从一道高考极限问题谈起

问题1(2006福建卷16)如图1,连接△ABC各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2,如此继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列的三角形趋向于一个点M,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是.对这一问题,如果我们将A,     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

三角形外心的一个性质

定理三角形的外心和各顶点连线的中点,与相应顶点对边中点所连成的三线共点,且该点恰在三角形的欧拉线上.证明设O是△ABC的外心,OA、OB、OC中点分别为A1、B1、C1,BC、CA、AB边的中点依次为A0、B0、C0(如图1).图1设H是△ABC的垂心,HA、HB、HC的中点分别为A2、B2、C2,则知:直线OH就是△ABC的欧拉线.连接A0B1、A0C1,B0C1、B0A1,C0A1、C0B1,易知有A0B1=∥12CO,B0A1∥=21CO,从而,有A0B1=∥B0A1,所以四边形A0B0A1B1是平行四边形.不妨设,A0B0A1B1的对角线A0A1与B0B1相交于点K.于是,有A0K=A1K,B0K=B1K.同理B0C0…     

透视一道高观点的高考题

2006年高考福建卷（理）第16题为： 如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边的中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是__．     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

试题 　　1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)……     

用向量长表示点面距离的探讨

例题 如图,在各棱长都是2的正三棱柱ABC—A1B1C中,D是CC1的中点,求点C到A1BD的距离．     

借助《几何画板》迭代功能展示课本图形

高中数学课程提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容.教材中许多问题涉及的图形,与操作的次数有关,但学生只能从书本上看到静态图形.如若借助《几何画板》的迭代功能,则可展示图形的动态效果,这将使学生的理解与感受更为深刻.下面结合苏教版高中数学教材中的一些问题谈一谈具体的做法,供大家参考.问题1如图1(1),在边长为1的等边三角形ABC中,连结各边中点得△A1B1C1,再连结△A1B1C1各边中点得△A2B2C2,……如此继续下去,试证明S△ABC,……是等比数列.(必修5 P49练习4)作法 步骤1 在平面上作线段BC,以BC为边作正三角形ABC.取BC中点A1,AC中点B1,AB中点C1.     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

对一篇文章的重要补充

例题如图,在棱长都是2的正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是CC1的中点,求点C到面A1BD的距离．（2007年福建高考题）     

一道课本习题与费马点

<正>一、问题提出:苏科版实验教科书九年级上册第一章第39页《图形与证明二·复习题》第14题如下(图1):三个城市A、B、C分别位于一个等边三角形ABC的三个顶点处,要在这三个城市之间铺设通信电缆,现设计了三种方案:(1)连接AB、BC;(2)连接BC,连接点A与BC的中点D;(3)找出到△ABC三个顶点距离相等的点     

一道中考模拟试题的多解

<正>一、原题呈现(2017年江苏省兴化市九年级第二次模拟考试第25题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,cos∠ABC=3/5,点D在边AC上,且CD=7/5,动点P从点A开始沿边AB向点B以1个单位/s的速度移动,当点P到达B点即停止运动.设运动时间为t(s).解答下列问题:(1)M、N分别是DP、BP的中点,连接MN.(1)分别求BC、MN的值;(2)求在点P从点A匀速运动到点B的过     

一个模型的生长点

<正>图1模型如图1,在直线l的同侧有两点A、C,在直线l上找一点B使AB+BC的值最小.如图1,显然我们先找到点A关于直线l的对称点A′,连结A′C交直线l于点B,则此时AB+BC=A′C最小.证明简单,这里从略.生长点一一个动点图2例1(第16届希望杯赛题)如图2,正△ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC上的动点,连结PB和PD得到△PBD.求:(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;(2)△PBD的周长的最小值.简析(1)略;(2)△PBD中,因为点B和点D是定点,所以BD的长度唯一确定,又正△ABC的边长为a,即BD=12a,所以若求△PBD的周长的最小值,只需求出PB+PD的最小值即可,此时已经     

上期(82年第四期)问题解答

1.在△ABC中,AD是BC边上的高(长为入),BC边长为a,将BC边。等分,得分点B:,BZ,…B。_‘,在高月D上依次截取月D的中点A:,AlD的中点A:,月ZD的中点月:,…,/1。一:D的中点A,一,.联接月;B,,月:C得△A:B:C,…,联2’儿—几 n21222”一1 1 2月’ l1一万’歹芍.1一n+接A。一,B。一l,A。一;C得△A。一,B。一:C.设所得△的面积分别为S;,S:,…S。.求: 1)P,=万,+52 十…十S,;故尸,:一补“(2一笋;一号+2泛1+含 l\1,/_2 .11\户二以一万““、艺一万十万’户芍)·2)l‘。P。.解:由题意知△A:B:C, ~,1,/_2 11\.一乞’”,八一‘产丁““又“…     

椭圆的一个性质

笔者近期在研究圆锥曲线时,发现了椭圆的一个与面积比有关的美妙性质,按发现过程,阐述如下:定理1 A,B分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,点M为线段AB的中点.直线OM交椭圆于C,D两点(其中O为坐标原点).△ABC与△ABD的面积分别记为S1,S2,则     

解答数学题中的逻辑问题

数学是培养逻辑思维的,但在解答数学题 时又得注意其中蕴含的逻辑问题. 例1　(选择题)在△ABC中,a、b、c分别表 示△ABC的内角A、B、C所对的边,若 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则 △ABC是(　　) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (C)等腰三角形或直角三角形 见到此题,一般会先进行繁复的三角变换, 其实不必———因为四个选项是互相包容的:(A) 对(B)一定对,(C)对(B)也一定对,而(B)对 (D)一定也对,所以,作为单项选择题,只可能选 (D),根本不需要对条件进行演绎! 例2　已知α∈0,π2,β∈π2,…     

谈一道竞赛题

80年代有这样一道竞赛题 :设G为△ABC的重心 ,分别延长AG ,BG ,CG依次与△ABC外接圆交于A1,B1,C1,则有A1G +B1G +C1G≥AG +BG +CG .1990年第 31届IMO有一道预选题 ,将上面的重心G换成内心I ,即为 :设I为△ABC的内心 ,分别延长AI ,BI,CI依次与△ABC外接圆交于A1,B1,C1,则有A1I +B1I +C1I≥AI +BI +CI .其证明方法用Erd s不等式较为简单 (注 ) .十分自然 ,设H为锐角△ABC的垂心 ,分别延长AH ,BH ,CH依次与△ABC的外接圆交于A1,B1,C1,则A1H +B1H +C1H≥AH +BH +CH是否成立呢 ?我们的断言是 :A1H +B1H +C…     

一道全国高中数学联赛试题的研究

2004年全国高中联赛第4题:设O点在△ABC内部,且有(?)+2(?)+3(?)=(?),则△ABC的面积和△AOC面积之比().(A)2(B)3/2(C)3(D)5/3答案设D、E分别为AC、BC的中点,因(?)+2(?)+3(?)=(?)(?)+(?)=-2((?)+(?))2(?)=-4(?)     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

2006高考数学全国卷Ⅱ

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=A.B.{x|00)的反函数为A.y=ex+1(x∈R)B.y=ex-1(x∈R)C.y=ex+1(x>1)7.…     

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……