向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

综合题新编选登

题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

错在哪里

问题　已知函数 y =ax2 6 x bx2 1 对于一切实数 x都有 {y| 1≤ y≤ 9},求实数 a、b的值 .不少学生 (还有部分老师 )是这样解的 :∵　函数 y =ax2 6 x bx2 1 的定义域为R,于是 ( y - a) x2 - 6 x y - b =0 ,当 y≠a,由Δ≥ 0 ,得 36 - 4( y - a) ( y - b)≥ 0 ,即y2 - ( a b) y ab - 9≤ 0 ( 1 )又 1≤ y≤ 9,即 y2 - 1 0 y 9≤ 0 ( 2 )而不等式 ( 1 ) ( 2 )同解 ,∴　 a b =1 0 ,　 ab - 9=9,∴　 a =5 7,b =5- 7,或　 b =5 7,a =5- 7;当 y =a时 ,结论也成立 .剖析　这道题与《中学数学》(湖北 ) 1 999年增刊 P1 …     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

2006年高考数学安徽卷

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.复数1+3i3-i等于A.i B.-i C.3+i D.3-i2.设集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则R(A∩B)等于A.RB.{x|x∈R,x≠0}C.{0}D.3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x62+y22=1的右焦点重合,则p的值为A.-2B.2C.-4D.44.设a,b∈R,已知命题p∶a=b;命题q∶(a2+b)2≤a22+b2,则p是q成立的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数y=2x,x≥0,-x2,x<0的反函数是A.y=x2,x≥0-x,x<0B.2x,x≥0-x,x<0C.y=x2,x≥0--x,x<0D.2x,x≥0--x,x<0第(6)题图6.将函数y=sinωx(…     

关于Diophantine方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

设m是正偶数.证明了(A)若b是奇素数,且a=m|m~6-21m~4+35m~2-7|,b=|7m~6-35m~4+21m~2-1|,c=m~2+1,则Diophantine方程G:a~x+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,7);(B)若m2863,且a=m|m~8-36m~6+126m~4-84m~2+9|,b=|9m~8-84m~6+126m~4-36m~2+1|,c=m~2+1,则Diophantine方程G仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,9);(C)若a,b,c适合a=m|∑_(i=0)~((r-1)/2)(-1)~i(_(2i)~r)m~(r-2i-1)|,b=|∑_(i=0)~((r-1)/2)(-1)~i(_(2i+1)~r)m~(r-2i-1)|,c=m~2+1,r≡1(mod4),2|x,2|y,且b为奇素数或m145r(log r),则方程G仅有解(x,y,z)=(2,2,r).     

初二代数第二学期期中自测题

A组一、填空题 ( 1— 5题 ,每小题 3分 ,6— 1 0题每小题 4分 ,共 3 5分 ) .1 .数的平方得 812 5 6,4962 5 的开平方得 .2 . 1 72 -82 的算术平方根是 .3 . -12 是数a的一个平方根 ,则a=.4.若 3 -2x有意义 ,则x=.5 .当a =3时 ,( 2 -a) 2a -2 =.6.(± 13 ) 2 的平方根是 ;9的算术平方根是;-82 7的立方根是 .7.如果a2 =2 5 ,则a3 =;如果 (a -5 ) 2 =5-a ,则a 5 ;如果 -a =3 ,则a =.8.当x =时 ,代数式 2x +3 -x有意义 ;若x<0时 ,则3 x3|x|=;若x+12 +|y -3 |=0 ,则x2 +y2 =.9.若 1 .0 0 7=1 0 0 3 ,1 0 0 7=3 1 73 ,则0 .0 0 1 0 0 7=;若 3 …     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

初三代数第二学期自测题

注 :本卷检测内容为 :代数第十三章函数及其图象与第十四章统计初步A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .已知点M(a+1 ,2 -a)的位置在第一象限 ,则a的取值范围是 .2 .函数y =x+2|x|-1 的自变量x的取值范围是.3 .已知直线y=kx +b经过 ( 2 ,0 )和 ( 0 ,-1 )两点 ,则k= ,b=.4.反比例函数y=kx1-2k,当x=12 ,y =;当x>0时 ,y随x的增大而 .5 .已知一次函数y =kx +2 ,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小 .6.若 8个数据的平方和是 2 0 ,方差是 2 ,则平均数是 .7在数据组 :-1 ,0 ,4,5 ,8中 ,插入一个数据x ,使得该数据组的中位数为 3 ,则x=.8.…     

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

例说解析几何计算减负之法

|PF1|+|PF2 |=2 a(a>c>0 ) ,求 P的轨迹方程 .解　令 P(x,y) ,则由已知得 :(x+c) 2 +y2 +(x- c) 2 +y2 =2 a (1)将 (1)两边取倒数 ,得 :(x+c) 2 +y2 - (x- c) 2 +y2 =2 cxa (2 )(1) +(2 )得 ,(x+c) 2 +y2 =a+cax.平方得 :x2 +2 cx+c2 +y2 =a2 +2 cx+c2a2 · x2 .整理得 :x2a2 +y2a2 - c2 =1(3)易验证 (3)上任一点 (x,y)也在 (1)上 ,从而点 P轨迹方程为 :x2a2 +y2a2 - c2 =1.注　对于 (1)的化简 ,中学课本上用了两次平方 ,较为麻烦 .以上算法 ,抓住了 (1)的左边的整体上的特点 ,只用一次平方 ,较为简单 ,是优化算法的结果例说解析几何计算…     

课外练习

初一年级1.对于整数a、b、c、d,定义等号|ab/dc|=ac-bd,若1<|1b/d4|<3,试求b+d 的值. (山东梁山县梁山镇二中(272600) 王可民) 2.对有理数x、y,定义运算“(?)”;x(?)y =ax+by+c(a、b、c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算),已知3(?)5=15,4(?)7 =28.求1(?)1值.     

椭圆的一个有趣性质及应用

性质　椭圆 x2a2 +y2b2 =1(a >b >0 )上任意一点P与过中心的弦的两端点连线PA ,PB与对称轴不平行 ,则直线PA ,PB的斜率之积为定值 .图 1　性质证明用图证明　如图 1,设P(x ,y) ,A (x1,y1) ,则B(-x1,- y1) ,∴ x2a2 +y2b2 =1(1)x12a2 +y12b2 =1(2 )(1) - (2 )得x2 -x12a2 =- y2 - y12b2 ,∴ y2 -y12x2 -x12 =- b2a2 .∴kPA·kPB=y - y1x -x1·y +y1x +x1=y2 - y12x2 -x12 =- b2a2为定值 .这条性质是圆的性质 :“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广 ,它充分揭示了椭圆的图 2　推论图本质属性 ,因而能简洁解决问题 .推论　…     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

再谈“两相交直线所成角的平分线方程”

本刊 2 0 0 3年第 8期中 ,金亮同学的结论是 :当两相交直线的斜率之积为± 1时 ,两直线方程相加减即得两直线所成角的平分线方程 .我经研究后发现 ,该结论的表达不准确 ,这从金亮同学的证明中可以看出 ,应改为 :两相交直线ax +by +c1 =0与bx±ay +c2 =0 ( |a|≠ |b| ,a≠ 0 ,b≠ 0 )的方程相加减即得两直线所成角的平方线方程 .因为a2 +b2 =b2 + (±a) 2 ,本人可将此结论推广如下 .推广　当两相交直线l1 ∶a1 x +b1 y +c1 =0 ,l2 ∶a2 x +b2 y +c2 =0 (a1 b2 ≠a2 b1 ) ,满足a21 +b21 =a22 +b22 时 ,两直线方程相加减可得 .证明设 (x ,y)为…     

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹