张景中院士讲数学

三角形与圆几何图形中只有直线,多少显得单调.一旦出现了圆,就更加生动活泼,丰富多彩了.圆的性质很多,其中最重要的一条,是圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,它们都等于同弧所对的圆心角的一半.     

用“四点共圆”解题几例

<正>"在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等",这条重要的定理为我们提供了证明线段相等或角相等的一种思路和方法.鉴于此,对于满足四点共圆条件的四边形,如果我们能构造出它的辅助圆,就可以利用前面提到的思路和方法,证明线段相等或角相等.四点共圆判定定理1如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.     

例谈圆的一性质在解题中的妙用

<正>"已知三角形中的一条边和该边所对的角,求与该三角形相关的长度或者面积的最值",这种类型的题,在模拟题中屡屡出现,一般这种题常用统一"边化角"方法来处理,但是计算过程比较繁琐.本文另辟蹊径,利用初中学过的圆的性质"同弧所对的圆周角相等"来构造三角形的外接圆,使已知边为圆的一条弦,该弦所对的圆周角为已知角,这样三角形的另一个顶点就落在圆周上,这就可以利用圆的性质来解决了.并且解题过程相当简洁,下面举例     

圆的有关性质

中考要求 1.理解圆及其有关概念,了解弧、弦及圆心角之间的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 2.探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. 考点1 轴对称(垂径定理及推论) 考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点3圆周角的定理及推论 考点4圆内接四边形的性质     

巧借圆 妙解题

<正>圆是几何图形中最规范,也是最完美的一种,圆具有许多很好的性质,解题时若能根据题意构造辅助圆,则可收到避繁就简的效果,更给人一种思路清晰,思维流畅的感觉.借助辅助圆解题时,要明确以下几方面的知识.1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心,定长为半径的圆.2.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.3.直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

初中数学一题多解教学例谈

在讲评试卷分析这题的解题思路时,笔者请班上的一位成绩较好的同学来分析．他从“直径所对的圆周角是直角”以及“同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角相等”这两个知识点出发,     

数学素质教育课堂教学设计说明——以初中几何中的“弦切角”为例

课题课题是一节课的核心，是教学内容的高度概括．处理好课题是上好一节课的起点．弦切角的地位和作用弦切角是直线与圆处于特殊位置关系下产生的，它是继圆周角后又一个重要内容．弦切角沟通了圆周角与圆心角，使不同性质的三种角建立了内在联系，它为相交弦定理、切割线...     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题 圆的基本性质适用年级 初中三年级学期2004～2005学年度第一学期训练目的 1.熟练掌握垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆周角的有关定理,圆内接四边形性质定理等圆的一些基本性质. 2.培养学生灵活的数学思维和分析问题的能力.     

谈谈“垂径定理”的学习

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理 ,它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据 ,也是学好本章的基础 .在学习中要注意以下几点 :一 .圆的轴对称性是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折 ,直径两边的两个半圆就会重合在一起 .因此 ,课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折 ,直径两侧的两个半圆能重合这事实 ,指出圆是轴对称图形 ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 ,然后利用这一性质给出了垂径定理 ,并利用圆的轴对称性证明 .所以 ,圆的轴对称性是垂径定理的理论基础 .二 .垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理 (推论 )中 ,一是隐含着一条直线 ;二是该直线具有以下性质 :①经过圆心 ;②垂直于弦 ;③平分这条弦 ;④平分这条弦所对的劣弧 ;⑤平分这条弦所对的优弧 .垂径定理可以简记为 :①② ③④⑤由于垂径定理本身的结论有多个 ,因此在构造逆命题时也会有多个 ,这就需要掌握构造逆命题的技巧 .例如 ,以① ,③为条件的逆命题为 :如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦 (不是直径 ) ,那么这条直线垂直于弦 ,且平分弦所对的...     

熟悉圆的性质用好基本辅助线

初中数学当中,圆是最优美的图形.它内涵丰富、性质多样.圆的性质定理有:圆的基本性质、垂径定理、圆周角性质定理、圆的对称性、圆的切线的性质等.它们对应了圆中的条基本辅助线.     

从直径人手解题

<正>圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,直径所在直线是它的对称轴,直径的中点是对称中心.与弦垂直的直径,平分弦及弦所对的弧;直径对的圆周角是直角.可见直径是圆中最活跃的因素,它是沟通弦、角、弧关系的桥梁.解题中,若能从直径入手,可突破难点,化难为易.(1)在题设或结论中涉及弧的中点、弦的中点,解题时往往考虑构造"垂径".(2)在题设、结论中涉及直径或直角,解题时要关注直径对的圆周角.     

圆周角概念引入的比较与研究

2013年10月24日,江苏省初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动在我校举行,教学内容分别为八年级6。1函数和九年级5。3圆周角。笔者有幸现场聆听了五位优秀教师开设的《圆周角》一课,会后又细细品味所有老师的上课视频,受益匪浅。大部分老师觉得,圆周角性质（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）的证明是本节课的难点,用大量时间,多个角度进行论证,突破这一难点,反而对圆周角概念重视不够。笔者觉得“圆周角概念”的引入是本节课的第一个难点,它的突破对性质的学习有重要的作用。笔者结合本次赛课的具体情况,对圆周角概念的引入进行比较研究,并从“角与圆的位置关系”出发,对圆周角概念的引入进行设计。     

“圆周角”一课的教案

教学目的:使学生了解和圆有关的角的定义,掌握相应的度数定理及推论,并能熟练运用。重点:圆周角定理及证明。难点:分三种情况证明定理。课时安排:两课时,第一课时到推论二。教学过程:     

与圆有关角的性质

<正>我们知道与圆有关的两种角即圆心角和圆周角,它们之间的数量关系是"同弧或等弧所对的圆周角都相等,都等于该弧所对圆心角的一半或者等于该弧度数的一半".其实还有一些与圆有关的角如图1中的∠P,它的顶点在圆外,并且两边都和圆相交,我们把这样的角叫圆外角;像图2中的∠APD、∠DPB、∠BPC和∠CPA等,顶点在圆内,并且两边都和圆相交的角称为圆内角,当圆内角的顶点     

“圆”来如此

<正>在解决直线形问题时,适当添加辅助圆,为圆的丰富性质的使用创造条件,常能使问题获得简解或巧解.下面举例加以说明.一、过共端点的等长线段的另一端点作圆当已知条件中存在共端点的等长线段时,以公共端点为圆心,等长线段为半径作圆,可以沟通圆心角、圆周角、弦、弧等的联系,使问     

“四个忽视”产生圆中与弦有关的漏解

<正>在学习圆这一章时,经常会遇到有关弦的问题,要进行分类讨论,正确画图,逐一解答,才能圆满解题,否则就会漏解.一、忽视弦所对的弧是优弧或劣弧的分类讨论弦所对的弧有优劣之分,因此弦所对的圆周角就有两个,它们互补.例1在圆O中直径AB=3cm,弦BC=32cm,求弦BC所对圆周角的度数.     

例谈圆内角与圆外角的计算

我们知道,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫圆周角.因为一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直