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<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC.证明:E,N,M,F四点共圆.该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点. 相似文献
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问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行.点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部.证明:A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等.证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N.由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME.由点P的选取可知PA=PB,PC=PD.为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积:因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP=S△CDP,我们来… 相似文献
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1.引言近日在网上看到一个几何问题(见微信公众号"叶军数学工作站"《数学爱好者通讯》(第87期),由赵忠华老师提出的"问题研究B"):问题1如图1,△ABC的旁切圆☉O与边BC切于点D,与边AC,AB的延长线切于点E,F,DD1为☉O的直径,过DD1上任一点G作AD的垂线,分别与线段D1F,D1E相交于点M,N,证明:GM=GN. 相似文献
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人教版教材九年级上册第88页第11题为:
如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,求证:四边形OABC是菱形.
此题以圆为背景,考查圆周角和圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定等知识.以此题为素材,对问题进行变式,可以发现其是一些中考题的"题源".
证明:因为C是(AB)的中点,∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°.
因为OA =OC,OB=OC,所以△AOC、△BOC均为等边三角形.
所以OA =OB=AC=BC.所以四边形OABC是菱形.
此题的逆命题也成立,我们把原题和逆命题分别作为:
命题1:如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,则四边形OABC是菱形. 相似文献
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<正>性质1如图1,在四边形ABCD中,AC⊥BD,分别以AB、BC、CD、DA为斜边向形外作等腰Rt△AEB、等腰Rt△BFC、等腰Rt△CGD、等腰Rt△AHD,则AC、BD、EG、FH四线共点.证明设AC、BD交于点O,连接OE、OG、OF、OH,易证E、B、O、A四点共圆,于是∠AOE=∠ABE=45°,同理,∠DOG=45°,而 相似文献