反证法证题漫谈

给定一条线段AB,大家都会用尺规画出它的中点M,这在数学上只表明线段AB中点的存在性.还能画出线段AB的另一个中点吗.大家会说不能了!线段AB的中点只有一个.再追问一下:你如何敢肯定线段AB的中点只有一个呢?我们的回答:可以如下来证明.     

网格中的数学问题

<正>1作已知直线的垂线问题1对于网格中的直线,过直线上一点,你有办法画出它的垂线吗?例1已知格点△ABC在网格中的位置如图1,求△ABC的外接圆圆心的坐标.分析(1)我们知道,作线段AB、线段BC或线段AC中任意两条线段的中垂线,它们的交点就是△ABC外接圆的圆心.     

奇妙的一笔画

<正>如图1,你能一笔画出吗?所谓一笔画出,即要求在画这个图的时候笔始终都不离开纸,也不走重复路线.如果我们画一画,就会发现完成这样的问题似乎有某些规律,但要找出来似乎有些困难.其实这个问题早已由大数学家欧拉解决了.下面我就给大家介绍一下画这种图的秘诀.能够一笔画出的图,我们称之为欧拉图.和几何中学过的一样,图中的线与线的交点,     

角平分线性质的“威力”

角平分线的性质告诉我们:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.反之,角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.这两个结论有很多用处,可以用来求线段的长度、角的度数、线段的关系等.下面以2011年中考试题为例来展现角平分线性质的     

珠串成线:单元复习课的教学取向——以“线段和角”的复习课为例

最近一次七年级期末复习研讨活动中,笔者开设了一节“线段和角”的复习课,得到参与研讨的同行的好评.下面呈现该课的前后两次设计,并给出各个教学活动的设计意图,提供研讨.一、“线段和角”的两种教学设计第一种教学设计如下所示.活动1:一颗“种子”.如图1:A l图1请你用几何语言描述这幅图.设计意图:复习点与直线的位置关系,为下面的问题作准备.活动2:种子在“孕育”.(1)如图2,在直线l上再取一点B,图中有几条线段?     

有趣的角谷猜想

星期天,表姐到我家玩.她领我玩了一个有趣的数学游戏--角谷猜想.真过瘾!下面我就说来让你听听! 角谷猜想的玩法是这样的:任意给一个自然数,如果它是双数就把它除以2,如果它是单数就把它乘3再加1……"这样循环下去,经过多次运算后,你猜,结果会怎么样呢?"表姐神秘地问道.     

神奇的魔法箱子

小提示：图案通过魔法箱子以后，它的颜色会互相对换。请你想一想，下面的4种图案，通过魔法箱子后会变成什么样子呢？从右图中找出正确的图案并圈起来，然后在最下面的空格内自己动手画一画变化后的图案。     

过梯形对角线交点的直线

在课本上我们学习了梯形的中位线,高线等,这些都是与梯形的边有关系的.现在我们来研究一下梯形对角线的交点,过这个点的直线(线段)有什么神秘之处呢?看了这篇文章,你就会略知一二了.     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

确定动点求最值

动点最小值问题,难点在于确定取得最值的动点的位置.破解方法是紧扣轴对称性质,画出一个定点关于对称轴的对称点,找出待确定的动点,把折线段变成直线段,下面析解几例,供同学们参考.例1如图1甲,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为.     

第十九届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

<正>一、在一次测试中,要求画出以图1为三视图的几何体的直观图.小明成功做出了直观图(图2).测试之后,小明仔细端详三视图和它的直观图,看看能画出几种形状的截面;又联想以往研究过的图形,突发奇想:如果这个七面体是个实体,它是不是可以充当一些异形瓶口的塞子呢?沿着小明的思路,试回答下面的问题:     

瓷砖铺设中考模拟题探秘

数学来源于生活而又服务于生活,有关瓷砖铺设的知识近年来在中考中经常出现．你留意过美丽的地面装饰吗?它们是怎样拼起来的呢?下面让我们一起来探秘2005年广西一道瓷砖铺设的中考模拟题的神奇魅力吧! 题我们常见到如图1那样图案的地面, 它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的瓷砖铺成的,这样形状的瓷砖能铺成平整、     

怪味儿数学

乔乔:我发现了一种有趣的数学. 贝卡:什么有趣的数学? 乔乔:我叫它“怪味儿数学”! 贝卡:真有点儿稀奇,什么叫“怪味儿数学”呢? 乔乔:就是结果让你感到意外的数学. 贝卡:举个例子. 乔乔:一个30°的角,在10倍的放大镜下是多少度? 贝卡:扩大10倍,应该是300°吧! 乔乔:不对! 贝卡:为什么啊? 乔乔:在10倍的放大镜下,角的两条边是长了,但是两条边分开的大小并没有变化,所以这个角仍然是30°. 贝卡:噢,原来角是不能被放大的!这,真是有点怪味儿.     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.     

画出来的美

这样的画或许你画过,仅用笔和尺不停地旋转,就能得到美丽的图案. 为了画出这些色彩缤纷、结构复杂的图形,人们设计了专门的绘图工具,以齿轮与齿轮互相嵌套运动来控制笔在纸上的绘画动作.虽然这是一种简单的美术工具,但是我们却可以用它画出各种各样的花式图案.     

美丽的正五角星

五星红旗 ,迎风飘扬 ,胜利歌声 ,多么嘹亮 !———《歌唱祖国》歌词我国国旗上的图案是由正五角星组成的 .正五角星是一个美妙无比的几何图形 .正五角星中 ,有五条线段十个交点 ,每线上有四点 ,每点在两线上 .由此可以解决一个数学游戏问题 :十棵树栽成五行 ,每行四棵树 ,每棵在两行 ,如何栽法 ?正五角星有 2 5个角 :15个角是锐角 ,10个是钝角 .锐角分为两类 ,较小的一类有 5个 ,都等于 36° ;较大的一类有10个 ,都等于 72°;钝角有 10个 ,都等于 10 8°.这三种角的大小之比为 1∶2∶3(图 1) .图 1　正五角星图案　　　　图 2　正五角星四种…     

剖分趣题

把一个五边形剖分成沿整条边相邻接的三角形,设在边上再加4个剖分顶点,内部设置3个剖分顶点．问可将这个五边形剖分成多少个三角形?有人说这道题太简单了,画出图来数一数不就行了么!画出图1,数得13个三角形．但剖分方式不止这一种,其他剖分方式结果如何呢?再画一图,如图2,一数也得13．那么,我们是否可以断言：本题的答案是13呢?     

井田问题与定比分点

井田问题与定比分点 图 1　　一块不规则四边形的田地 ,如图 1中的ＡＢＣＤ .在每条边上都取三等分点 ,再把两双对边上的三等分点连起来 ,成了一个井字形 .井字把这块田分成 9小块 .由于四边形不规则 ,这 9小块的面积有大有小 .但是 ,巧得很 ,无论如何 ,正中间那一块的面积 ,恰是四边形ＡＢＣＤ面积的九分之一 !但要证明这个有趣的断言 ,却不是那么容易 .面前有一个难题 ,它又十分有趣 .不做不甘心 ,做又太难 .怎么办呢 ?有一条十分有用的规则 :“如果当前的问题太难 ,你就做一个比较容易的类似的问题 .”我们退一步 ,先解决一个简单一点的…     

画三条线,作出特殊角的平分线

在教科书上,利用尺规作一个角的平分线需要画四条线,即画三条弧线和一条射线.然而,我经过探索发现,作一些特殊角的平分线只需要画三条线.你对这个问题感兴趣吗?请你先想一想、试一试,然后再看下文.否则,你将失去一次探索机会.     

正多面体只有五种

边长和角分别都相 等的多边形叫正多边 形,正多边形有许多许 多种．形状大小完全一 样的正多边形围成的多 面体叫做正多面体．而 正多面体只有五种:如 图1,正四面体;如图 2,正六面体(正方体); 如图3,正八面体;如 图4,正十二面体;如 图5,正二十面体． 正多面体只有五 种!对此,许多同学感 到不可思议． 正多面体为什么只 有这五种呢? 弄清这个问题,需 要用到的数学知识有以 下三点: