数项级数敛散性的判别程序与正项级数的地位和作用

作者曾给出过数项级数敛散性的判别程序,本文对原有框图进行了修改和补充．从框图中不仅可以了解到级数收敛的定义,级数收敛的必要条件、交错级数的莱布尼兹定理以及绝对收敛与收敛的关系,更能体会到正项级数在数项级数中的重要地位．事实上,对一般的级数,如果用正项级数的比值或根值审敛法判定收敛,则收敛;若发散,则发散（只要注意到比值或根值审敛法的证明过程就不难推出这一点）．正是由于这个原因,正项级数在函数项级数的研究中起着十分重要的作用．一、数项级数敛散性的判别程序二、止坝级数在由数坝线教甲同作用众所周知,定…     

有关常数项级数的几个典型例题

通过实例考察常数项级数收敛和发散时一般项的一些特点,并讨论级数不满足比值判别法、根值判别法或莱布尼茨定理的条件时的收敛性问题.     

一类正项级数收敛的充要条件

我们知道，要判定一个数项级数是否收敛有许多种方法，但这些方法大都只给出了级数收敛或发散的充分条件，这里我们对一类较特殊的常数项级数给出级数收敛的一个充要条件。定理设f（x）在某个［0，δ］内二阶可导，f（x）≥0，则级数收敛的充要条件是f（0）＝0，f’（0）＝0。证明必要性设级数收敛，则，若f'（0）=α0，充分性设，由Lagrange中值定理知存在，使例1讨论级数的敛散性。若，即，不妨设f'（0）＞0，因而存在δ＞0，当0≤x＜δ时，有f'（X）＞0，所以f（x）＞0，由定理级数发散。若f'（0）＜0，同理可提级数发散。。。“”9。。…     

一个关于级数的恒等式及其应用

<正> 在正项级数收敛理论的讨论中,往往运用括项这一处理手法,如调和级数发散性的证明就是这样.本文将导出一个类似于括项的简单恒等式,由此则容易证明柯西凝集定理及一类级数的分解定理,从而方便地推证黎曼采他函数ζ(s)=(?)1/n~s 的一个性质.     

关于调和级数的一些探讨

通过对调和级数的探讨．发现调和级数中分母含9的所有项构成的级数发散,从而解决了有人关于调和级数既发散又收敛的疑问．此外还对调和级数去掉分母含某类数字的项后所得级数收敛这个奇妙特性给出注释．     

一类特殊幂级数收敛半径的求法

考虑下面级数其中，b，C均为正整数，并且b＞0。定理1如果级数（1）当X=X0（X00）时收敛，则适合不等式|x|＜|x0|的一切X使幂级数（1）绝对收敛；反之，如果当X=X0时级数（1）发散，则适合不等式|x|＞|x0|的一切X使幂级数（）发散。征先设x。是幂级数（l）的收敛点，即级数Zanxg”“收敛，根据级数收敛的必要条件，这时有lima。xX””一0，于是存在一个常数M，使得“外””D＜M（n一0，I，··一这样级数（）的一般项的绝对值因为当卜D＜卜。D时，等比级数＞WDH卜””收敛（公比为D＞‘＜1），所以级数十coZDa。xb”“刊收敛，也就…     

判别变号数值级数敛散性的一种方法

设变号数值级数 ∑∞ｎ =1ａｎ (1 ) ,我们只对其中较为特殊的一种 ,即交错级数∑∞ｎ =1(- 1 ) ｎ- 1 ａｎ　 (2 )有莱布尼兹判别法[1 ] Ｐ2 4 5.而在此定理的证明过程中及变号级数的性质[1 ] Ｐ2 33 中 ,学生往往会觉得困惑 :为什么有的级数加括号后收敛 ,而原级数并不收敛 ;但有的级数加括号收敛 ,而原级数也收敛 .为此 ,他们需花费很多时间和精力来弄通这一部分 .而事实上 ,我们有如下定理　设变号级数 ∑∞ｎ =1ａｎ　 (1 )的通项趋于0 ,若将此级数不改变次序地任意添加一些括号 ,且诸括号里所含最大项数有界而得到新级数∑∞ｋ=1Ａｋ …     

调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法

引理1设有两个收敛级数：则级数也收敛,其和为引理2收敛级数在不改变各项顺序下加括弧号后所成的新级数仍收敛于原来的和．引理3若级数收敛,则组数（k为常数）也收敛,以上三个引理的证明见一般高数教材．下面用反证法给出调和级数发散性的两种证明．（2）式-（1）式,再结合引理1知这等式显然矛盾．故发散的．证法。设2上收敛分别是否“的前n项与前2顶之和．由收敛的定义知由极限保序性知最后再指出一种用几何平均值与算术平均值的关系的证明方法．是发散的调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的两种简单证法@周世国$郑州工业大学@成…     

单调增函数幂次积分序列的一个猜想

本利用函数项级数的一致收敛定理和Lebesgue控制收敛定理证明了单调增函数幂次积分序列的一个猜想，结果如下：     

区间数级数的理论研究

文章在已知实数项级数收敛及区间数列收敛概念的基础上,具体阐述了区间数项级数的定义及其性质.然后,给出了几个关于正区间数项级数敛散性判断定理与推论.最后,关于一般项区间数级数敛散性的判别作了讨论.     

根值审敛法的几个推论

本文对正项级数收敛性的根值判别法进行了讨论 ,所得推论在判别某些正项级数的收敛性时更为方便。1 .根值审敛法根值审敛法 (柯西定理 )　设 ∑∞n=1un 为正项级数 ,如果它的一般项 un 的 n次根的极限等于 ρ,即limn→∞n un=ρ。则ρ<1时 ,级数收敛 ;ρ>1 (或 limn→∞n un=+∞ )级数发散 ;ρ=1级数可能收敛也可能发散。例　用根值审敛法判别级数 ∑∞n=1( 13 n -1 ) 2 n- 1的收敛性。解　n un =( 13 n -1 ) 2 n- 1n =( 13 n -1 ) 2 ( 3 n -1 ) 1n因为 limx→ +∞ ( 3 x -1 ) 1x =e　 limn→ +∞ln(3x-1)x =e　 limn→ +∞33x-1=e0 =1 ,所…     

nu_n→0不是正项级数收敛的必要条件

《数学学习》1994.NO.2刊载了一篇短文《正项级数收敛的一个必要条件》,文中提出了一个定理,即;设sum from n=1 to ∞(u_n)为正项级数,若sum from n=1to∞(u_n)收敛,则必有(?)nu_n=0这个定理实际上是不能成立了,下面将举出一个反例(例2).为了给引入反例作准备,我们先看例1.     

将条件收敛级数重排成发散级数的一方法

关于条件收敛级数的重排有著名的黎曼定理:如果级数条件收敛,则无论预先取怎样的数B(有穷的或者等于±∞),都可以重新排列这级数的各项,使得重排后的级数具有和数B。本文要证明下面的结果: 如果一个级数条件收敛,则舍去零项后一定可以重新排列成一个发散的交错级数。     

函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序

基于逐项取极限定理,从新的视角对函数项级数的分析性质涉及的极限运算交换次序问题及其条件进行了讨论,解释"一致收敛"为何在函数项级数的极限运算交换中起作用以及在哪一环节中发挥作用.本文讨论有助于在教学中更清晰地理解函数项级数中的一致收敛与极限运算交换次序,深入理解和思考数学的理论性。     

函数项级数一致收敛性的几个新的判别法

本文给出了函数项级数是否一致收敛的几个新的判别法,并给出了几个应用定理的例子.     

Fuzzy值函数项级数一致收敛的新定义

本文在文[3]的基础上,引进了Fuzzy值函数项级数的收敛及一致收敛的一种新定义。与文[4]相比,该定义的条件较弱,但所得结果却较强,且定理的证明更为简单。文中讨论了定义的合理性及优良性,给出了Fuzzy值函数项级数的一致收敛性的判别法;给出了Fuzzy值函数的连续性守恒,逐项微分,逐项积分定理。     

发散級数求和簡介

发散级數求和,现在还很难说是一个独立的数学分支,在数学中它主要是作为一个工具出现的。我们知道,级数的主要作用是表示函数,虽然它的每一项可以是极其簡單的函数(通常是初等函数),但所表示的函数却能够具有很复杂的性质,因而成为研究函数的一个不可缺少的工具。函数与表达它的级数的一种联系是通常意义的收敛,但这在级数发散(或还不知道它是否收敛)时就完全失去了作用。发散级数求和理论正是为了补充通常级数理论的这一点不足而建立起来的。本文的目的是在数学分析的基础上,向读者简单介绍这方面的一些基本概念、知议和一些最初等的有趣的应用。发散级数求和所涉及的方法,在古典分析中是比较典型的,因此一些主要定理的证明我们还是引出来。这里只要求读者具有一般分析的基础。     

以递推数列为通项的级数判别法

讨论了以递推数列为通项的级数收敛的判别法,证明了递推函数二阶导数存在蕴含级数发散以及适用二阶导数不存在情形的两类判别法.     

浅谈数学中的构造性证明

<正> 1 引言在微积分中,微分中值定理、多元函数泰勒公式、绝对收敛级数必收敛、线性微分方程的求解公式等的证明都是通过构造一个辅助函数来完成的,我们把这种证明方法称为构造性证明.实际上,数学中有不少命题的证明都属于构造性证明.无疑,构造性证明是初学者最难理解的问题之一.     

还有比调和级数发散速度更慢的正项级数吗

本文从调和级数前n项和的欧拉估计出发,定义正项发散级数发散速度序列,给出判别正项级数发散速度快慢法则.并依据此法构造出发散速度无限降低的正项级数序列,其比调和级数发散速度更慢.