有限几何与不完全区组设计的构作(Ⅰ)——有限域士辛几何中的若干计数定理

<正> §1.引言以 F_q 表 q 个元素的有限域,q 是一个素数的冪.考察 F_q 上所有 n 数组(x_1,x_2,…,x_n),x_i∈F_q,i=1,2,…,n,所组成的 n 维向量空间 V_n(F_q).V_n(F_q)的任—m 维子空间 P(1≤m≤n)都可以用一个秩为 m 的 m×n 矩阵来代表,只要这个矩阵的 m 个行向量组成 P 的一组基.我们把代表这个子空间 P 的矩阵仍记作 P.自然两个秩为 m 的m×n 矩阵 P 和 Q 代表同一子空间,当且仅当有 m×m 非奇异矩阵 A 存在使得 P=AQ.以下设 n=2ν是偶数,并考察 F_q 上的2ν×2ν的非奇异交错矩阵     

有限几何与不完全区组设计的构作(VI)利用有限域上向量空间的子空间而构作的多个结合类的结合方案

1.引言设F_q是q个元素的有限域,q是一个素数的幂。以v_n(F_q)表由所有n维行向量的全体所组成的F_q上的n维向量空间。v_n(F_q)上作用着n级一般线性群GL_n(F_q),它由F_q上所有n×n 非奇异矩阵组成。v_n(F_q)的一个m维子空间P可用一个秩为m的m×n矩阵来表示,只要这个矩阵的m个行向量组成P的一组基。我们常用同一字母P来代表表示一个子空间P的矩阵。当然同一子空间可用不同的矩阵P和Q表示,只要有     

奇异伪辛群作用下子空间轨道的长度

设F_q是q个元素的有限域,q是2的幂,F_q~(2ν+δ+l)是F_q上2ν+δ+l维行向量空间,Ps_(2ν+δ+l,2ν+δ)(F_q)是F_q上级数为2ν+δ+l而秩为2ν+δ的伪辛群.F_q~(2ν+δ+l)在Ps_(2ν+δ+l,2ν+δ)(F_q)的作用下划分成一些子空间轨道Μ(m,2s+τ,s,∈,k;2ν+δ,2ν+δ).采用矩阵初等行变换的方法,给出轨道Μ(m,2s+τ,s,∈,k;2ν+δ,2ν+ε)的长度.     

奇特征域上的全正交图的自同态群（英文）

令F_q~n是奇特征有限域F_q上的n维行向量空间,S_n是F_q上任一n阶非奇异对称矩阵.S_n上的全正交图O(S_n,q)的顶点为F _q~n上的任一一维子空间,图中两顶点相邻当且仅当它们所对应的子空间[α]与[β]满足αS_(nβ)~T≠0.本文刻画了O(S_n,q)的自同态群,证明当n为偶数时,其顶点集有两个轨道;当n为奇数时,其顶点集有三个轨道.     

用组合方法证明Gaussian系数恒等式

设F_q是q个元素的有限域,其中q是素数的幂,F_q~n是F_q上n维向量空间,用[n/m]_q表示Gaussian系数,它可看作为F_q~n的m维子空间的个数.用组合方法证明了几个Gaussian系数恒等式.     

奇异奇特征正交几何中的几个计数定理

设F_q是奇特征的q元有限域,F_q~(2v+δ+l)是F_q上的2v+δ+l维行向量空间,O_(2v+δ+l,△)(F_q)是奇特征有限域F_q上的正交群.F_q~(2v+δ+l)在O_(2v+δ+l,△)(F_q)作用下,导出了它在F_q~(2v+δ+l)的子空间集合上的作用,因而F_q~(2v+δ+l)在O_(2v+δ+l,△)(F_q)的作用下划分成一些轨道M(m,2s+γ,8,Γ,k;2v+δ,△).采用正交群O_(2v+δ+l,△)(F_q)作用在F_q~(2v+δ)上子空间轨道长度的公式,并且利用矩阵初等行变换的方法,给出M(m,2s+γ,s,Γ,k;2u+δ,△)的长度公式,由此给出(m,2s+γ,8,Γ)型子空间和(m,2s+T,k)子空间的计数.     

利用有限域上向量空间的子空间构作PBIB设计

设q是一个素数幂,F_q是有q个元素的有限域,V_n(F_q)表示F_q上的n维向量空间。在文献[1],[2]中,利用V_n(F_q)中m维子空间作处理构作了一个具有min{m,n-m}个结合类的结合方案和一些PBIB设计。本文先给出一般线性群GL_n(F_q)的一个新的可迁性定理和有关子空间的一个新的计数定理,然后构作了一类广泛的新设计,以[2]中第6章的定理8、9、10为其特例。     

仿射辛群作用下的面轨道生成的格

设ASU(2v,F_q)是F_q上的2v维仿射辛空间,ASp_(2v)(F_q)是F_q上的2v次仿射辛群,设M(m,s)是ASp_(2v)(F_q)作用下的(m,s)面的轨道,用L(m,s)表示M(m,s)中面的交生成的集合.讨论了各轨道生成的集合之间的包含关系,一个面是由给定M(m,s)生成的集合中的一个元素的条件,以及L(m,s)何时做成几何格.     

随机线性规划目标函数的微分稳定性

这里,W为完备补偿矩阵,维数为m×n_1,b(ω)为m维随机向量,q(ω)为n_1维随机向量,T(ω)为m×n随机矩阵。在q,b,T的二次可积条件下,Q(x,ζ)处处有限。设随机向量ε=(q,b,T)取的值(q,b,T)所在空间为R~(l=m n_1 m×n),ζ定义在概率空间(Ω,(?),P)上。     

交错矩阵几何

<正> 设 F 是一个任意域.F 上 n 阶矩阵 K 叫作交错的,是指对任何一个 F 上的 n 维向量x 全有 xKx′=0.F 上 n 阶交错矩阵全体称为 F 上的 n 阶交错矩阵的仿射空间,以(?)记之.F 上任意一个交错矩阵叫作(?)中的点.(?)中两点 K 与 L 叫作粘切是指 K—L 的秩为2.显然,(?)中形如(?)     

两个新高斯系数恒等式的证明

设F_q是q个元素的有限域,其中q是素数的幂,利用有限域F_q上n维向量空间F_q~((n))中子空间的几何意义及其计数公式证明了两个新的高斯系数恒等式.     

有限几何与不完全区组设计的构作(Ⅳ)特征≠2的有限域上的正交几何中的计数定理

<正> §1.V_n(F_q)的子空间对于正交群 O_n(F_q)的分类.以 F_q 表 q 个元素的有限域,而 q 是一个奇素数的冪.我们知道,F_q 上 n 阶可逆对称矩阵,当n为偶数时,必合同于■其中■是定号方阵,即     

关于3—PBIB设计的构造

在本文中,我们利用V_n(F_q)中包含一个给定的m维子空间的m 1维子空间作为处理,以F_q上n×n非奇异交错矩阵的等价类作为区组,或以F_q~2上n×n非奇异Hermite矩阵的等价类作为区组,构作了一系列3-PBIB设计,并计算了它们的参数。     

关于欧氏空间正交变换的存在性问题

给出无限维欧氏空间上正交变换存在性问题的两个结论:设V1,V2是欧氏空间V的两个有限维子空间,且dimV1=dimV2,则存在V的正交变换σ,使得σ(V1)=V2;设α1,α2,…,αr和β1,β2,…,βr为欧氏空间V中两个向量组,则存在V的正交变换σ,使得σ(αi)=βi(i=1,2,…,r)的充要条件是(αi,αj)=(βi,βj)(i,j=1,2,…,r).     

利用奇异辛空间中部分(2,0,1)型子空间构作的结合方案

设F_q~(2v+1)是有限域F_q上(2v+l)维的奇异辛空间.设K是F_q~(2v+l)上的一个固定的极大全迷向子空间,且Ω是不包含在K中的所有(1,0,0)型子空间构成的集合.本文利用所有包含Ω中的一个子空间的(2,0,1)型子空间构作了一类结合方案,并计算出这类结合方案的所有交叉数.     

基于有限辛空间的一致偏序集和Leonard对

设F_q为q个元素的有限域,q是一个素数的幂.令F_q~((2v))是F_q上的2v维辛空间,M(m,s;2v)表示辛群作用在F_q~((2v))上的子空间的轨道.L(m,s;2v)是M(m,s;2v)的子空间生成的集合.若按照子空间的包含关系来规定L(m,s;2v)的序,则得一偏序集,记为L_O(m,s;2v).本文,首先构造了L(m,s;2v)上的子偏序集L_O(m,s;2v),然后证明这个子偏序集是强一致偏序的.最后利用这个偏序集构造了Leonard对.     

E^n中P维与q维平面间的夹角公式

本文将柯西不等式进一步推广为[α_1β,…,α_mβ][α_iα_j]~(-1)[α_1β,…,α_mβ]~T+(|α∧|β~2)/(|α|~2)≤β~2其中β=b_1∧…∧b_q,q≤p≤n,α_i 是从 p 个向量α_1,…,α_p 中任取 q 个作成的 q 重向量,m=c_p~q.接着给出了 n 维欧氏空间 E~n 中 p 维与 q 维平面间的夹角公式:cos~2θ=[α_1β,…,α_mθ][α_iα_j]~(-1)[α_1β,…,α_mβ]~T/β~2用它导出了 n-1维球面型空间 S_(n-1,1)中关于单形(顶点 P_n 到对面上)的高 h_n 的公式.     

5阶图的结构完全正

1 简 介称n阶双非负矩阵,即非负半正定矩阵A为完全正的,如果A可分解为BBt,其中B是n×m的非负矩阵.或等价地,有n维非负向量β1,β2,…,βm使得A=β1β1t+…+βmβmt,B的可能最小的列数m称为A的分解指数（或A的CP秩）,记作 ψ（A）（或CPrankA）.记DPn为所有n阶双非负矩阵构成的集合;CPn为所有n阶完全正矩阵构成的集合.判断一个双非负矩阵是否为完全正以及确定它的分解指数是完全正矩阵研究的两个基本问题.对完全正矩阵的研究始于本世纪六十年代初,它的应用非常广泛,涉及组合设计     

三次幻方的构作

给出2k维m阶t次幻方及m模方阵,m模列满秩矩阵,模线,m经典模线集和t次m模基因阵的概念,并用矩阵法和组合法初步研究了t次幻方特别是三次幻方的构作.证明:(i)若存在2k阶t次m模基因阵,则存在2k维m阶t次幻方;(ii)若N=P1α1P2α2…PSαS为N的标准分解式,iα≥3,Piiα≥16(1≤i≤S),则存在二维N阶三次幻方;(iii)若存在二维偶m阶2t+1次幻方和二维n阶2t次幻方,则存在二维mn阶2t+1次幻方;(iv)若存在二维m阶和n阶t次幻方,则存在二维mn阶t次幻方;(v)当t≥3时,不存在二维单偶数阶t次幻方.     

子空间的交的基与维数的一种确定方法

设V是数域F上n维线性空间,V_1与V_2是它的两个子空间,且 V_1=L(α_1,α_2,…,α_r) V_2=L(β_1,β_2,…,β_s) 于是 V_1 V_2=L(α_1,…,α_r,β_1,…,β_s)故α_1,α_2,…,α_r,β_1,β_2,…,β_s的一个极大线性无关组就是子空间V_1 V_2的一个基,而且 dim(V_1 V_2)=秩(α_1,…,α_r,β_1,…,β_s) 这些都是容易确定的。可以利用矩阵的初等变换方法求得。在一般的高等代数或线性代数的