Buckling of an elastic plate subjected to unilateral constraints

Summary In this paper we show how it is possible to extend the well-known variational properties of the critical loads for elastic structures to the case of unilateral constraints. In particular we examine the buckling of an elastic plate unitalerally constrained between two elastic half-spaces and loaded by axial forces. For this problem we discuss the existence of the lowest positive and greatest negative critical load multiplier and provide a characterization of these multipliers by means of the minimal properties of a suitable functional.

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Sommario In questo lavoro viene mostrato come sia possibile estendere le ben note proprietà variazionali dei carichi critici di una struttura elastica dal caso dei vincoli bilaterali a quello dei vincoli unilaterali. In particolare viene esaminato il problema di svergolamento di una piastra rettangolare elastica, sollecitata da forze assiali agenti nelle due direzioni e vincolata unilateralmente tra due semispazi elastici. Per tale problema si discute l'esistenza del più piccolo moltiplicatore positivo dei carichi e del più grande negativo per cui si ha instabilità. Inoltre viene fornita una caratterizzazione variazionale di tali moltiplicatori mediante le proprietà di minimo di un opportuno funzionale.

     

On the extremal properties of the solution in dynamics of rigid-viscoplastic bodies allowing for large displacement effects

Summary This paper discusses the dynamics of rigid-viscoplastic bodies, bearing in mind large displacement effects. The extremal properties of the incremental solution of the dynamic problem are demonstrated. It is shown that the true instantaneous acceleration field minimizes some quadratic functionals in a class of functions constrained by linear equations and inequalities.It is also shown that, by idealizing the body as an assemblage of finite elements, the above principles reduce the problem to the solution of a classical quadratic programming problem that can be solved by several well-known efficient algorithms. Thus a general purpose finite element program for the dynamic analysis of rigid-viscoplastic structures can be derived by using the concepts shown in this paper.

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Sommario Viene discusso il problema della dinamica delle strutture rigido plastiche nel campo dei grandi spostamenti. Vengono dimostrate le proprietà estremali della soluzione incrementale dimostrando che il campo di accelerazioni minimizza alcuni funzionali quadratici in una classe di funzioni vincolata dal rispetto di opportune condizioni di eguaglianza e disegnaglianza lineare. Discretizzando il corpo col metodo degli elementi finiti, i suddetti principi riportano il problema nel campo della programmazione quadratica e consentono quindi di utilizzare i ben noti ed efficienti algoritmi numerici di soluzione dei detti problemi. Si sottolinea quindi come, avvalendosi dei concetti esposti in questo lavoro, si possa pervenire a programmi di calcolo numerico del tutto generali per la soluzione del problema in questione.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

The shakedown load boundary of an elastic-perfectly plastic structure

In the hypothesis of small displacements and combined time-variable/steady loads, the geometrical-mechanical properties of the shakedown load boundary are investigated. It is shown that, in the load space, the shakedown load boundary plays the role of yield surface, and that a certain plastic strain accumulation vector—characterizing some impending inadaptation collapse mechanism—obeys the normality rule, whereas a specific form of the maximum plastic work theorem constitutes an effective tool for the evaluation of the shakedown limit load corresponding to a specified inadaptation collapse mode. The equations governing the state of the structure at the shakedown limit are provided and the related collapse mechanism is shown to specify the shape of the steady-state response of the structure to a periodic load enveloping the load domain with an intensity slightly above the shakedown limit.

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Sommario Nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di plasticità perfetta, si studiano le proprietà geometrico-meccaniche della frontiera del dominio dei carichi di adattamento. Si mostra come, nello spazio dei carichi, la suddetta frontiera giuoca il ruolo di superficie di plasticizzazione ed un particolare vettore di deformazione plastica accumulata—che caratterizza il meccanismo di non adattamento—segue la legge della normalità, mentre una forma specifica del teorema del massimo lavoro plastico costituisce un valido strumento per la valutazione del carico limite corrispondente ad un dato meccanismo di non adattamento. Si forniscono altresì le equazioni che governano lo stato della struttura al limite di adattamento, mostrando la capacità del relativo meccanismo di collasso a rappresentare la risposta a lungo termine della struttura a dei carichi periodici inviluppanti il dominio dei carichi con una intensità un poco al di sopra del limite di adattamento.

     

Analysis and design of circular plates using the workhardening adaptation criterion

Summary A unified approach to both analysis (maximum load multiplier) and optimal design problems for workhardening adaptation of axialsimmetric plates is presented, via a continuous approach. The loads are assumed to arbitrarily vary but in a quasi-static manner and remaining inside a given convex loading domain. In such a framework, the assessment of the plastic deformations developed during the actual (a priori unknown) loading history is crucial, since these deformations may result to be excessive with respect to some given ductility criteria, eventhough workhardening adaptation has occured. The bounds on plastic deformations are formulated by means of a quadratic but convex function depending on some fictitious plastic strain. The nonlinear mathematical programming problem so obtained is linearized by a suitable decomposition of the nonlinear constraint into two equivalent constraints. The analysis problem is identified as a linear constrained maximization problem. The optimal design problem in the presence of limited ductility constraints, is identified as a nonlinear constrained minimization problem, the nonlinearity being due to both the objective function and to one only of the constraints: the latter however are herein shown to be suitably linearized. The optimality conditions of the mathematical programming problem are also studied and discussed, and the theory is applied to a case-study structure.

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Sommario Si studiano l'analisi (determinazione del moltiplicatore al collasso) ed il progetto ottimale di piastre radialsimmetriche di materiale rigido-plastico, assumendo come criterio base l'adattamento per incrudimento ed utilizzando un modello continuo. I carichi sono variabili in modo quasistatico all'interno di un dato dominio. In tale studio si riconosce il ruolo cruciale giocato dalla valutazione dell'entità delle deformazioni plastiche, sviluppate durante la (incognita) storia di carico reale, deformazioni che possono risultare eccessive rispetto a certi requisiti, anche in presenza di adattamento. Viene quindi ricercata una maggiorazione a priori delle deformazioni e si perviene ad una forma di tipo non lineare; il vincolo non lineare che ne scaturisce viene sdoppiato in due vincoli più semplici ad esso equivalenti. La formulazione del problema di analisi si identifica in un problema lineare di massimo vincolato. La formulazione del problema di progetto si identifica in un problema di minimo vincolato, con funzione obiettivo e vincoli non lineari, ma facilmente linearizzabili. Si studiano anche le condizioni di ottimalità del problema di progetto. Una applicazione conclude il lavoro.

     

On plastic dynamic flexure of plates

Summary This paper discusses the rigid-plastic flexure of plates subjected to dynamic loading. A piecewise linear yield surface and small displacements are assumed. The plate is discretized by assuming the constant moment mixed triangular element of Herrmann. Under the above assumptions the dynamic loading of plates is turned into a problem in linear inequalities which is a priori discretized in time. An approximate technique is developed, which takes into account the influence of the strain-hardening and the strain rate sensitivity of material. Some numerical examples of plates subjected to a given velocity distribution confirm the efficiency of this approach.

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Sommario Si analizza il problema della flessione rigidoplastica di una lastra soggetta a carichi dinamici. La lastra viene discretizzata assumendo l'elemento triangolare misto a stato di sollecitazione costante di Herrmann. Tale assunzione insieme alle ipotesi di piccoli spostamenti e di superficie di plasticizzazione lineare a tratti, consente di ricondurre il caricamento dinamico della lastra ad un problema retto da diseguaglianze lineari, che risulta discretizzato a priori nel tempo. Attraverso una tecnica approssimata si valuta l'influenza che hanno sulla risposta dinamica della struttura, l'incrudimento e la sensibilità alle velocità di deformazione del materiale. L'efficienza del procedimento è verificata attraverso alcuni esempi numerici di lastre di diversa geometria sottoposte ad una prefissata distribuzione di velocità.

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Research supported by the National Research Council (C.N.R.P.A.d.I.S.) of Italy.     

A basis for the linear theory of elastic stability of structures

Summary In this paper a consistent linear theory of stability of elastic structures is given and the problem of the neutral equilibrium of a continuum composed by an elastic material with high stiffness to the strains is studied. All the particular cases, as the buckling of beams, plates, shells etc., ensue and their classification in regard of their significance is given. There are comparisons with other theories.

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Sommario In questa Nota viene formulata una consistente teoria lineare della stabilità dell'equilibrio delle strutture elastiche e si tratta il problema dell'equilibrio indifferente di un continuo costituito da un materiale elastico con elevata rigidità alla deformazione. Tutti i casi particolari di instabilità euleriana delle travi, piastre, gusci ecc., discendono come casi particolari e di questi viene fornita una classifica nei riguardi della loro importanza. Si fanno infine confronti con altre trattazioni.

     

A quasi-elastoplastic rate-sensitive model for the yielding behaviour

Summary The authors present a mathematical model describing the typical behaviour of metallic materials at room temperature. The model is composed of parallel-connected elements, each following a highly nonlinear viscoelastic law, close to the elastoplastic limit.The constitutive law is generalized in a differential form suited for electronic processing together with the usual programs for nonlinear structural analysis, based on the displacement method and on step-by-step integration.The characteristic parameters of the material are obtained from an experimental, constant strain-rate, stress-strain diagram and from a simple relaxation test.The model reproduces the experimental curves and shows the strain-rate sensitivity, flow under constant load, relaxation, Bauschinger effect and return delay after unloading. A first confirmation of the model effectiveness is documented by bending tests on copper strips.

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Sommario Viene presentato un modello matematico atto a descrivere il tipico comportamento duttile dei materiali metallici nelle condizoni di temperatura ordinaria.Il modello, di tipo composito, è ottenuto connettendo in parallelo più elementi viscoelastici altamente nonlineari, prossimi al limite di perfetta elasto-plasticità.La legge costitutiva viene generalizzata in veste adatta all'implementazione su elaboratore elettronico con i programmi d'analisi non lineare delle strutture che siano fondati sul metodo delle deformazioni e sull'integrazione passo a passo. I parametri caratterizzanti il materiale si deducono agevolmente dal diagramma sperimentale sforzi-deformazioni ottenuto a velocità di deformazione costante e da una semplice prova di rilassamento.Il modello riproduce le curve sperimentali mettendo in evidenza la sensibilità alla velocità di deformazione, lo scorrimento a carico costante, il rilassamento, l'effetto Bauschinger e il ritardo del ritorno dopo lo scarico.Una prima conferma sperimentale della validità del modello viene documentata da prove di flessione eseguite su piattine di rame.

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A first version of this paper was presented at the 6th National A.I.M.E.T.A. Congress, held at Genoa, October 7–9, 1982.     

Regular and singular elastic-plastic solutions to the cracked half-space under anti-plane shear

Summary A classical problem first investigated by Bilby, Cottrell and Swinden is re-examined from the point of view of uniqueness. By formulating the problem in the stress (hodograph) plane it is possible to construct an entire class of singular solutions in a simple closed form. The length of the plastic zone is of arbitrary length. Sufficient conditions are presented which are used to establish a uniqueness theorem. Singular solutions are ruled out if the behaviour of the second order stress terms are prescribed at infinity or if the potential function in the stress plane is required to be bounded.

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Sommario Si riesamina dal punto di vista della unicità un classico problema studiato per la prima volta da Bilby, Cottrell e Swinden. Formulando il problema nel piano delle sollecitazioni (odografo) è possibile costruire un'intera classe di soluzioni singolari in una forma chiusa semplice. La lunghezza della zona plastica è arbitraria. Si presentano condizioni sufficienti che vengono usate per stabilire il teorema di unicità. Soluzioni singolari vengono escluse se si prescrive il comportamento all'infinito dei termini di sollecitazioni di secondo ordine o se si richiede che la funzione potenziale nel piano delle sollecitazioni sia limitata.

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This investigation was partially supported by the National Research Council of Canada.     

On the energy method in the non-linear theory of thin plates

Summary The equilibrium configuration of a thin plate under normal pressure is studied. A variational non-linear treatment of the problem is considered, taking into account the bending stresses and allowing large deflections.Existence, uniqueness, and regularity of solutions are obtained.

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Sommario Si studia il problema non lineare della configurazione di equilibrio di una piastra sottile caricata normalmente nel suo piano medio, tenendo conto delle tensioni di natura flessionale e in un regime di spostamenti moderatamente grandi.Con una tecnica variazionale si studiano l'esistenza, l'unicità, e la regolarità delle soluzioni del problema.

     

Uniqueness of the concentrated-load problem in the linear theory of couple-stress elasticity

Summary It is pointed out that there exist at least two different solutions of the problem of concentrated loads in the two-dimensional, linear couple-stress theory when the formulation is based on the usual uniqueness theorem. An extension of this uniqueness theorem is proved. A set of conditions sufficient for uniqueness is found and is used in a formulation of the concentrated load problem which results in a unique solution. The significant new condition is that the order of the stress singularity is limited to O(r^–1), where r is the distance from the concentrated load.

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Sommario Si fa notare che esistono almeno due soluzioni diverse del problema dei carichi concentrati nella teoria lineare, a due dimensioni, delle coppie di volume quando la formulazione è basata sul teorema di unicità.Si dimostra una estensione di questo teorema di unicità. Si trova un gruppo di condizioni sufficienti per l'unicità; queste condizioni vengono usate nella formulazione del problema del carico concentrato che dà luogo ad un'unica soluzione.La nuova condizione significativa è che l'ordine della singolarità dello sforzo è limitato a O(r^–1), dove r è la distanza dal carico concentrato.

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This work is a result of research sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy, under Contract Nonr-610(06).     

Discontinuity wave propagation in continua with dislocations

Summary The problem of discontinuity wave propagation is treated for an elastic body with a continuous distribution of dislocations and explicit values for speeds are obtained.

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Sommario Nell'ambito della teoria dei continui elastici con una distribuzione continua di dislocazioni viene affrontato il problema della propagazione di onde ordinarie di discontinuità e vengono dati esplicitamente i valori delle velocità.

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Work done in the sphere of activity of the G.N.F.M. of Italian C.N.R.     

A bilateral convergent bounding technique for plastic deformations

Summary For the class of elastic perfectly plastic discrete structures, subjected to a dynamic loading history, a bilateral bounding technique for plastic deformations has been studied. The computation of the bound is founded on the concept that to obtain it, any history of fictitious plastic deformations can be used, if only admissible. Such history is obtained by solving a sequence of linear programming problems (LPPs) with a multiple step compared to the step of the sequence of the quadratic programming problems (QPPs) adopting in the classic elasto-plastic analysis. The constraints of the LPPs coincide with the constraints of the QPPs, while the objective function is a linear combination of variables with suitable weight coefficients. The technique seems to require a rather reduced computational effort compared to both the stepwise analysis problem and the other bounding techniques.

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Sommario Per la classe delle strutture discrete a comportamento elastico perfettamente plastico soggette ad una assegnata storia di carico dinamico, si studia una tecnica di delimitazione bilaterale delle deformazioni plastiche. Il calcolo della quantità maggiorante si basa sul concetto che per la costruzione di essa può essere utilizzata una storia qualsiasi di deformazioni plastiche fittizie, purchè ammissibile. Tale storia viene ottenuta risolvendo una sequenza di problemi di programmazione lineare (PPL) con passo multiplo rispetto a quello della sequenza di problemi di programmazione quadratica (PPQ) della classica analisi elasto-plastica. I vincoli dei PPL coincidono con i vincoli dei PPQ, mentre la funzione obiettivo è una combinazione lineare delle variabili con coefficienti di pesatura scelti secondo un particolare criterio. La tecnica sembra richiedere un impegno computazionale alquanto ridotto sia rispetto al problema di analisi al passo, sia rispetto ad altre tecniche di delimitazione.

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Revised text of a paper presented at the Fourth Meeting of the Italian Group for Computational Mechanics, held in Padova, June 21–23, 1989.     

Two arc cracks around a circular rigid inclusion

Summary The problem of two symmetric arc cracks lying between a rigid circular inclusion embedded in an infinite matrix under biaxial loading at infinity is considered. By using the complex variable tecnique, the boundary value problem is solved and stress and displacement components are calculated along the inclusion boundary. Moreover, investigating the local stress field, a stress criterion, already proposed by authors, allowing either the crack extension at the interface or its deviation into the matrix to be taken into account, is applied to study the fracture response of the elastic system. The critical applied loads as well as the angle of the incipient crack extension are expressed in terms of the central angle subtended by the crack arcs.Finally the biaxial load effects are graphically shown and discussed.

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Sommario Si considera il problema piano di due «craks» simmetrici all'interfaccia tra una inclusione circolare rigida e la circostante matrice, in regime di carico biassiale. Facendo uso della tecnica delle variabili complesse, viene risolto il problema dei valori al contorno, ricavando altresi le espressioni delle tensioni e degli spostamenti lungo il contorno dell'inclusione. Inoltre, applicando un criterio tensionale, già proposto dagli autori, che consente di studiare sia la estensione del crack all'interfaccia che la sua deviazione nella matrice, si analizza la risposta del sistema considerato. I valori critici dei carichi applicati, nonchè l'angolo di frattura, risultano espressi in funzione dell'angolo al centro sotteso dai cracks.Infine, vengono illustrati graficamente e discussi gli effetti del carico laterale.

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Financial support of the National Research Council (C.N.R.) (research contribution N. 79.01625.07) is gratefully acknowledged.     

A quadratic programming approach for certain classes of non linear structural problems

Summary The search for the deviation from the linear elastic, of the response of a nonlinear discrete structure to given loads, is formulated for various classes of cases. All the problems considered are shown to be reducible to a single mathematical model: the quadratic program with sign constraints only. The Kubn-Tucker theorem for quadratic programming directly supplies the appropriate extremum principles, for which some physical interpretations are proposed. Other results of quadratic programming theory prove to be useful in the discussion of the structural problems considered.

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Sommario Si considerano certe categorie di strutture costituite da un numero discreto di parti a comportamento non lineare e si formula il problema della ricerca dello scostamento del loro stato di sforzo e deformazione per dati carichi, da quello che si avrebbe in regime elastico lineare. Nei vari casi considerati il problema si riduce ad un programma quadratico con variabili soggette solo a restrizioni di segno. Il teorema di Kuhn e Tucker per programmazione quadratica fornisce gli opportuni principi di estremo, per i quali si propongono interpretazioni fisiche. Altri teoremi di programmazione quadratica si rivelano utili nel discutere la soluzione dei problemi formulati.

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This research was conducted during the author's stay at the Engineering Department of Cambridge University, England, with the financial support of a N.A.T.O. fellowship 1965–66. The author wishes to thank Professor Sir John Baker, Head of the Department, for the kind hospitality, and the C.N.R. (National Research Council) for the award of the fellowship.     

On shakedown of elastic plastic solids

Summary Making reference to elastic perfectly plastic solids subjected to cyclic loads, the problem of the shakedown load factor is considered and the relevant Euler-Lagrange equations are discussed. It is proved that the solution to these equations describes the gradient, with respect to the load multiplier, of the steady-state response of the solid body to the cyclic loads at the shakedown limit, and that it thus enables one to predict the nature of the impending collapse. These results are then extended to the more general case of loads varying within a given load domain.

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Sommario Facendo riferimento a un solido elastico perfettamente plastico soggetto a carichi ciclici, si considera il problema del moltiplicatore dei carichi ad adattamento e si studiano le equazioni di Eulero-Lagrange ad esso associate. Si trova che la soluzione di queste equazioni descrive il gradiente, rispetto al moltiplicatore dei carichi, della risposta stazionaria del solido ai carichi ciclici al limite di adattamento, e che quindi essa consente di predire la natura del collasso incipiente, Questi risultati vengono quindi estesi al caso più generale di carichi variabili in un dato dominio.

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This paper is part of a research project sponsored by the National Research Council (CNR) of Italy.     

Boundedness,continuity, positivity and dominance of the solution of the neutron boltzmann equation

Summary In this paper the behavior of the solution of the integral form of the neutron transport Boltzmann equation is investigated for slab and sphere geometry. The study of the properties of the integral transport operator K leads to interesting results concerning the following subjects: boundedness, continuity and positivity of the total flux; existence of a dominant critical eigenfunction; spectral properties of K; dependence of the critical eigenvalue on the dimensions of slab and sphere; uniform convergence of the Neumann series in subcritical conditions; approach to the criticality; summability of the solutions and neutron conservation.

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Sommario In questo lavoro viene esaminato il comportamento della soluzione della forma integrale dell'equazione di Boltzmann del trasporto dei neutroni nel caso di una lastra piana e di una sfera. Lo studio delle proprietà dell'operatore integrale del trasporto K porta ad interessanti risultati riguardanti i seguenti argomenti: limitatezza, continuità e positività del flusso totale; esistenza di una autofunzione dominante critica; proprietà spettrali di K; dipendenza dell'autovalore critico dalle dimensioni della lastra piana e della sfera; convergenza uniforme della serie di Neumann in condizioni sottocritiche; avvicinamento alla criticità; sommabilità delle soluzioni e conservazione dei neutroni.

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Work performed under contract C.N.R.     

Elastic stability of a uniform cantilevered beam on elastic foundation with a shear layer subjected to a follower force

Summary The problem of the elastic stability of a uniform contilevered beam on an elastic elements connected by shear layers and subjected to a follower force, is there reopened.The critical loads for several values of the tangency coefficient and modulus of the foundation are shown.

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Sommario Viene riproposto il problema della stabilità elastica di una trave uniforme a sbalzo su una fondazione generalizzata, sottoposta ad una forza di tipo follower.Si indicano i valori dei carichi critici per differenti valori del coefficiente di tangenza e delle costanti della fondazione.

     

Finite element techniques in plane limit problems

Summary Limit analysis of plane structures is formulated by applying a finite element linear programming technique that was previously proposed by the same author.Three different element models are considered: the constant stress compatible model, the linear stress equilibrium model, the quadratic stress equilibrium model. Some notes are devoted to the construction of the stress fields with reference to the adopted method.Some suitably chosen numerical applications are then proposed in order to compare the different approaches as far as numerical efficiency and result accuracy are concerned. The possibility of improving the linear programming procedure is also discussed, and in particular a method is proposed to find out an initial feasible vector on the basis of mechanical considerations, in order to overcome the necessity of the so-called M-phase of the simplex method.Numerical results are given together with the comments.

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Sommario Si formula il problema dell'analisi limite di strutture piane secondo un metodo degli elementi finiti già proposto dall'autore.Nel presente lavoro vengono considerati tre diversi modelli di elementi e precisamente: il modello congruente a sforzo costante e quelli equilibrati a campi di sforzo lineare e quadratico. La costruzione dei tre modelli viene presentata in dettaglio nell'ambito del metodo adottato.Vengono quindi presentati alcuni esempi di applicazione opportunamente scelti, con lo scopo di confrontare l'efficienza numerica e l'accuratezza di risultati ottenuti con l'impiego dei tre modelli. Si discute inoltre la possibilità di migliorare l'efficacia dell'algoritmo matematico ed in particolare si suggerisce un metodo che, individuando una soluzione ammissibile di partenza sulla scorta di considerazioni meccaniche, permette di evitare la cosiddetta fase M della programmazione lineare.I commenti sono accompagnati dai risultati numerici.

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Research supported by the C.N.R. (Italian National Research Council).     

Propagation of periodic long waves

Summary A method is developed for the computation of the steady solution of the shallow water equations with quasi periodic boundary conditions. Because of dissipation the influence of the initial conditions becomes negligible with increasing time and the solution finally depends on the boundary conditions. The unknowns variables (velocity and surface elevation) and the boundary conditions are developed in power series of a small perturbation parameter. The problem is then transformed in a sequence of linear problems which have the same associated homogeneous problem. By separating the time and space variables in the homogeneous problem we obtain an homogeneous elliptic problem of which we compute the first eigenvalues and eigensolutions. These are related to the characteristic oscillations of the water in the basin. The solution of each linear problem is then obtained as an eigensolution expansion with time dependent coefficients. These coefficients are solutions of ordinary differential equations which can be solved directly without proceeding step by step in time. In this way we are reduced to a stationary problem i.e. the determination of the eigenvalues and eigensolutions of the elliptic problem and to the computation of several integrals needed for the determination of the time dependent coefficients. A first test of the method has been carried out for a one-dimensional problem i.e. the tidal wave in a canal of finite length and constant depth. In this case the various steps of the procedure outlined above can be performed analitically. The results have been compared with those obtained by a step by step numerical integration of the shallow water equations. The agreement between these sets of results is good for the range of values of the parameters currently used in the applications.

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Sommario Viene presentato un metodo per il calcolo della soluzione a regime delle equazioni delle onde lunghe, dipendente dalle sole condizioni al contorno quasi-periodiche, dopo aver mostrato che l'influenza delle condizioni iniziali diventa col tempo trascurabile a causa del termine di resistenza. Il metodo si basa sullo sviluppo in serie di potenze di un piccolo parametro sia delle incognite (velocità ed elevazioni del pelo libero) sia delle condizioni al contorno al fine di trasformare il problema non lineare in una serie di problemi lineari aventi lo stesso problema omogeneo associato. Con la separazione delle variabili spazio, tempo quest'ultimo problema viene ricondotto ad un problema ellittico omogeneo di cui si calcolano i primi autovalori ed autosoluzioni. Da ultimo la soluzione di ciascun problema lineare è ottenuta come sviluppo in serie di autosoluzioni a coefficienti dipendenti dal tempo: questi si ricavano risolvendo analiticamente delle equazioni differenziali ordinarie. Si elimina cosi la necessità di procedere passo passo nel tempo analogamente ai classici metodi armonici di soluzione di sistemi lineari. Riassumendo, l'applicazione del metodo riconduce alla soluzione di un problema stazionario (determinazione di autovalori ed autosoluzione del problema ellittico) e quindi al calcolo dei vari integrali necessari per la determinazione dei coefficienti temporali. Il metodo è stato provato nel caso semplice della propagazione di onde di marea in un canale di lunghezza finita e sezione costante. Per questo esempio i vari passi di calcolo possono essere svolti analiticamente. I risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti dalla integrazione numerica delle equazioni col metodo delle caratteristiche, ottenendo un buon accordo.

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Work sponsored by the CNR (National Research Council) in the framework of Project ?Conservazione del suolo? Subproject ?Dinamica dei Litorali? Publ. n° 46.     

Optimum plastic design for multiple sets of loads

Summary We study optimum plastic design of structures made up, or conceived as assemblies of finite elements, each having an elemental piece-wise linear rigid-plastic behaviour. Since cost function linearly dependent on design variables are considered, optimization problems in linear programming are encountered. Allowance is made for design dependent mass forces, and for some technological constraints. The design growing process is studied in the case of various sets of alternative applied loads, and the optimality conditions are written in a proper geometrical form which leads to a generalization of the concept of Foulkes mechanism.

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Sommario Si studia il progetto plastico ottimale di strutture formate di elementi finiti, ciascuno avente un comportamento globale rigido-plastico linearizzato a tratti. Si considerano funzioni costo dipendenti linearmente dalle variabili di progetto, e pertanto si va incontro a problemi di ottimizzazione nell'ambito della programmazione lineare. Tenendo conto delle forze di massa e di eventuali vincoli tecnologici, viene analizzato il processo di crescita del progetto nel caso in cui la struttura è sottoposta a diversi sistemi alternativi di carichi, e si scrivono le condizioni di ottimalità in una appropriata forma geometrica, la quale conduce a una generalizzazione del concetto di meccanismo di Foulkes.

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Capital bold-face letters are matrices, small bold-face letters are vectors. 0 is a vector having only zero entries. The tilde posed upon a vector or a matrix means “traspose of”. Other meanings are: