Winkler地基上各向异性薄板弯曲的精确解-广义积分变换解

外界载荷作用下复合材料薄板的弯曲行为是工程重点关注的问题之一。针对各向同性和正交各向异性的薄板弯曲问题,研究人员已给出了经典数值解。由于计算的复杂性,针对各向异性薄板弯曲问题的解答较少。本文从薄板弯曲问题的控制方程出发,建立符合该问题的辅助特征方程,并确定相应的特征值和特征函数。利用广义积分变换的思想,建立了求解非正交铺层条件下各向异性薄板弯曲问题的数值算法,给出了各向异性薄板弯曲的精确解。与其他文献结果比较发现,该方法具有较好的收敛性和准确性。     

广义有限差分法求解Kirchhoff和Winkler薄板弯曲问题

本文将广义有限差分法用于数值计算Kirchhoff板和Winkler板的弯曲问题.广义有限差分法是基于最小二乘原理的一种区域型无网格方法. 相比于传统的网格类数值解法,广义有限差分法无需网格生成且无需数值积分.通过数值实验结果表明,广义有限差分法可以有效地求解两类薄板在不同横向荷载作用下的弯曲问题.     

变厚度板弯曲的边界元分析法

由于变厚度板弯曲问题的控制分方程复杂，直接求解其基本解推导边界积分方程建立边界元分析法较为困难，本文通过引入等效荷载，等效刚度，将此问题的控制微分方程化成与普通薄板弯曲问题基本方程相同的形式，利用求解通板弯曲问题的边界元迭代求解，建立了分析变厚度板弯曲问题的蛤法，算例表明本方法理正确，精度良好。     

矩形薄板弯曲问题的二维广义有限积分变换法

运用二维广义有限积分变换解法，本文推导出不同边界条件下矩形薄板弯曲问题的解析解．在推导过程中，选取满足边界条件的梁振型函数为广义积分变换的积分核，由此构造出广义有限积分变换对，通过对薄板弯曲问题的控制方程进行二维广义积分变换，可以将控制方程转换为易于求解的线性代数方程组．该方法无需预先选取位移函数，无需进行繁琐的叠加过程，求解过程思路清晰，说明该方法更加正确合理．最后通过计算实例对比，验证了该方法的合理性及所推导公式的正确性．     

薄板动态热耦合弯曲问题的拉普拉斯变换有限元法

以薄板动力热耦合弯曲问题的变分原理为基础，提出了一种解决该问题的拉普拉斯变换有限元法，该方法在拉氏域内建立和求解有限元方程，再将结果数值逆变换至时域，得到各给定时刻的解答，周边绝热简支方板的热冲击问题算例说明方法是成功的，该方法为研究薄板此类问题的可能性，其计算结果可供工程设计参考。     

薄板弯曲问题的神经网络方法

为发展神经网络方法在求解薄板弯曲问题中的应用,基于Kirchhoff板理论,提出一种采用全连接层求解薄板弯曲四阶偏微分控制方程的神经网络方法。首先在求解域、边界中随机生成数据点作为神经网络输入层的参数,由前向传播系统求出预测解;其次计算预测解在域内及边界处的误差,利用反向传播系统优化神经网络系统的计算参数;最后,不断训练神经网络使误差收敛,从而得到薄板弯曲的挠度精确解。以不同边界、荷载条件的三角形、椭圆形、矩形薄板为例,利用所提方法求解其偏微分方程,与理论解或有限元解对比,讨论了影响神经网络方法收敛的因素。研究表明,本文方法对求解薄板弯曲问题的四阶偏微分控制方程具有一定的适应性,其收敛性受多种条件影响。相比有限元,该方法收敛速度较慢,在复杂的边界条件下收敛性不佳,然而其不基于变分原理,无需计算刚度矩阵,便可获得较高的计算精度。     

薄板弯曲分析的高阶高效无网格法

与传统有限元法相比,无网格法具有节点形函数高度光滑、易于形成高阶近似等优势,更适合于以薄板弯曲问题为代表的高阶偏微分方程的数值求解。然而,高阶无网格法的形函数是非多项式的有理函数,导致弱形式的区域积分难以得到精确计算,通常采用的高阶高斯积分方法需使用大量积分点,计算效率低且精度不高。本文针对薄板弯曲问题的高阶（三阶）无网格法分析,首次发展了与该高阶近似相一致的曲率光顺方案,并基于背景三角形积分单元建立了相应的数值积分格式,大幅度减少了所需的积分点数目。所发展方法的关键在于计算刚度阵所需的形函数的二阶导数由形函数及其一阶导数通过散度定理确定,而非对形函数直接求导获得。数值结果表明,基于标准的高斯积分方案的高阶无网格法精度不高,不能精确再现纯弯曲和线性弯曲模式,且得到的弯矩场分布存在严重的虚假数值振荡。而本文所建议的基于曲率光顺方案的高阶无网格法能够方便高效地求解薄板弯曲问题,尤其是它能精确反映纯弯曲和线性弯曲模式。与标准的高斯积分方法和目前主流的常曲率光顺方法相比,本文方法在计算效率、精度、弯矩分布等方面均展现出显著优势,因而具有较好的应用价值。     

变厚度圆环板/圆板横向自由振动的动刚度法求解

分别基于经典薄板理论和一阶剪切理论研究了沿半径方向变厚度的圆板及圆环板的横向自由振动,将结构离散为若干个等厚度同心圆环单元,在得出圆环单元的精确解后,通过动刚度法组装单元。应用该方法将变厚度圆板退化至等厚度板,与解析解对比验证了计算方法的正确性;用于计算线性或非线性变厚度板,也能与有限元三维解吻合。计算结果表明:基于一阶剪切理论和薄板理论的动刚度法计算等厚度薄板的振动均能取得与解析解完全吻合的数值解;而计算变厚度薄板时则采用基于一阶剪切理论的动刚度法更准确;与有限元法相比,本文采用的动刚度法划分单元少,具有较高的计算效率,尤其在工程中的大型板结构振动方面有较好的应用前景。     

斜磁场中矩形铁磁薄板的几何非线性磁弹性行为分析

基于复杂磁场中铁磁介质磁弹性广义变分原理,给出了包含磁场、铁磁薄板几何非线性的一组基本方程,并对斜磁场中铁磁薄板的磁弹性弯曲问题进行了分析．根据铁磁板内磁场分布特点定性分析了铁磁薄板所受磁力的特征,建立了考虑铁磁板磁场端部效应以及耦合非线性、几何非线性的磁弹性有限元模型,数值模拟了铁磁薄板的磁弹性耦合弯曲特性并给出铁磁悬臂、简支薄板随磁场倾角变化的磁弹性弯曲变形特征等,数值结果与定性分析结果吻合良好．     

面内变刚度薄板弯曲问题的挠度?弯矩耦合神经网络方法

发展了一种求解面内变刚度功能梯度薄板弯曲问题的神经网络方法. 面内变刚度薄板弯曲问题的偏微分控制方程为一复杂的4阶偏微分方程, 传统的基于强形式的神经网络解法在求解该偏微分方程时可能会遇到难以收敛、边界条件难以处理的情况. 本文基于Kirchhoff薄板弯曲理论, 提出了一种直角坐标系下任意面内变刚度薄板弯曲问题的神经网络解法. 神经网络模型包含挠度网络与弯矩网络, 分别用于预测薄板的挠度与弯矩, 从而将求解4阶偏微分方程转换为求解一系列二阶偏微分方程组, 通过对挠度、弯矩试函数的构造可使得神经网络计算结果严格满足边界条件. 在误差的反向传播中, 根据本文提出的误差函数公式计算训练误差并结合Adam优化算法更新模型的内部参数. 求解了不同边界条件、形状的面内变刚度薄板弯曲问题, 并将所得计算结果与理论解、有限元解进行对比. 研究表明, 本文模型对于求解面内变刚度薄板弯曲问题具备适应性, 虽然模型中的弯矩网络收敛较挠度网络要慢, 但本文方法在试函数的构造上更为简单、适应性更强.      

A refined finite element method for bending analysis of laminated plates integrated with piezoelectric fiber-reinforced composite actuators

This research presents a finite element formulation based on four-variable refined plate theory for bending analysis of cross-ply and angle-ply laminated composite plates integrated with a piezoelectric fiber-reinforced composite actuator under electromechanical loading. The four-variable refined plate theory is a simple and efficient higher-order shear deformation theory, which predicts parabolic variation of transverse shear stresses across the plate thickness and satisfies zero traction conditions on the plate free surfaces. The weak form of governing equations is derived using the principle of minimum potential energy, and a 4-node non-conforming rectangular plate element with 8 degrees of freedom per node is introduced for discretizing the domain. Several benchmark problems are solved by the developed MATLAB code and the obtained results are compared with those from exact and other numerical solutions, showing good agreement.     

Viscoplastic dynamics of isotropic plates of variable thickness under explosive loading

A problem of viscoplastic dynamic bending of isotropic plates of variable thickness is formulated. A method for integrating the initial-boundary problem is developed. Numerical results are compared with a known analytical solution obtained within a rigid-plastic model; good agreement is demonstrated. The efficiency of the method developed is verified by numerical computations. It is shown that the final flexure of plates can be reduced severalfold by applying rational design. __________ Translated from Prikladnaya Mekhanika i Tekhnicheskaya Fizika, Vol. 48, No. 2, pp. 123–134, March–April, 2007.     

Three-dimensional elasticity solutions for bending of generally supported thick functionally graded plates

Three-dimensional elasticity solutions for static bending of thick functionally graded plates are presented using a hybrid semi-analytical approach-the state-space based differential quadrature method （SSDQM）. The plate is generally supported at four edges for which the two-way differential quadrature method is used to solve the in-plane variations of the stress and displacement fields numerically. An approximate laminate model （ALM） is exploited to reduce the inhomogeneous plate into a multi-layered laminate, thus applying the state space method to solve analytically in the thickness direction. Both the convergence properties of SSDQM and ALM are examined. The SSDQM is validated by comparing the numerical results with the exact solutions reported in the literature. As an example, the Mori-Tanaka model is used to predict the effective bulk and shear moduli. Effects of gradient index and aspect ratios on the bending behavior of functionally graded thick plates are investigated.     

复合材料正交加筋板在横向载荷下挠度计算的半解析法

本文采用一种新的半解析法,即独特利用Heaviside函数建立与加筋板等效的变刚度模型来开展复合材料双向正交加筋板在横向载荷下的弯曲挠度分析．此模型可以准确地描述筋条在板面上的分布,以及由于筋条的存在而导致的板面刚度不均匀分布．使用Galerkin加权残值法求解该模型的控制方程,得到不同边界条件和载荷情况下的级数解．对于双向正交加筋板,将此半解析法的结果与传统均匀化方法和使用商业有限元软件ABAQUS建立的有限元模型所得到的弯曲挠度结果比较,验证了此方法的准确性和优越性．不同于传统均匀化方法,本双向正交加筋板的弯曲挠度半解析法可精确、有效地获取加筋间的局部弯曲挠度,可以促进复合材料结构的设计分析与优化的研究进展．     

四角点支承四边自由矩形薄板屈曲问题的新解析解

角点支承矩形薄板的屈曲问题是板壳力学的一类重要课题，控制方程和边界条件的复杂性导致寻求该类问题的解析解十分困难。虽然各类近似/数值方法可用于解决此类难题，但作为基准的精确解析解在公开文献中鲜有报道。本文基于近年来提出的辛叠加方法，解析求解了四角点支承四边自由矩形薄板的屈曲问题。首先将问题拆分为两个子问题，接着利用分离变量与辛本征展开推导出子问题的解析解，最后通过叠加获得原问题的解。由于求解过程从基本控制方程出发，逐步严格推导，无需假定解的形式，因此本文解法是一种理性的解析方法。数值算例给出了不同长宽比和不同面内载荷比情况下，四角点支承四边自由矩形薄板的屈曲载荷和典型屈曲模态，并经有限元方法验证，确认了解析解的正确性。     

Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load—Part I: Analysis

An elastic, rectangular, and simply supported, functionally graded material (FGM) plate of medium thickness subjected to transverse loading has been investigated. The Poisson’s ratios of the FGM plates are assumed to be constant, but their Young’s moduli vary continuously throughout the thickness direction according to the volume fraction of constituents defined by power-law, sigmoid, or exponential function. Based on the classical plate theory and Fourier series expansion, the series solutions of power-law FGM (simply called P-FGM), sigmoid FGM (S-FGM), and exponential FGM (E-FGM) plates are obtained. The analytical solutions of P-, S- and E-FGM plates are proved by the numerical results of finite element method. The closed-form solutions illustrated by Fourier series expression are given in Part I of this paper. The closed-form and finite element solutions are compared and discussed in Part II of this paper. Results reveal that the formulations of the solutions of FGM plates and homogeneous plates are similar, except the bending stiffness of plates. The bending stiffness of a homogeneous plate is Eh³/12(1 − ν²), while the expressions of the bending stiffness of FGM plates are more complicated combination of material properties.     

含孔von Karman板中非线性波散射与边值问题

基于ｖｏｎ Ｋａｒｍａｎ板大挠度弯曲理论,利用小参数摄动法,分析研究了含孔ｖｏｎＫａｒｍａｎ板的非线性波散射与动应力集中问题,其中一类可看成是薄板弯曲波动问题的控制方程。当有单频波入射时,由于弯曲应力与膜应力状态的非线性耦合,孔洞会产生高次谐波散射现象。建立了求解本问题的边界积分方程法,利用积分方程法交替求求这两类问题,最终可获得问题的近似分析解。