赏析两道跨主题融合中考试题

新课标提倡整体把握教学内容之间的关联,促进学生核心素养的发展.本文通过赏析两道中考压轴题,获得了“图形与坐标”“函数”两个学习主题之间融合问题的一般解法,即在平面直角坐标系中挖掘图形的几何性质,建立几何直观,依托点的坐标、函数解析式构建方程,实施代数运算与推理,从而解决问题.这对贯彻新课标理念、解决跨主题融合问题具有示范效应.     

曲线的轨迹方程

解析几何是用坐标方法。首先通过直角坐标系的建立,使平面上点的坐标和实数对建立一一对应。由于几何曲线可以看作是适合某种条件的点的轨迹,因而就可以建立曲线和方程之间的对应关系,这样,研究曲线的几何问题就可以转化为研究方程的代数问题了。本文就此谈谈如何求曲线的轨迹方程问题。 求曲线的轨迹方程的一般步骤是:     

中学数学中的向量方法

数学是从认识和研究图形和数开始的、大体上可以说，图形的优点是直观形象，能更直接地用来描述我们周围的世界，也更容易理解．但图形不便于用于计算，利用几何推理的方法来研究图形，灵活性、偶然性太大，不容易掌握．数的优点是有比较死板的方法进行运算，便于掌握，但比图形更抽象，将客观世界用数来描述的难度更大一些．笛卡尔引进了坐标之后，打破了数与形的界限，将几何图形最基本的元素——点用坐标来表示，将曲线、曲面用方程来表示，通过对坐标和方程的代数运算来研究几何图形的性质，这就是解析几何．     

从“点”突破坐标几何

坐标几何题在近几年的上海市中考试卷中频繁出现 ,这种题型属于函数与几何知识的综合型题 ,其解题过程贯穿了大纲要求的方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、变换思想以及分类思想等等 ,也有利于进一步改进和引导当前的数学课堂教学 ,使教学活动的效果最大化 ,笔者通过对中考试题及其它一些坐标几何题的深入分析和研究 ,发现在这类题型中 ,不论是求点的坐标、求解析式或求图形的性质 ,都与“点”有着重要的内在联系 ,通过突破“点” ,可使问题得到很好的解决 ,从而收到良好的教学效果 .一、“点”与解析式关系关于“点”与解析式关…     

构造法解平面向量高考题

<正>平面向量由于具有代数形式和几何形式两种特征,使其成为中学数学知识网络的一个交汇点,也成为高考的一个热点.高考题中对向量考查灵活多变,学生往往难以得分,常常表现为对向量建构图形或坐标不够熟练,不能从图形化的角度或转化成坐标形式解决问题.一、构造图形例1 (2011高考大纲卷,理12改编)设向     

系要建得好 题就解得巧

<正>解析几何就是通过所建立的直角坐标系,这样点和有序实数对(坐标)之间就建立了一一对应的关系,因此就能将纯几何问题转化为纯代数问题来处理.关键的第一步(建立适当的直角坐标系)就成为我们解题难易的关键.什么样的系才恰当呢?恰当的系能给我们解题带来多大的方便呢?我说"系要建得好,题就解得巧",否则会事倍功半.举一例加以说明.     

类比迁移 提升能力 落实素养——“确定圆的条件”的教学设计与思考

<正>1 教材内容分析义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成.初中阶段,图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.圆是平面几何中基本的图形之一,它不仅在“图形与几何”领域中有着重要地位,而且是进一步学习其他数学知识的重要基础.《义务教育数学课程标准(2022年版)》对圆有10点要求,其中“④了解三角形的内心与外心.     

几种常見坐标的介紹

解析几何是由笛卡儿所創立的,其中最基本之点是引进坐标概念。通过点的坐标就把几何問題化成了代数問題,这样就使得我們能利用代数的工具来解决几何間題。所謂建立点的坐标在本貭上不是别的,就是要在点与实数之間建立一个确定的联系,使得每个几何图形对应一組滿足某些条件的数,几何图形的任何性貭对应于数之間的一些确定的关系。我們有种种不同的方法来建立点与实数之間的这种联系,因而也就得到种种不同的坐标。下面我們来談談几种在数学以及数学在其他自然科学例如力学物理学的应用中最常見的几种坐标以及它們之間的关系。     

在一般观念引领下探索空间几何图形的性质——“立体几何初步”内容分析与教学思考

在义务教育阶段,学生学习的“图形与几何”内容主要有:空间和平面基本图形的认识,图形的概念、性质和度量;图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影;平面图形基本性质的证明;运用坐标描述图形的位置和运动;等等.学生在掌握“图形与几何”的基础知识、基本技能的同时,空间观念得到了一定发展,在借助图形思考问题的过程中,初步建立了几何直观.因为初中几何课程主要以平面图形为研究对象,所以在高中几何课程中,首先需要建立基本立体图形的概念,认识点、直线和平面的位置关系,在此基础上再用适当的工具和方法展开空间图形性质与关系的研究.     

图形计算器的一个新用途——求直线和圆的轨迹方程

一、图形计算器的一个新用途学习图形计算器的操作时,老师告诉我们,图形计算器中的几何画板功能与电脑中的几何画板软件基本相同.但在使用T1图形计算器的实践中,我发现有一个重要的不同之处,就是能求部分曲线的轨迹方程.下面是我在学习平面解析几何中对一些问题的作法.     

線代数学的基本概念

对於所謂“初等”数学来說,还保存着来自希腊科学的,一方面是代数方法而另一方面又是直观的几何概念的这种彼此分裂的特征。誠然,在解几何問題时常常要用到某些代数方法,但是在初等数学中,沒有把几何問題归結为代数問題的一般方法,同样也沒有对代数公式和代数关系式作几何解釋的一般方法。这样的一般方法中最簡單的是在空間中引入坐标系。这就使我們有可能在空間中的每一个点与三个实数x,y,z的数組之間建立起对应,与量x,y,z有关的每一个方程可以解釋为空間中的某一个面等等。这样一来,坐标法首先使我們能按照完全确定的法則,系統地利用代数以解决几何問題,分类和討論各种不同的几何形象(曲線,曲面等),其次使我們有可能按照非常一般的法則,对各种不同的代数关系式作几何解釋,例如,任何一个線性方程     

在函数及其图象教学中应注意凸现数学思想方法

本文拟结合现行义务教育初中代数教材 ,对函数及其图象在教学中凸现主要数学思想方法进行扼要的分析 ,以便更好地引导学生认识和掌握 .1　集合对应思想集合和对应 ,是现代数学中的两个极为重要的思想方法 ,借助于集合与对应思想 ,数学的研究就显得较为简洁和方便 ,许多数学概念和理论的阐述就显得更加透彻和深刻 .比如 ,以下各问题中就充分体现了集合、对应的思想方法 .(1)所有的正实数、零、负实数组成实数集合 ;(2 )坐标平面内的任一点与有序实数对一一对应 ;(3)平面内的直线 ,可分别组成与某坐标轴平行、垂直及斜交等直线的集合 ;(4 )初…     

中考运动型问题考法赏析

聚焦近几年中考的运动型问题,主要是研究在几何图形的运动中出现的图形位置、数量关系的变化,在“变”中探求“不变”的本质．它集代数、几何知识于一体,题目灵活多变、动静结合,较好地渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强,已成为中考热点试题．新课程改革倡导培养学生的实践能力和创新精神,运动型问题所考查的知识与能力很好地体现了课改精神．如教材新增内容：图形的三种变换（平移、旋转、翻折）、图形与坐标等知识内容,以网格纸、坐标系等为背景,三角尺、多边形纸张等为工具,     

利用几何画板探究面积最小原理

几何画板被称为21世纪的动态几何.它是一个很小(只有909KB)的数理软件,其功能却非常强大.“动画”是它主要功能之一,实时度量出几何对象的数量(长度、距离、面积、方程、坐标、角度等)有别于其它教学软件的特点.我们可以利用几何画板解决“运动变化之中的不变问题”,观察分析图形变化的规律,从运动中把握不变性.本文论述的“面积最小原理”即是研究中发现的一个结论,这一结论可用来解决一大类问题,用途广范,具有一般性.写出来与同学们探讨.     

数学婚联三则

实数虚数两数搭配已成对 ;内心外心双心结合正同心 .正数负数指数对数数数都成对 ;实线虚线直线曲线线线均结偶 .欧氏几何罗氏几何测算今生缘结几何 ?指数方程对数方程解得一世缘定方程 !数学婚联三则@邹本俭$湖北十堰郧阳中学     

高中数学向量知识的内容定位与教学建议

1数学课程改革当中的向量背景和前景分析1.1向量的双重身份向量是近代数学最重要和最基本的概念之一.向量是既有大小又有方向的量,要用两个实数、三个实数甚至更多的实数才能确切地表达.所以它既具有图形的直观性,又有代数推理的严密性.从而向量是一个具有几何和代数双重身份的概念.1.2向量对运算的贡献从“数、量和运算”发展的角度理解向量,向量的加法、减法、数乘向量和向量的数量积以及数学课程标准里未加入的向量积都是新的运算,应该说向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展和扩大.在中学引入向量为以后进入大学或选修矩阵及运算做…     

2006年全国各地高考与模拟数学试卷评析——平面解析几何

通过坐标法建立平面内的点与坐标、曲线与方程的一一对应关系,利用方程的特点来研究几何问题,这是解析几何的基本思想.这种数与形的对应关系,使得解析几何题具有很强的交汇性,这种特征在2006年的高考题中得到了很好的反映.     

平移变换用于求区域面积

求解方程图形围成的区域的面积,是近年来各级数学竞赛中的常见题型,此类问题,大都由含绝对值符号的方程或不等式组成,直接讨论往往较繁.若注意到方程f[(x-a),(y-b)]=0平移变换为f(x,y)=0,其图形的几何性质不变,则讨论平移变换后的方程较为简单,下举几例,供同学们与直接作答比较. 例1 由方程|x-1|+|y-1|=1确定的曲     

解析几何的几个基本问题

数形结合是一个极富数学特点的信息转换 ,解析几何完美地体现了这一思想 .借助于直角坐标系 ,我们可以将有序数对 (ｘ ,ｙ)与平面上的点构成对应 ,可以将有序数对所满足的等量关系ｆ(ｘ ,ｙ) =0与平面上的曲线构成对应 .因而 ,我们既能用代数方法去研究图形的形状、大小及位置关系 ,又能用图形的性质来说明代数事实 ,这种数式信息与图形信息的相互转换与有机结合 ,使我们在解题时能左右逢源 .因此 ,在数学竞赛中 ,用解析几何的方法来处理几何、代数问题备受人们的青睐 .在本讲中 ,我们将介绍解析几何中有关坐标概念的几个基本问题及应用 .1…     

几何课程教学设计应注意的问题

众所周知,数学是研究数量关系和空间形式的科学.简单地说,是研究数与形的科学.当然,这里所指的"数"是广义的数,既包括通常的正数与负数,有理数与无理数,实数与虚数;也包括代数式,方程与函数,随机数与统计数,矩阵,等等.而空间形式所指的"形"也是广义的,不仅是指现实空间中的物体和几何体的形状;而且也包括反映一定现实形式的抽象空间中的"形",如线性空间、距离空间、内积空间等抽象空间中的"形",包括图象与图形,如函数的图象,方程的曲线,平面图形与立体图形,等等.