函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)的性质与应用

<正>函数是高中数学的核心内容,是高考考查的重中之重.我们仅学习了:一次函数y=kx+b、反比例函数y=k/x(k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)、指数函数y=a2+bx+c(a≠0)、指数函数y=a^x(a>0,a≠1)、对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)、正弦曲线y=sinx、余弦曲线y=cosx、正切曲线y=tanx等基本类型的初等函数.事实上,我们碰     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

幂指函数图象的交点问题

在教学函数时,有这样一个问题:函数y=2~x与y=x~2图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.以上都不对这是一个指数函数与幂函数图象的交点问题.大多数学生通过画草图得出第一象限和第二象限各有一个交点,选B.其实上面两个函数图象在第一象限内有两个交点(2,4)、(4,16),正确答案应为C.这说明仅凭草图找交点是很容易出错的.那么,一般的指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xn(n∈Q)图象的交点情况又如何呢?大家知道,这两个函数图象的交点问题实际就是方程ax=xn根的问题.显然当n=0时,方程ax=x0没有实根,函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x0图象无交点.下面我…     

教材中一个值得商榷的问题

1 问题的提出 普通高中课程标准试验教科书北师大版数学必修第三章"3.3指数函数的图象与性质"中借助y=2x与y=3x的图象研究了底数a对函数y=ax(a>0,a=1)图像的影响,并得出结论:底数大于1的指数函数,底数a越大,当x>0时,其函数值增长得就越快.     

为什么规定对数函数的底数不等于1

在指数函数y=a~2(a>0,a≠1)中,之所以规定底数a≠1,是因为当a=1时,无论是从函数本身,还是从函数图象来说都非常简单,没有专门讨论的必要。那未,在对数函数y=log·x(a>0,a≠1)中,又为什么规定其底数a≠1呢?本文想从两个方面来讨论这个问题。首先,对数函数在高中代数(甲种本)第一册是作为指数函数的反函数引入的。但是当a=1时,确定指数函数y=a~2的映射,不是一个单射,当然更不是一一映射。所以当a=1时,根据反函数存在的条件,指数函数y=a~x根本不存在反函数。那未,在这种情况下,作为它的反函数的对数函数也就无从谈起了。     

y=f(a+x)的特征确定y=f(x)的哪些性质?

函数y=f(a+x)(a≠0,以下不特别说明都有这样的要求)是由函数y=f(x)经过简单的函数复合得来,它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系,试题常以告诉y=f(a+x)的性质,研究y=     

函数y=x2与y=ax的图象交点个数探究

北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第3.6节"指数函数、幂函数、对数函数增长的比较",借助"列表法"与"图象法"得到了函数y=x2与y=2x的图象在第一象限内有两个交点,那么函数y=x2与yax(a＞0且a≠1)的图象在第一象限内是否一定有两个交点?如果不是,交点情况又如何?本文拟对此作一探究.     

四类基本初等函数性质的逆向探究

<正>学完高中数学必修一,我们知道,正比例函数f(x)=kx(k≠0)满足性质f(x+y)=f(x)+f(y),指数函数f(x)=a~x(a>0,a≠1)满足性质f(x+y)=f(x)f(y),对数函数f(x)=log_ax(a>0,a≠1)满足性质f(xy)=f(x)+f(y),幂函数f(x)=x~α(α∈R)满足性质f(xy)=f(x)f(y).然后,我们就会反过来想,满足这些性质的函数是唯一确定的吗?直到学习了导数,在     

关于指数函数增减的速度

在E. C.伯莱藏斯卡娅等著赵慈庚译的《代数及三角习题汇编》(人民教育出版社1957年版)的第69页,指数函数一节中有这样两个题: 第12题当变数x增加的时候,两指数函数y=2~x,y=(2~(1/2))~2的哪一个上升得快些?答:[y=2~x)。第13题当变数x增加的时候,指数函数y=(1/2)~x,和y=(1/3)~x哪一个下降得快些?答:[y=(1/3)~x] 在y1=2~x与y2=(2~(1/2))~x的两函数中,都恒为正值,且是递增函数,但究竟哪一个上升得快些? 若从指数函数的图象来看,y1=2~x与y2=(2~(1/2))~x两函数图象都是上升的。且当x<0时,y1=2~x的图象在y2=(2~(1/2))~x的图象的下方;当x=0时,两函数图象重合;当x>0时,y1=2~x的图象已上升到y2=(2~(1/2))~x的图象的上方。这反映了两函数图象上升的速度不     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

关于函数y=lg(cx+d)/(ax+b)图象的对称问题

函数y=lgx-1x+1是奇函数,它的图象关于原点对称,而象函数y=lgx-1x+3,它没有奇偶性,但其图象会不会关于非原点的某特殊点对称呢?事实上,y=lgx-1x+3=lg(x+2)-1(x+2)+1,显然,它的图象可以由奇函数y=lgx-1x+1的图象向左平移2个单位得到,所以函数y=lgx-1x+3的图象关于点(-2,0)对称.一般地,我们可以得到函数y=lgcx-dax+b(ad≠bc,ac≠0)的对称中心,分两种情形:情形1 ac>0不妨设a,c均大于0.若a,c均小于0,则y=lgcx+dax+b=lg-cx-d-ax-b=lgnx+n′mx+m′,其中m,n均大于0.结论1函数y=lgx-mx+m(m≠0)是奇函数,它的图象有对称中心为原点(0,0).∴f(2)+f(-2)=…     

关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

对于方程a~x=x和a~(a~x)=x(a>0,a≠1)解的个数的探讨

本文讨论了两个方程a~x=x和a~(a~x)=x(a0,a≠1)解的问题,应用高等数学中的知识给出了两个方程解的存在条件和相应的个数,纠正了一些直观的错误,通过该问题的讨论可以加深学生对高数函数知识的理解和应用.     

直线方程f(2x0-x,2y0-y)=f(x,y)的几何意义

文 ( 1 )给出了直线方程 x0 x y0 y =r2的几何意义 ,文 ( 2 )又给出了直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1的几何意义 ,两文的讨论仅涉及到圆和椭圆这两种最简单的标准方程 ,本文将把这种讨论推广到一般的常态二次曲线 .设常态二次曲线 L的方程为 f( x,y) =0 ,M( x0 ,y0 )为坐标平面内任一点 ,本文讨论下列方程 ( * )的几何意义 .f ( 2 x0 - x,2 y0 - y) - f( x,y) =0　 ( * )定理 1　设 M( x0 ,y0 )为常态二次曲线L :f ( x,y) =0内部一点 ,那么方程 ( * )的几何意义表示以点 M为中点的中点弦所在的直线 .证明　在曲线 L :f ( x,y) =0上任取一…     

y=f（a＋x）的特征确定y=f（x）的哪些性质？

函数y=f（a＋x）（a≠0，以下不特别说明都有这样的要求）是由函数y=f（x）经过简单的函数复合得来。它们之间从性质到图象都有着密不可分的关系．试题常以告诉y=f（a＋x）的性质。研究y=f（x）以及y=f（x）的其它复合函数的性质的形式命制．那么y=f（a＋x）的特征决定了y=f（x）的哪些性质？对这个问题的回答是解决这类问题的关键所在．     

“指数函数”诗鉴赏

指数函数多个图象象束花,( 0 ,1 )这点把它扎.撇增捺减无例外,底互倒时纵轴夹.x =1为判底线,交点y标看小大.重视数形结合法,横轴上面图象察.此诗每行字数相等,且押了“浕”韵,读来倍感顺口,内容简洁明了,使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心.我们都知道,一般地,把函数y =ax(a>0 ,且a≠1 )叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R .由定义可知道,像y=x4,y =- 4x,y =4x2 等函数都不是指数函数,而y =2 x,y =12x,y =132 ,y =3x这些就是指数函数.图1　指数函数图象图1所示的就是上面举的指数函数的图象.不难看出,它们就像一束花.…     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

y=Asinωx和y=Acosωx的几何性质

函数y=Asin(ωx φ) k或y= Acos(ωx φ) k的最值、周期、单调代数性质等是大家都比较熟悉的.本文介绍它们的几个几何性质,供同学们学习参考.性质如图1和图2,M,N,P是函数y =Asinωx或y=Acosωx(A>0,ω>0)的图象上的三个相邻的两个最高点和一个最低     

例析曲线过定点问题

曲线(包括函数的图象)过定点问题是研究曲线性质的重要组成部分,它也是高中数学中一类重要的题型,通过对这类问题的研究,有助于加深对曲线性质的理解和应用.下面介绍一下解决这类问题的常用解题策略.1.利用a0=1(其中a>0,且a≠1)例1(2007年山东卷·文)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过点A,若点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,则1m 1n的最小值为.解析函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),∴函数f(x)=a1-x(a>0,且a≠1)的图象恒过点A(1,1).又点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,∴m n-1=0,∴m n=1.∴1m 1n=mm n mn n=2 mn nm≥2 2mn·nm=2 2=4,∴1m…     

指数函数与一次函数的大小关系

探究了指数函数y=ax与一次函数y=ax b(a>0且a≠1)的大小关系