1,化简得(a2 b2-1)2≤0,故a2 b2=1.例2(1957年北     

运用向量的数量积探求无理函数的值域

对于任意两个非零向量a、b,其数量积为:a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉,这个公式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起,为许多问题的解决提供了有效的工具,本文将借助于向量的数量积,探求两类无理函数的值域问题的统一解法.     

例析向量在不等式中的应用

向量作为新增内容进入中学教材,不仅丰富了中学数学知识体系,而且为我们解决问题提供了一种全新的、重要的数学方法.由平面向量扩充到了空间向量,将学生的思维从二维空间一下子升华到了三维甚至多维空间.利用向量的理论和方法可以有效地解决平面几何、立体几何、三角、不等式、复数以及物理学中的诸如力、速度、加速度、位移等许多问题.笔者在此就向量在不等式中的有关应用略作归类,以供读者参考.一、向量基本不等式:|a·b|≤|a||b|的应用下面分平面向量和空间向量进行研究.1.在平面设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2 y1y2,由|a·b|≤|a||b…     

运用向量知识求解函数的最值问题

向量是现行高中新教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志的向量引入中学数学 ,进一步发展和完善了中学数学知识结构体系 ,拓宽了研究和解决数学问题的思维通道 ,也为激发和培养学生的探索精神和创造意识提供了更广泛的途径 .本文将立足于向量这一全新视角 ,探讨运用向量知识求解函数最值的问题 .1　 运用 a .b≤ |a|.|b|,|a.b|≤ |a|.|b|,求函数最值对于两个非零向量 a、b,其数量积 a .b=| a| .| b| cosθ(θ为 a与 b的夹角 ) ,显然 a .b≤| a| .| b| ,| a .b|≤ | a| .| b| .其中前者等号成立的条件是 a =λb　 (λ >0 ) ,后者等号成立的条…     

数量积在解析几何中的应用举例

平面向量的数量积在处理长度、角度、垂直等问题时有独到之处。本文举例如下。例1 已知点(x,y)满足(x-3)2 (y 2)2=25,求6x-8y的最值。解构造向量利用a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|解题。设a=x-3,b=y 2,则a2 b2=25,6x-8y=6a-8b 34,     

数量积几何意义的应用

我们知道,向量是沟通代数与几何的一座天然的桥梁,向量能进行数量积运算是向量应用广泛的一个重要原因.a与b的数量积a.b的几何意义是:a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积,其中θ为a,b的夹角.由于数量积满足分配律,因此,对向量进行数     

2006年上海市高考数学模拟试卷

一、填空题(本大题满分48分)1.若集合M={x|x2 5x=0},N={x||x|≤3},则M∩N=.2.若tgα·cosα<0,且ctgα·sinα>0,则α是第象限角.3.若α、β是方程x2-x 6=0的两个根,则|α|2 |β|2=.4.设a→、b→是平面内的两个向量,若|a→|=|b→|,则(a→ b→)·(a→-b→)=.5.若函数f(x)=sinωx-sinωx 3π(ω>0)的周期是2π,则ω=.6.(理)在极坐标系中,点A2,2p到直线ρcosθ-ρsinθ=0的距离是.(文)圆x2 y2-8x 12=0上一动点到点P(0,3)的距离最大值是.7.(理)若二项式x-1a5的展开式中的第二项等于-20a(a为大于零的常数),则x=.(文)某工程的工序流程图如图(工…     

平面向量数量积的常见应用

平面向量的数量积是一个重点、难点 .学生对平面向量的数量积及其性质的应用 ,往往感到困难、或无从入手 .本文从以下几个方面讲解它的性质及应用 .两个非零向量 a和 b,它们的夹角为θ,把数量 | a| b| cosθ叫做 a和 b的数量积 (或内积 ) ,即 a . b =| a| | b| cosθ.1　数量积 (内积 )定义的直接应用例 1　在△ ABC中 ,AB=c,BC=a,CA= b,求证 :△ ABC为正三角形的充要条件是 :a . b =b . c =c . a.分析　“ ”即充分条件因　 BC =a,CA =b,AB =c,由　 a . b =b . c=c . a,得 a . b =abcos(π - C) ,b . c =cbcos(π - A) ,c . a =cac…     

一道向量数量积题的错解分析

在平面向量的数量积一章节中,我们学到这样一个公式a·b=|a|·|b|cosθ,公式虽然简单.然而能否运用得恰当、合理都是甚为关键的,稍有疏漏,便会出错.以下是对一题错解的例析.     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

向量射影在解题中的应用

a·b=|a|·|b|cos(a,b),称为a和b的数量积,|b|cos(a,b)叫做向量b在向量a方向上的射影(或投影).不论平面向量,还是空间向量,其射影都具有明显的几何意义.向量射影的引进,对解决几何问题提供了一个方便、实用的工具.     

新题征展(37)

A　题组新编1 .a、b是非零向量 .( 1 )若 | a+ b|≥ | a| + | b| ,则 (　 ) ;( 2 )若 | a- b|≥ | a| + | b| ,则 (　 ) ;( 3)若 | a- b|≤ | a| - | b| ,则 (　 ) ;( 4 )若 | a+ b| =| a- b| ,则 (　 ) ;( A) a⊥ b　 ( B) a、b同向 ,且 | a| >| b|( C) a、b反向　 ( D) a、b同向2 .已知两平面α、β成 50°角 ,过空间任意一点 P的直线 l与α、β成等角φ,则( 1 )当φ =90°时 ,l有条 ;( 2 )当φ =6 5°时 ,l有条 ;( 3)当φ =50°时 ,l有条 ;( 4 )当φ =2 5°时 ,l有条 ;( 5)…     

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

从一道试题切入口的探索思考探究性教学

1 问题提出 题目 <普通高中课程标准试验教科书数学必修4>(苏教版)中给出关于向量投影的链接:设a,b是两个非零向量,θ为a,b的夹角,则|b| cos θ叫做向量b在a方向上的投影,它是数量.     

非零向量a、b的夹角为锐角(钝角)的充要条件

设a≠0,b≠0,a、b的夹角为θ(0≤θ≤π),则根据数量积的定义a·b=|a|·|b|·cosθ不难得到:①若θ为锐角,则a·b>0;②若θ为直角,则a·b=0;③若θ为钝角,则a·b<0,这三条结论大家足熟悉的.对这三条结沦作逆向思考,即它们的逆命题是否成立呢?先看以下两个问题:……