数学问题解答

数学问题解答１９９６年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）ＩＯＯ６在等腰凸ＡＢＣ中，顶角Ｂ—２０”，在边ＢＣ，ＡＢ上分别取点Ｄ，Ｅ，有ＺＤＡＣ＝６０“，ＺＡＣＥ＝５０”，求ＺＡＤＥ．一解设／＊＊Ｅ一。，则易知：凸ＡＤＥ面积凸ＢＤＥ面积凸＊＊Ｅ面积Ａ...     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…     

一道竞赛题的三角简证及空间推广

1999年全国高中数学联赛加试第一题 :在四边形ＡＢＣＤ中 ,对角线ＡＣ平分∠ＢＡＤ ,在ＣＤ上取一点Ｅ ,ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ ,延长ＤＦ交ＢＣ于Ｇ .求证 :∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .证明　如图 1,连接ＢＤ交ＡＣ于Ｏ点 ,在△ＢＣＤ中运用塞瓦定理ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ&;#183;ＤＯＯＢ =1,∴ ＯＢＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.又∵　ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,∴　 ＡＢＡＤ =ＢＯＤＯ =ＢＧＧＣ&;#183;ＣＥＥＤ.图 1　　　　　　　　　图 2设∠ＧＡＣ =α ,∠ＥＡＣ =β ,则∠ＢＡＧ =Ａ2 -α ,∠ＤＡＥ =Ａ2 -β ,由相似三角形比的性质有　　 ＢＧＧＣ =ＡＢｓｉｎ( Ａ2 -α)ＡＣｓｉｎα ,　　 ＣＥＥＤ =ＡＣ&;#183;ｓｉｎβＡＤｓｉｎ( Ａ2 -β),代入上式得到ｓｉｎ( Ａ2 -α) &;#183;ｓｉｎβ=ｓｉｎα&;#183;ｓｉｎ( Ａ2 -β) .按三角函数的差角公式展开即得ｓｉｎ(α -β) =0 ,其中α、β∈ ( 0 ,π2 ) ,∴　α=β ,即是　∠ＧＡＣ =∠ＥＡＣ .它的空间形式如图 2 :在四面体ＡＢＣＤ中 ,∠ＢＡＣ =∠ＤＡＣ ,ＡＯ是△ＡＢＤ中∠Ａ的平分线 ,Ｅ是ＣＤ边上任一点 ,连结ＢＥ交...     

三角形一个重要公式及其应用

在三角形中，我们把角的顶点与其对边上一点的连线称作这个角的分角线．下面给出分角线长的一种公式．定理　如图１，Ｄ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上一点，设ＡＢ、ＡＣ分别为ｃ、ｂ，∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＡＤ＝β，图１则　　　　ＡＤ＝ｂｃｓｉｎ（α＋β）ｃｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ．（１）当ＡＤ是∠Ａ的平分线时，　　　ＡＤ＝２ｂｃｃｏｓＡ２ｂ＋ｃ；（２）当ＡＤ是中线时，　　ＡＤ＝ｂｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎα＝ｃｓｉｎ（α＋β）２ｓｉｎβ；（３）当ＡＤ是高线时，　　　ＡＤ＝ｃｃｏｓα＝ｂｃｏｓβ＝ｂｃｓｉｎＡａ．（４）证明　在…     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定；它们之间一定存在着某种必然的内在联系；事实上，我们有如下的定理；图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角，∠ＡＯＢ＝φ，∠ＡＯＣ＝θ１，∠ＢＯＣ＝θ２，二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α，则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα；略证：如图１，ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ，则∠ＡＣＢ＝α；令ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ；在Ｒｔ△ＡＣＯ中，ＡＣ＝ａｓｉｎθ１，ＯＣ＝ａｃｏｓθ１；同理，Ｂ…     

一道不等式的几何证法

题 1　在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1　证法 1图证 [方法 1]　设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ…     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）８７１已知，求证：证明由平均不等式可知解因为数列的通项将（３）式减去（２）式得将上式代入（１）式得８７３四面体ＡＢＣＤ棱长ＤＡ＝ＢＣ＝ａ；ＤＢ＝ＣＡ＝ｂ，ＤＣ＝ＡＢ＝ｃ；求其体积Ｖ，外接球半...     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年５月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０１１设△ＡＢＣ的中线ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ相交于Ｇ，Ｓ为△ＡＢＣ面积，则证明∵ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ是△ＡＢＣ的中那么又１０１２若ｘ２＋ｙ２＝２５，求函数的最大值．四把Ｚ改写为Ｚ一人二百Ｒ下了不十人...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０７６求证：ｔｇ４２０°－４３ｔｇ３２０°＋６ｔｇ２０°＋４３ｔｇ２０°＝３证明如图所示△ＡＢＣ，∠Ｃ＝π２，∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝１，∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＤ＝∠ＤＢＣ则ｔｇ２０°＝ＤＣ，ｔ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）９１１设点Ｍ是△ＡＢＣ的ＢＣ边的中点，Ｏ是内切圆的中心，ＡＨ是高，Ｅ为直线ＯＭ和ＡＨ的交点，求证：ＡＥ等于内切圆半径ｒ．证明如图，设Ｐ为内切圆与边ＢＣ的切点．连ＯＰ．设ＢＣ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、Ａ...     

面积法的一个定理及应用

面积法的一个定理及应用３５２２００福建省古田县玉田中学吴若继定理任意凸四边形ＡＢＣＤ的对角线相交于Ｏ，记△ＡＯＤ、△ＡＯＢ、△ＢＯＣ、△ＣＯＤ的面积分别为Ｓ１、Ｓ２、Ｓ３、Ｓ４，则Ｓ１·Ｓ３＝Ｓ２·Ｓ４（图１）．证明。，Ｊ·ｃ，卅”Ｓ【Ｘ””ｓｇｓ。...     

活用sin~2α+cos~2α=1

ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1除了广泛用在化简三角恒等式、解直角三角形外 ,还可以灵活应用于解其他题型 .现举几例说明 .一、活用于证明平面几何等式图 1在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＣＤ是边ＡＢ上的高 ,求证 :1ＣＤ2 =1ＡＣ2 +1ＢＣ2 .证明　如图 1所示 ,∵　∠Ａ +∠Ｂ =90°,∴　ｓｉｎＢ =ｃｏｓＡ .∴　ｓｉｎ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ａ =ＣＤ2ＡＣ2 +ＣＤ2ＢＣ2 =1 .∴　 1ＡＣ2 +1ＢＣ2 =1ＣＤ2 .已知Ｐ是矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上的一点 ,ＤＰ⊥ＡＣ ,ＰＭ⊥ＢＣ交ＢＣ于Ｍ ,ＰＮ⊥ＡＢ交ＡＢ于Ｎ .求证 :ＰＭ23 +ＰＮ23 =ＡＣ23 . ( 98加拿大中学生…     

数学问题解答

１９９８年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１３６设Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α（即α为勃罗卡角），则∠Ｂ＝∠Ｃ的充分必要条件为ｓｉｎα＝ｓｉｎＡ５－４ｃｏｓＡ证明必要性的证明参见《数学通报》１９９８年第２期问题１１１...     

涉及直角三角形一命题的面积证法

文［１］中给出了：命题　在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．图１文［２］给出了上述命题的纯平几证法．但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题．尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸．为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考．证明　如图１,设Ｏ１Ｏ２的双向延长线分别与ＡＣ、ＢＣ相交于Ｍ、Ｎ,又设∠ＡＣＤ＝α,则∠ＢＣＤ＝９０°－α,　　ｓｉｎα＋ｃｏｓα…     

sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ的几何简证

ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｉｎβ的几何简证２２５２１１江苏省江都市大桥中学党庆寿本文给出恒等式ｓｉｎ（α±β）＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｎｉβ的一个几何简证．如图１，△ＡＢＣ为Ｒｔ△，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ在线段ＢＣ的延长线上．...     

数学问题解答

20 0 2年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 71　如图 ,凸四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,延长ＡＢ、ＤＣ得交点Ｅ ,延长ＢＣ、ＡＤ得交点Ｆ .Ｍ、Ｎ各是ＡＣ、ＢＤ的中点 .且ＡＣ >ＢＤ .求证 :ＭＮＥＦ =12 · ＡＣＢＤ-ＢＤＡＣ(安徽省怀宁江镇中学　黄全福　2 461 42 )证明　先注意下述两个引理 .引理 1　图形与相关条件与题目相同 ,设ＡＣ、ＢＤ相交于Ｐ .求证 :　ＯＰ⊥ＥＦ .证明　设⊙Ｏ半径为Ｒ .在射线ＦＰ上取一点Ｋ ,使得Ｂ、Ｋ、Ｐ、Ｃ四点共圆 .此时∠ＢＫＦ =∠ＢＫＰ =1 80°-∠ＢＣＰ=1 80°-∠ＢＣＡ=1 80° -∠ＢＤ…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）９９１在ＡＢＣ中，ｓ是半周长，是面积，求证：证明…ＺＺ干沙＞ＺＺｙ；ｙＺ＋ＺＺ＞２邯；ｚ２＋ｚＺ＞ＺＸＸ．假作法如右图．（１）在ＡＣ上取一点Ｍ使力Ｍ：Ｍｃ＝ｍ：９；在＊ｃ上取一点Ｎ，使＊Ｎ：...     

关于“广义判别式”及其应用点滴

拙作《也谈三角问题的证明技巧》于本刊１９９４年第５期发表后，笔者收到了全国各地部分中学生的来信，对文中的例１用判别式法证明提出了质疑．为说明问题起见，先将该题的证明照录如下．例１在△ＡＢＣ中，求证ｓｉｎＡ２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２１８．证明ｙ＝ｓｉｎＡ...     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…