数列不等式证明的基本思路

<正>论证数列不等式是历年高考的热点,由于它们具有"知识上的综合性、题型上的新颖性、方法上的灵活性和数学思维方式上的抽象性"等特点,同学们往往感到解答有一定的难度.其实,在证明数列不等式时结合问题的特点,从知识的整体性、方法的通用性和变换的合理性着眼,在知识网络的交汇点寻求联系,在问题的等价变换中寻求突破,即可使问题得以解决.下面举一例说明:     

2014年自主招生试题中的不等式问题赏析

不等式是中学数学的重要内容,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是高中数学竞赛和自主招生考查的重点知识.自主招生中的不等式试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力,其中一些试题的综合性较强,内容涉及到函数、方程、数列、三角、解析几何、向量、复数、线性规划、实际问题等．不等式的概念和性质是进行不等式的变换、证明不等式的依据．在证明不等式时，也要注意均值、柯西不等式、琴生不等式等重要不等式的灵活运用．     

加强命题证明数列不等式问题的探讨

由于数列不等式与正整数有关,所以,“数学归纳法”成为数列不等式证明的首选方法．但是,一些数列不等式题直接用“数学归纳法”却行不通,而需要先对其进行放缩以证明它的“加强不等式”,它是证明数列不等式问题的一种有效方法．这时解决问题的关键是构造“加强不等式”,构造“加强不等式”是件不容易做好的事情．为此,本文对加强命题证明数列不等式问题从哪里“强”、如何“强”、“强”到什么程度作一些探讨．     

高考专题复习系列讲座（4）——不等式

1．考点透视 不等式是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，也是高考的考查重点，不仅考查有关不等式的基本知识、技能和方法，而且注重考查逻辑推理能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力．近几年的高考中，单独考查不等式的试题越来越少，不等式与其他知识的综合交汇题成为热点．从内容上看，选择题和填空题主要考查实数大小的比较、不等式的基本性质、不等式的解法、重要不等式的应用、求含参变量问题中参数的取值范围、求函数的最值等；解答题主要是不等式与函数、数列、三角、向量、解析几何、概率等知识的综合题，考查解不等式、证明不等式的基本方法，讨论含参数的方程与不等式，研究数列的性质或者解决实际应用问题．     

不等式的解法

考点评析不等式的解法仍是高考命题的热点之一 ,不等式的有关内容仍将在函数、数列、几何、实际应用等有关的综合题中考查 .1.1　知识点剖析在熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式的解法基础上初步掌握其他一些简单的不等式的解法 ,如高次不等式、分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式的求解 ,一般是将它们进行同解变换 (即等价变换 )化为一元一次不等式 (组 )或一元二次不等式 (组 )后而得其解 .要注意对含字母系数的不等式须经讨论求解的问题 .1.2　思想方法化 (无理 )为有理 ,化 (分式 )为整式…     

数列不等式证明的几种策略

数列不等式的证明历来是高考数学命题的热点及重点,并且往往出现在压轴题的位置上,扮演着调控整卷区分度的角色,而数列不等式的证明又是难点.由于数列不等式与自然数有关,所以,“数学归纳法”成为数列不等式证明的首选方法;但是,一些数列不等式题,如2006年高考数学江西卷理科第     

由递推关系求数列通项的方法与策略

数列知识是高考的重点考查对象，多与函数、方程、不等式、二项式定理等知识联系在一起，解决该类问题往往要先确定数列的通项．由递推关系确定数列的通项主要由生成、转化和叠代等思想方法来处理，本文就近几年高考题中常涉及到的通项求法予以归纳和总结，以供参考．     

数列不等式证明方法归类分析

数列不等式是含有数列的通项an或前n项和Sn的不等式.在近年来的全国各地高考数学试题中,数列不等式证明问题多次出现,已经成为全国高考数学命题所特别关注的焦点.数列不等式处于数列与不等式知识的交汇点,通常呈现递推形式.数列不等式的证明问题,所涉及的知识点较多,是综合性较强、灵活性较高、难度较大的数学证明问题.     

一题·一类·一法——一堂自主招生辅导课引起的思考

数列的通项与求和是自主招生考试命题“感兴趣”的内容．数列在自主招生中出现的知识背景、表现形式（如有理数形式、无理数形式、阶乘形式等等）很丰富,它还常常和不等式的背景融合在一起．因此,探究这一类题目的命题的思路,即将数列的求和与不等式证明的技巧渗透在一起,这时,解决此类题目的思路和方法也就“水到渠成”了．     

放缩法证明数列不等式的若干策略

在高三数学试题中,往往遇到有关数列不等式的证明,因这类题目涉及知识点多,综合性强,具有良好的区分度,可有效考查学生分析问题、解决问题的能力,而倍受命题人青睐．对学生而言遇到这类问题往往不知所措．不能联想到用我们所学的不等式知识解决,而造成思维受阻．因此,笔者总结归纳了几种放缩法证明不等式的策略．     

含参数的不等式恒成立问题

含参数的不等式恒成立问题是一种常见的重要题型,在近些年的高考中频频出现．由于这类问题综合性强、难度大、要求高,常和函数、数列、不等式、及导数等诸多知识挂钩,学生往往感觉比较困难,不能灵活应对和驾驭．结合几个例题来说明含参数的不等式恒成立问题的几种常见解法．     

数列

1 本单元重点、难点分析数列与函数、不等式等知识有着密切的联系．在生产、生活中有着广泛的应用．     

“取倒数”在数列型不等式问题中的妙用

数列型不等式．综合了数列与不等式的内容，因而内涵丰富，故成为高考的热点和难点．对这类问题的处理常采取放缩、利用数列的单调性等技巧，而取一个数（式）的倒数在这类问题中却有着独特的作用，可谓“小技巧，办大事”．下面举例说明“取倒数”技巧的妙用．     

构造单调数列证明一类不等式

文[1]介绍了证明与自然数有关的一类不等式的方法——构造数列证明不等式．经笔者研究，发现此类不等式可用构造单调数列，利用数列的单调性予以证明，此法简便，易于操作．     

一类数列不等式的证明方法

与数列有关的不等式证明题,一直是高考的热点,也是学生学习的难点．本文通过对两道试题的解法探究,介绍证明这类数列不等式的方法和策略,供大家参考。     

宏观上把握,微观上调整

不等式是高中数学中的一块重要内容,也是教学的难点之一,学生在学习时普遍感觉难以把握,特别是和数列等知识模块的结合,更增加了其难度,往往这样的问题就会使得学生望而却步.那么数列不等式问题真的是难以解决,不可捉摸吗?其实,究其本质,勤于研究还是可以发现数列不等式问题也是有一定规律可循的.首先我们要看到不等式是等式的衍生,等式是一个恒等变形,不等式可以说是一个近似变形,有误差的非恒等变形.在解决数列不等式问题时放缩法是一种行之有效的方法,也是非常难以掌握的方法之一,有些放缩变形非常巧妙,看似出现得非常"突兀",好像是"横空出世",没有任何的先兆和逻辑路径.但是只要在宏观上把握,微观上调     

一个函数不等式“繁殖”出来的数列不等式“蘑菇群”

数列不等式的证明是高考数学中常见的难点问题，传统的证法中大都局限在放缩法、数学归纳法等，新教材将导数引入之后为某些数列不等式的证明开辟了一条全新的途径．     

浅议构造法证明不等式

所谓构造法，就是依据题目自身的特点，通过构造辅助函数，基本不等式，数列，几何图形等辅助工具，铺路架桥，促进转化，从而达到证明不等式目的的一种方法，在证明不等式的过程中应用构造思想，能使我们开阔思路，并运用更多的知识为我们证明不等式服务，本文撷取几例，归纳说明．     

一道数列不等式证明的“放缩”探究

近年来高考数列解答题中,常与不等式证明交汇作为压轴题命题,这类问题既需要证明不等式的基本思路和方法,又要结合数列本身的结构和特点,有着较强的技巧性,能综合考查学生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力,因此有关数列不等式的证明就是一个常考不衰的话题.特别值得一提的是,高考中用"放缩法"证明数列不等式的频率很高,它可以和很多     

一类数列不等式证明的新思路

数列不等式如果一边是和或者积的形式,常用放缩法或者数学归纳法来证明．但是放缩法技巧性较强,学生难于把握;而数学归纳法操作上比较机械,学生熟悉方法后对优化思维无太大好处．这里介绍另外一种证明此类不等式的思路．