一个几何极值问题

如图 1 ,在河岸ａ同侧有两个村庄Ａ ,Ｂ ,要在河边Ｃ处建一水泵站 ,并沿ＣＰＡＢ的路线铺设水管 ,怎样选择Ｐ ,Ｃ两点可使所用的水管总长最短 ?因为ＰＣ⊥ａ ,关键是确定Ｐ点的位置 .因而问题可以简述为 :Ａ ,Ｂ是直线ａ同侧两点 ,在平面上求一点Ｐ ,使Ｐ到Ａ ,Ｂ及直线ａ的距离之和最小 .以下称这一问题为问题Ｌ .设Ａ ,Ｂ在ａ上的射影是Ｄ ,Ｅ ,ＡＤ=ｐ ,ＢＥ=ｑ ,ＤＥ =ｓ.恒设ｑ≥ｐ>0 ,ｓ>0 .如图 2 ,取Ｄ为原点 ,直线ａ为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ(0 ,ｐ)Ｂ(ｓ,ｑ) .作ＡＥ′∥ＤＥ .交ＢＥ于Ｅ′ .显然 ,若Ｐ是问题Ｌ的最小值点 ,则…     

利用空间向量解一道高考题

空间向量是高中数学试验教材中新增内容 ,它融数形于一体 ,是实现数形结合 ,解决数学问题的重要工具 ,特别在立体几何中的应用 ,尤显便捷明快 ,精巧鲜活 ,新颖有趣 .2 0 0 2年高考数学 (理 )的立体几何题———第 18题 ,难度适中 ,颇有新意 ,标准答案给出了传统几何解法 ,下面用空间向量来解 .图 1题目　如图 1,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 .点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ( 0 <ａ <2 ) .(Ⅰ )求ＭＮ的长 ;(Ⅱ )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ;(Ⅲ )当ＭＮ长最小时 ,求…     

与四点距离为定比的平面个数问题

问题　求与空间不共面四点的距离之比为λ1∶λ2∶λ3∶λ4的平面个数ｓ=ｓ(λ1,λ2,λ3,λ4).文[1]讨论了两种特款,但其结论均有误.本文用代数推理弥补几何直观的局限解决此问题,文中δ(Ａ,π)表示点Ａ到平面π的距离.引理　给定空间不共面四点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ及正数ａ,ｂ,ｃ,ｄ,则满足条件δ(Ａ,π)ａ=δ(Ｂ,π)ｂ=δ(Ｃ,π)ｃ=δ(Ｄ,π)ｄ(1)的平面π的个数ｎ=7,　ａ=ｂ=ｃ=ｄ;8,　ａ,ｂ,ｃ,ｄ不全相等.证　取有向线段ＡＢ的内分点Ｂ1,外分点Ｂ2使ＡＢ1∶Ｂ1Ｂ=ａｂ;ＡＢ2∶Ｂ2Ｂ=-ａｂ,注意ａ=ｂ时Ｂ2实际不存在,称为无穷远点.图1　ａ≠ｂ　…     

当梯子下滑以后

北京师范大学新世纪九年级(上)第二章第一节P43页有一道关于梯子的下滑问题:如图1,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离是8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端滑动多少米?     

抛物线的一个几何性质的推广

《数学通报》2 0 0 0 (7)文 [1 ]给出了抛物线的一个几何性质 ,本文把它记为定理 1　设Ａ是抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,Ｂ是Ａ关于ｙ轴的对称点 ,(1 )若过Ａ点引直线与这抛物线相交于Ｐ ,Ｑ两点 (图 1 ) ,则∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ ;(2 )若过Ｂ点引直线与这抛物线相交于Ｐ ,Ｑ两点 (图 2 ) ,则∠ＰＡＢ+∠ＱＡＢ =1 80°.图 1图 2　　定理 1揭示了抛物线对称轴上任意关于顶点对称的两点所具有的性质 ,我们自然要问 :椭圆、双曲线有没有类似的性质呢 ?定理 2　设Ａ ,Ｂ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 )长轴上分别…     

一个最值问题的物理模型

题 1　已知ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <ｘ <π2 ,求函数ｆ(ｘ) =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ的最小值 .图 1　题 1图解　如图 1,ＡＰＢ为一以 |ＡＢ|=1为直径的半圆 ,设Ａ点有带电为ａ的点电荷 ,Ｂ点有带电为ｂ的点电荷 .对于弧上一点Ｐ ,令∠ＰＡＢ =ｘ ,则ＡＰ =ｓｉｎｘ ,ＰＢ =ｃｏｓｘ ,根据点电荷Ｕ =ｋ Ｑｒ 及电势叠加原理 .则Ｐ点电势ＵＰ=ｋａｓｉｎｘ ｋｂｃｏｓｘ=ｋ(ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ) (ｋ为静电常数 ) .这样 ,原问题便转化为在ＡＰＢ上找一点Ｐ0 ,使ＵＰ0 为最小值 .设想有一单位正电荷ｅ从Ｂ点沿圆弧自由运动 ,由其总能量守恒可知 ,当…     

数理结合题欣赏

各种学科互相渗透 ,知识之间的联系越来越紧密 ,尤其以数学、物理之间的联系最紧密 .下面我们来欣赏几道数学、物理知识相结合的题 .题 1　如图 1,Ａ ,Ｂ两人相距 2ｄ米 .平行地站在一堵高墙前 ,离墙均为 3ｄ米 ,Ａ发一枪 ,Ｂ在ｔ秒后听到第一次枪声 ,问听到第二次枪声距发枪多长时间 ?图 1　题 1情形 1图　　　　图 2　题 1情形 2图解　Ｂ听到第一次枪声为声音直接传到Ｂ处(图 1) ,而第二次“枪声”应是从Ａ发出的枪声经高墙反射后传到Ｂ处 ,且所经过的路线应为最短 (图2 ) .在图 2中 ,作Ａ点关于墙的对称点Ａ′,连结Ａ′Ｂ交墙于点Ｐ ,Ａ…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

巴卜斯定理的向量证法与六点共线问题

1　引言和预备知识向量是非常有用的一个数学工具 .它把许多几何学问题的研究从定性深入到定量 ,能够充分体现数学教学中的数形结合思想 .向量解决共线问题相当方便直接 ,它是解决共线问题的一种新途径 ,让人耳目一新 .本文用向量代数的方法证明了喻为古希腊几何的天鹅之歌的巴卜斯定理和给出了六点共线的一个充要条件 .引理 1　 (三点共线的充要条件 )设ａ =ＯＡ ,ｂ =ＯＢ ,ｃ =ＯＣ ,则Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点共线的充分必要条件是存在不全为零的实数α,β,γ ,满足方程组 :αａ+βｂ+γｃ=0 ,α +β+γ=0图 1引理 2　如图 (1 )所示 ,ａ=ＯＡ ,ｂ…     

研究性学习的一个案例

任务　对如下问题 1图 1　问题 1图问题 1　已知 :(如图1所示 )正三角形ＡＢＣ的边长为 1 0 ,点Ａ在平面α内 ,点Ｂ ,Ｃ与平面α的距离分别是 4 ,2 ;点Ｂ ,Ｃ在平面α的同侧 ,且Ｂ1,Ｃ1分别是Ｂ ,Ｃ在平面α的射影 ,求 :平面ＡＢＣ与平面α所成的角θ .1 .能用几种方法解决这道问题 ?并请你书写解答过程 .2 .请在查阅数学资料的基础上添加或删减原题中的条件 ,改变问题的结论 ,形成新的数学命题 .3.把你所改编的数学问题给出其尽可能多的不同解答 .4 .在你所改编的或解答的数学问题中 ,可以用到哪些基础知识 ?能列出吗 ?(以上作业必须用书面…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

高二数学同步训练题

内容　代数 :不等式的性质与证明 ;解析几何 :有向线段 ,定比分点 .选择题1　Ａ ,Ｂ为数轴上两点 ,Ａ点的坐标为 2 3 ,|ＡＢ|=6,则Ｂ点的坐标为 (　　 )(Ａ) 3( 2 2 ) .　　　 (Ｂ) 3 ( 2± 2 ) .(Ｃ)± 22 . (Ｄ) 3( 2 - 2 ) .2　已知ａ <0 ,- 1<ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系是 (　　 )(Ａ)ａ >ａｂ >ａｂ2 . (Ｂ)ａｂ2 >ａｂ >ａ .(Ｃ)ａｂ>ａ >ａｂ2 . (Ｄ)ａｂ >ａｂ2 >ａ .3　如果 0 <ａ <12 ,那么下面的不等式能成立的是(　　 )(Ａ)ｌｏｇａ( 1-ａ) >1. (Ｂ)ａｘ<( 12 ) ｘ.(Ｃ)ｃｏｓ( 1 ａ) <ｃｏｓ( 1-ａ) .(Ｄ) ( 1-…     

圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

坐标法

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学分支 .为此 ,我们必须将几何学中的基本元素———点 ,与代数学中的基本对象———数结合起来 .坐标法正好实现了这一目的 ,它用代数方法处理几何问题 ,用几何直观研究代数问题 ,使得数和形达到了有机的结合 .1　基本知识　包括两点间距离公式、线段定比分点的坐标公式及曲线和方程的概念 .具体内容见教材 .2　应用举例例 1　设△ＡＢＣ的三边长为ａ ,ｂ,ｃ,ＢＣ边上的中线长为ｍａ,证明 :ｍ2 ａ=12 ｂ2 12 ｃ2 - 14ａ2 .证　在直角平面坐标系中 ,设Ａ(ｘＡ,ｙＡ) ,Ｂ(ｘＢ,ｙＢ) ,Ｃ(ｘＣ,ｙ…     

参赛应用题选登

题 3 3　如图 1 ,设甲楼座落在正南正北方向 ,楼高ＡＢ =1 6ｍ ,又要在甲楼的后面盖一座乙楼ＣＤ .已知冬天太阳最低时的高度为3 2° ,问 :1 )若两楼相距ＢＤ =2 0ｍ ,则甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?2 )如果甲楼的影子不会落在乙楼上 ,那么两楼之间的距离ＢＤ至少是多少米 ?图 1　题 33图解　 1 )如图 1所示 ,过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ ,垂足为Ｆ .在△ＡＥＦ中 ,∠ＡＥＦ =3 2°,∠ＡＦＥ =90° ,ＥＦ=ＢＤ =2 0ｍ ,所以ＡＦ =2 0ｔｇ3 2°≈1 2 .5(米 ) ,ＥＤ =1 6- 1 2 .5=3 .5(米 ) .即甲楼的影子落在乙楼上有 3 .5米高 .2 )在Ｒｔ△ＡＢＤ中…     

对北师大版教材“梯子滑动问题”的探究

北师大版九年级教材上册P47有一例:如图1,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米?分析由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙6m,如果设梯子的底端滑     

几何问题的动态演变

1999年高考压轴题:给出定点Ａ(ａ,0)(ａ>0)和直线ｌ:ｘ=-1,Ｂ是直线ｌ上的动点,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于点Ｃ.求点Ｃ的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系(以下简称考题).我们利用《几何画板》软件,按题意作出轨迹,再拖动其中的有关定点、定直线,得到了很有意思的结果(受篇幅的限制,本文所有结论省去了推导和证明).1　扩大参数ａ的范围参数ａ(ａ∈Ｒ)的范围扩大后,Ｃ点的轨迹方程仍为:(1-ａ)ｘ2-2ａｘ (1 ａ)ｙ2=0(1)图1　曲线变化图　　拖动点Ａ在ｘ轴上移动,曲线随Ａ点的不断移动而变化,如图1,除考题中三种曲线(如图中的Ｃ…     

外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

新教材中一道练习题的变式与引申

高二数学新教材Ｐ96 ,第 4题如下 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (- 6 ,0 ) ,(6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .解　依曲线方程的建立过程 ,设顶点Ｃ(ｘ ,ｙ) ,则ｋＣＡ·ｋＣＢ=- 49,即ｙｘ + 6 · ｙｘ - 6 =- 49.整理得 :ｘ236 + ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 1　若边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积改为 49,则得Ｃ点的轨迹方程为ｘ236 - ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 2　若两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (ａ ,0 ) ,(-ａ ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- ｂ2ａ2 (ａ >ｂ) .解法同理可得 :ｙ…