一道高考难题的另证及加强

题目(2008年江西理)已知函数 f(x)=1/√1+x+1/√1+a+√ax/ax+8,x∈(0,+∞). (1)当a=8时,求f(x)的单调区间; (2)对任意正数a,证明:1＜f(x)＜2. 该题难度之大,立意之深刻在历年的高考试题中实属罕见,因此该题被称为高考历史上最难的一道题.     

一道高考题的两个简单证明

2008年高考数学江西理科卷压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）.     

竞赛一题的本质探究

(第27届加拿大数学奥林匹克)设f(x)=9x/9x+3,计算和f(1/1996)+f(2/1996)+…+f(1995/1996).此题具体解答请参阅文[1],这里重点探讨试题的命制本质及隐含的一系列结论.试题本质若函数f(x)=ax/ax+1/2a(a>0,a≠1),则f(x)+f(1-x)=1.证明∵f(1-x)=a1-x/a1-x+1/2a=1/2a/ax+1/2a,∴f(x)+f(1-x)=ax/ax+1/2a+1/2a/ax+1/2a=1.得证.     

综合题新编选登

题 8 2 　已知函数 f(x) =- x3 +ax2 +b(a,b∈R) .1)若函数 y=f(x)图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求证 :- 3相似文献   

韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

错题、错解、巧解

错题 :数学通讯 2 0 0 3第 1 0期有这样一道新编综合题 :已知函数f(x) =-x3+ax2 +b(a ,b∈R)1 )若函数 y =f(x)图象上任意不同两点的连线斜率小于 1 ,求证 :-3   

組合数級数及其应用

Ⅰ.組合数級数与它的和由组合公式: C_x~r=x(x-1)(x-2)…(x-r+1)/r!, C_(ax+b)~r=(ax+b)(ax+b-1)(ax+b-2)…(ax+b-r+1)/r!, C_(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s)~r=(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s)..(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+ a_s-1)(a_0x~s++a_1x~(s-1)+…+a_s-2)… ..(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s-r+1)/r!, 可知C_x~r,C_(ax+b)~r为x的r次函数,C_(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s)~r为x的rs次函数。因此当x取連續整数时,C_x~r,c_(ax+b)~r的数列是r阶等差級数;C_(a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+as)~r的数列是rs阶等差級数。或者說:从連續整数或等差級数(x取連續整数时ax+b的数列是等差級数)中取r的組合数的数列是r阶等差級数;从s阶等差級数(x取連續整数时a_0x~s+a_1x~(s-1)+…+a_s的数列是s阶等差級数)中取r的組合数的数列是rs阶等差級数。     

数形结合巧解题一例

例方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一非零 根x1,方程-ax2+bx+c=0有一非零根x2, 求证:方程ax2/2+bx+c=0必有一根介于x1,x2 之间．     

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

通过问题视角转换改进解题策略

一个数学命题可以有不同的表述方式,例如,“集合{x|ax2+ax+1>0}=R”等价于“f(x)=ax2+ax+1的函数值恒正”,等价于“f(x)=ax2+ax+1的图象在X轴的上方”,也等价于“f(x)=ax2+ax+1的最小值大于0”.因此在数学教学过程中,培养学生进行这种转换的能力,不但可以改进学生的解题方法与策略,更具有深远的教育意义.一般地,数学问题之间的转换体现在下列四个方面:1.问题的不同表述方式之间的转换同样的数学问题背景,问题表述方式可以不同,例如2001年上海市高考的第12题的原始数据来源于2001年6月12日的《新民晚报》第四版:我国目前已经成为世界上受荒…     

用行列式求通过定点的曲线与曲面方程

线性方程组的理论中有一个基本结论 :含有 n个方程 n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零。利用这个结论 ,我们可以建立用行列式表示的直线、平面和圆的方程 ,也可以求出一般多项式的表达式。如果平面上有两个不同的已知点 ( x1,y1) ,( x2 ,y2 ) ,通过这两点存在惟一的直线。设直线方程为 :ax+by+c=0 ,且 a,b,c不全为零。由于 ( x1,y2 ) ,( x2 ,x2 )在同一直线上 ,所以它们满足上述直线方程 ,即 :ax1+by1+c=0 ,ax2 +by2 +c=0。因此有ax +by +c=0ax1+by1+c=0ax2 +by2 +c=0　　这是一个以 a,b,c为未知量的齐…     

谈谈构造函数法的几点应用

<正>一、构造函数求解恒成立问题,弥补参数范围中的"等号"问题例1已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)若函数y=f(x)的图像上任意不同的两点的连线的斜率小于2,求a的取值范围分析本题学生易将图像上任意不同的两点的连线的斜率与f′(x)混为一谈,错解为:由f(x)=-x3+ax2+b得f′(x)=-3x2+2ax.∵f′(x)<2,∴3x2-2ax+2>0对一切的x∈R恒成立,从而Δ=(-2a)2-4×3×2<0,∴a2-6<0,∴-6~(1/2)相似文献   

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

关于函数及其反函数交点问题的探讨——一道高考试题引发的思考

2007年重庆高考数学试题文科第(10)题,题目是这样的:设P(3,1)为二次函数f(x)=ax2-2ax+b(x≥1)的图像与其反函数y=f-1(x)的图像     

一次与三次函数对称性及其应用

<正>初等函数的性质及其应用在高考命题中占有重要地位,研究并拓展其性质对提高学生认知函数能力适应新高考具有重要意义.1.一元一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的拓展性质性质1一元一次函数f(x)=ax+b(a≠0)图像上任一点都是其对称中心.性质2与一元一次函数f(x)=ax+b(a≠0)图像垂直的直线都是其对称轴.例1定义在R上的函数f(x)的图像关     

综合题新编选登

题 91 　已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a >0 )图象上存在一点P(x0 ,y0 ) ,满足 y0<0 ,证明 :函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) ,且x0 在x1,x2 之间 .证　∵ y0 =ax20 +bx0 +c =a(x0 +b2a) 2 + 4ac -b24a ,∴Δ =b2 - 4ac =4a2 (x0+ b2a) 2 - 4ay0 ,又a >0 ,y0 <0 ,∴Δ >0 ,故函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .不妨设x1相似文献   

二次函数与一元二次方程的关系及运用

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个"二次"问题,两者之间有着怎样的关系呢?下面为同学们一一介绍.一、两者的关系(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值;     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

含向量的方程

在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程.　　题目　已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1　解法探讨错解　因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴　x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析　“将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.…     

三次函数性质的研究和应用

随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.一、y=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象和性质1.三次函数的单调性分析:因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:Ⅰ.当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实根x1,x2(访设x10,所以y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在(-∞,x1)或(…