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1.
<数学通报>2010年第3期刊登的第1845号问题是:
已知a>0,b>0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值.
供题人给出的解法用了增量法、三角代换,过程比较曲折.笔者看到此题时,发现其具有几何背景,探究后发现是中学数学解析几何中的一个常见题的变式. 相似文献
2.
《数学教学》2012年第12期的数学问题874为:题目 已知 m,n∈N+,m,n≥2,xi∈R+(i=1,2,…,m),(^m∑i=1)xi=S,n∈N+,求证:(^m∑i=1)^n√xi/S-xi≥.看完此题,笔者不禁想起了文[1]中的不等式:题源1已知a,b,c为正数,求证:√a/(b+c)+√b/(c+a)+√c/(a+b)〉2。 相似文献
3.
在2011年2月号问题中有一个编号为1990的问题,如下:
已知a>0,b>0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值.
在2011年第三期上,王勇老师用增量法进行了巧妙的解答,其中主要利用的是三角替换,三角恒等式,基本不等式等知识,是从代数的角度对该问题进行的解答. 相似文献
4.
新教材第二册上P30复习参考题第 8题 :已知a >b >c ,求证 :1a -b+ 1b -c+ 1c -a>0 .现对该题进行如下推广 .推广 1 若a >b >c ,m ,n均为正数 ,则 ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c-a ≥ 0 .证 ∵ (a -c ) ( ma -b + nb -c) =m(a -b +b -c)a -b + n(a -b +b -c)b -c =m +n + [m·b -ca -b+n·a -bb -c]≥m +n + 2mn =(m +n) 2 ,故 :ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c -a ≥ 0 .推广 2 若a1>a2 >a3 >… >an >an + 1,则1a1-a2+ 1a2 -a3+… + 1an-an + 1+ n2an + 1-a1≥ 0证 利用柯西不等式 .∵ (an -an + 1) ( 1a1-a2+ 1a2 -a3+… +1an-an + 1) =[(a1-a2 ) … 相似文献
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1 均值不等式对任意的非负数a,b,总有(√a-√b)2≥0成立,左边展开便有:a+b-2√ab≥0,即a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立). 相似文献
6.
最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b>0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b>0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2. 相似文献
7.
郭要红老师在文[1]中提出如下猜想:
“a,b>0,n≥2,n∈N,0<λ≤n,则n√a/a+λb+n√b/b+λa≤2/n√1+λ.”
文[2]对此猜想给出了一个初等的证明方法.笔者拜读此文受到启发,类比推理并修正获得三个一般性的结论,并且探索到了简明的初等证明方法. 相似文献
8.
一道东南数学奥林匹克试题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不… 相似文献
9.
2011年高考数学湖北卷21题(1)已知函数f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(2)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1b1a2b1…anb1≤1; 相似文献
10.
图的联结数与[a,b]-因子存在性 总被引:2,自引:0,他引:2
设G是一个n阶图,a,b,m1,m2是非负整数且满足1≤a<b和b≥m1.H1和H2是图G的两个边不交的子图且满足|E(H1)|=m1和|E(H2)|=m2.证明下列结论:若图G的联结数bind(G)>(a+b-1)(n-1)/bn-(a+b)-2(m1+m2)+2且n≥(b-1)(a+b-1)(a+b-2)+2b(m1+m2)/b(b-1),则图G有一个[a,b]-因子F满足E(H1)(∈)E(F)和E(H2)∩ E(F)=φ.进一步指出这个结果是最好的. 相似文献
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12.
1引言
《数学通报》2020年第9期问题2562提出了一个不等式如下:
问题2562[1]设 a,b,c>0,且 a+b+c=3,证明:
1-√ab/1+√ab+1-√bc/1+√bc+1-√ca/1+√ca≥0.(1)
《数学通报》2020年第10期刊登了问题提供者给出的一种证明,[2]文[3]给出了(1)式的另一种... 相似文献
13.
三整数a、b、c是直角三角形的三边,c是斜边,直角边a是偶数,且等式√(a+b+c)=a-√a成立,试求面积SRt△.这是《中学生数学》2012年第3期课外练习题,原解(第17页)为:若n是正整数,则符合题意的a=2n,b=n2-1,c=n2+1是Rt△的三边. 相似文献
14.
2005年重庆高考数学卷第22题,原题为:数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1),记bn=1/an-1/2,要求根据计算b1,b2,b3,b4的值再求数列{bn}的通项公式.…… 相似文献
15.
2011年高考数学江西卷文科第17题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值;(2)若a=1,cosB+cosC=2√3/3,求边c的值. 相似文献
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17.
题目 设a,6,c∈R+,a+b+c=1,则M=√3a+1+√3b+1+√3c+1 的整数部分 ∈是( ).
参考答案是这样求M的下界值的: 因为x∈(0,1)时,有x>xn(n∈N且n≥2),所以√3x+1>√x2+2x+1=x+1.
即√3a+1+√3b+1+√3c+1>a+b+c+3=4. 相似文献
18.
2003年第64届普特兰数学竞赛A2题:设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn都是非负实数,证明:(a1a2…an)1n (b1b2…bn)1n≤[(a1 b1)(a2 b2)…(an bn)]1n.对该试题的证明本文不做探讨,以下研究该不等式题的推广及其应用.推广如果x1i,x2i,…,xmi,(i=1,2,…n)为非负实数,则:(x11x12…x1n)1n ( 相似文献
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《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为:
已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1>0.
(1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围;
(2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0)
原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3. 相似文献