两道初中数学竞赛最值问题的另解

<正>问题1(2014年全国初中数学联赛第10题)已知a、b为正整数,且b-a=2013,若关于x的方程x²-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x2-ax+b=0存在正整数解,则a的最小值为.另解由b-a=2013,得b=a+2013,代入原方程得x²-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x2-ax+a+2013=0.(*)整理为a(x-1)=x²+2013.因为x=1不是方程(*)的根,所以x-1≠0.从而     

世界各地数学奥林匹克竞赛试题摘编

1　 (第 2 3届全俄中学奥林匹克竞赛试题 ,11年级 )求方程 (x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y的整数解 .解　以下将证明方程(x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y (1)的解是 (- 4,5 ) ,(4,5 ) ,(- 1,0 ) ,(1,0 ) ,(- 4,3) ,(4,3) .设x ,y是满足方程 (1)的两个整数 .注意到 ,若 y <0 ,则 1+ 16 y <0 ,则 1+ 16 y不是一个完全平方数 ;若 (x ,y)就是 (1)的解 .不失一般性 ,可设x≥ 0 .情形 1:若x≥y ,可令x =y +a且a∈N .方程 (1)可改写为 :4a2 y2 + 4 (a3- 4) y +a4 - 1=0 .故 y是二次方程 4a2 X2 + 4 (a3- 4)X +a4 - 1=0的一个解 .此时Δ =16 (- 8a3+a2 + 16 ) ,则一…     

问题与解答

一本期问题‘__1已知某等差数列的S一s二,二斗”,求葱正占。不.二0。2求锐角。的值,使方程劣2一铭co:a十2=O和方程x’一4x‘.:二一2二.有公共根。3一个四位数,若加上195完全平方数,则称这个四位数为’数的个数。5后就成为一个“好数”,求好山东高青一中不查表求证lo若函数f(x)胡称亚提供g:万+10多。万)2.对于任意正数a、bf(a二f(a)(a/b)二f 已知方程 +f(b),求证(a)一(b)满足xZ+1.一十众=器有一个根是吐事上其中幼负数,求k。翔能挤者二申肖继才提撰 7设才 (x+百)(夕+ (言+x)(劣+样的关系?今。,要使下列三式同时成立.”zx,(沙+之)(之+劣)。x…     

分离变量好处多

我是从两道题感受到分离变量的好处的. 题一设A={x|x2-x-2≤0},B={x|x2 +4x+p<0},若A(?)B,求实数p的范围. 起初我是这样解的: 解一由x2-x-2≤0,得-1≤x≤2. 由x2+4x+p<0得     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…     

初三年级数学科第一学期期中自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .当x时 ,分式 x2 -1x +1 有意义 ;当x时 ,分式 x2 -1x +1 的值为零 .2 .计算 :( 2 -1 ) 0 -2cos45°-( 13 ) -1=.3 .我国航天工业近 1 0年来迅猛发展 ,有关数据计算精确度越来越高 ,卫星发射偏差已达到 0 .0 0 0 0 1 0 4,若用科学记数法表示这个数 ,应为 .4 .由 x+5x2 +4x-5 =1x -1 可以判定多项式x2 +4x-5可分解为 .5 .某人沿同一山路上山、下山 .若上山的速度是v1千米 时 ,下山的速度是v2 千米 时 ,则此人上山、下山的平均速度是 .6.如果方程 xx-3 =2 +mx -3 产生增根 ,则m的值为 .7.在方程x2 +1…     

“反个劲儿”思维解题

在一些数学题中 ,若按常规思路去解答 ,非常复杂 ,有时甚至难以奏效 .采用“反个劲儿”的思维方法求解 ,既省时 ,又简捷 ,常有别开生面之效 .　　 1.不先开方先平方例　计算 3 + 5 + 3 -5的值 .分析　此题常规解法是将原式中两个根式的被开方式先配方后再开方 ,但配方较难 ,采用先求原式平方 ,再求开方值 ,显然简便 .解　设x =3 + 5 + 3 -5 (x >0 ) ,∵　x2 =(3 + 5 + 3 -5 ) 2=6+ 2 (3 + 5 ) (3 -5 )=6+ 2 4=10 ,∴　x =10 .　　 2 .不用正向用逆向例　若a是关于x的方程x2 +bx +a =0的根 ,且a≠ 0 ,求a +b的值 .分析　此题常规解法是将关于…     

对一道高考题的解法探究

<正>在求解某些二次函数问题时,若能灵活地借助二次函数零点f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)式(a≠0)去求解,往往能达到事半功倍的效果.下面笔者以一道高考题为例并加以说明,以期探索题型规律,明晰求解策略.题目(2011年高考重庆理科卷第10题)设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间     

"两二次曲线相切"(←→)"△=0"?

1楔子 例1对a的不同取值讨论圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线y2=1/2x的交点个数. 解把y2=1/2x代人圆的方程,可得△x=17/4-2a,由△x=0得a=17/8,此时圆与抛物线相内切,由圆的运动位置易得:     

解一道“或”命题

题目命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的正实根.命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若p或q为真命题,求实数m的取值范围.     

2003年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)数学(理工农医类)试题及参考解答

一、填空题 (本大题满分 48分 )1 .函数 y =sinxcos x +π4 +cosxsin x +π4 的最小正周期 T =.2 .若 x =π3是方程 2 cos(x +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3.在等差数列 { an}中 ,a5=3,a6=- 2 ,则 a4+a5+… +a1 0 =.4.在极坐标系中 ,定点 A 1 ,π2 ,点 B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动 ,当线段 AB最短时 ,点 B的极坐标是 .5.在正四棱锥 P - ABCD中 ,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,则异面直线 PA与 BC所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示 )6.设集合 A ={ x |x|<4} ,,B ={ x|x2 - 4 x+3>0 } ,则集合 { x|x∈ …     

n元一次不定方程组的整数解

不定方程组是指未知量的个数多于方程个数的方程组 .在大约 1 5 0 0年以前 ,我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里 ,曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题 :“今有鸡翁一值钱五 ,鸡母一值钱三 ,鸡雏三值钱一 ,凡百钱买百鸡 ,同鸡翁、鸡母、鸡雏各几何 ?”若设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数分别为x ,y ,z,则由题意可得三元一次不定方程组x+y+z=1 0 05x + 3y+ 13z =1 0 0 ( 1 )进一步将方程组 ( 1 )转化为三元一次整系数不定方程组x+y+z =1 0 01 5x+ 9y +z=30 0 ( 2 )那么求鸡翁、鸡母、鸡雏的个数问题等价于求三元一次整系…     

巧用直线方程的乘积解题

题目 直线l被两直线l1:4x+y+6=0 和l2:x-y-6=0截得的线段中点为(1,2),求 直线l的方程. 分析 因为直线l与两条直线都相交,为了 避开求两次交点,我们可将l1、l2看作一个整体. 设直线l的方程为:y=k(x-1)+2,则由方程组     

一道课本题的研究价值、解法探讨与问题拓展

1 题目与研究的价值 1.1 题目已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(苏教版高中课程标准实验教科书数学必修2第116页第27题).     

利用导数探究方程的根的个数

<正>利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图象交点及方程的根的个数等.下面就如何利用导数探究方程的根的个数问题举例说明:例1已知函数f(x)=-x~2+8x与g(x)=6lnx+m,问:是否存在实数m,使得方程g(x)-f(x)=0有且只有两个不同的正实根.若存在,求实数m的值,若不存在,说明理由.     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

三次方程实根的个数初探

在初中数学中,我们曾利用判断式来判断二次方程根的个数.那么,对于三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3+bx2+cx+d=0(a>0)的根.分析函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与x轴有几个交点,方程便有几个实根.解由题意得f′(x)=3ax2+2bx+C.     

椭圆标准方程的推导及启示

课本中推导椭圆标准方程的计算量大而繁,若能抓住椭圆定义中|MF_1| |MF_2|=2a(a＞0),构造等差数列,则可巧妙而简捷地推导椭圆的标准方程。由椭圆的定义,按教材中的方法建立直角坐标系,得方程：(?) ∴ (?)成等差数列,设公差为d,则有①~2-②~2,得 4cx=4ad, 即 d=(c/a)x ③     

用构造法证明不等式

证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1　寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1　已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明　因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =…     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...