两圆方程作差所得直线探析

<正>我们知道,直线Ax+By+C=0(A、B不全为0)的一个方向向量为(-B,A),其法向量为(A,B),设两圆方程为:⊙O_1:(x-x_1)²+(y-y_1)2+(y-y_1)²=r_12=r_1²,⊙O_2:(x-x_2)2,⊙O_2:(x-x_2)²+(y-y_2)2+(y-y_2)²=r_22=r_2²,两圆方程相减得(x_2-x_1)(2x-x_1-x_2)+(y_2-y_1)(2y-y_1-y_2)=r_12,两圆方程相减得(x_2-x_1)(2x-x_1-x_2)+(y_2-y_1)(2y-y_1-y_2)=r_1²-r_22-r_2²①     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

圆的直径式方程

<正>若圆的直径的两个端点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则此圆的方程可这样求:设圆上任一点为P(x,y),我们有AP⊥BP,即AP·BP=0.而AP=(x-x_1,y-y_1),BP=(x-x_2,y-y_2).∴圆方程为(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0,即x²+y2+y²-(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(x_1x_2+y_1y_2)=0.     

巧用斜率公式二例

已知 A、B 两点的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2)(x_1≠x_2),则直线 AB 的斜率为 k=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)。这是大家十分熟悉的两点间的斜率公式,巧用这个公式解题.有时可以收到事半功倍之效。例1 当 k 为何值时,直线 y=kx+2k+1与直线2x+y-4=0的交点位于第一象限.分析:见到这道题,一般会想到用这样的方     

两曲线的公切线

<正>我们知道,若直线l切曲线y=f(x)和y=g(x)分别于点P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),则l有两种表示法:y-f(x_1)=f′(x_1)(x-x_1)和yg(x_2)=g′(x_2)(x-x_2),即它们表示同一条直线,展开比较得到方程组{f′(x_1)=g′(x_2),f(x_1)-x_1f′(x_1)=g(x_2)-x_2g′(x_2).这就是     

对2019年全国Ⅲ卷理科数学21题第1问的探究与推广

<正>2019年全国3卷理科数学第21题第1问:已知曲线C:y=x²/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x2/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x²/2,故y′=x,则切线DA方程为y-y_1=x_1(x-x_1)切线DB方程为y-y_2=x_2(x-x_2),     

一道习题解读一次函数

<正>原题已知A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)是一次函数y=kx+2(k<0)图像上不同的两点,则(x_1-x_2)(y_1-y_2)_______0(填">","<"或"=").解法一(用特殊值计算)一次函数上的点是任意的,不妨取点A的横坐标x_1=1,则y_1=k+2,取点B的横坐标x_2=2,则y_2=2k+2,从而可计算(x_1-x_2)(y_1-y_2)=-1(k+2-2k-2)=k<0.     

关于直线过定点问题的思考

<正>直线过定点问题是解析几何里面比较重要的问题,也是学习的难点.其实直线过定点问题通过转化,最终都会回到下面的两种模型,只要使用下面两个模型,直线过定点问题就能迎刃而解.模型1若直线方程能转化成点斜式,即转化为y-y_0=k(x-x_0),则直线过定点(x_0,y_0)     

2014年一道高考题探究

<正>题目已知双曲线C:(x²)/(a2)/(a²)-y2)-y²=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a2=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a²-y_0y=1与直线AF相交于点M,与直     

一道定点问题的推广

<正>已知椭圆C的方程为x²/2+y2/2+y²=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点,B关于x轴的对称点为点D.求证:直线AD过定点.证明设过点F(1,0)的直线AB的方程为y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则D(x_2,-y_2).     

一个求最值问题的解法比较与变化

<正>若数轴上的任意两点A、B分别表示数x_1、x_2,则|x_1-x_2|表示A,B之间的距离(同学们可以自己验证或证明);对于平面直角坐标系中的任意两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),我们把|x_1-x_2|+|y_1-y_2|叫做A,B两点之间的直角距离,记作d(A,B).     

关于微分方程的解的唯一性问题的一点注记

1.在本文中,我们考虑常微分方程y′=f(x,y)(1)在初始值条件y(x_0)=y_0下的解的唯一性问题。其常见的充分条件是要求右端满足关于变数y的Lipschitz条件,或者稍弱一些的是引用Osgood条件。Rosenblatt给出过如下的充分条件:设函数f(x,y)在x_0≤x≤x_0+a,|y-y_0|≤b上连续,并对某个正数k<1,|f(x,y_1)-f(x,y_2)|(x-x_0)≤k|y_1-y_2|成立,那么(1)过(x_0,y_0)的解为唯一。后来,南云道夫[1]在严格的不等式下将k改进为1(再进一步的推广可以看[2])。     

借“形”解“数”——例谈平面上两点间距离公式的应用

<正>平面上两点间的距离公式是平面解析几何中最基本的公式,其基本内容为:已知平面上两点P_1(x_1,y_1),P2(x_2,y_2),则|P_1P_2|=((x_1-x_2)~2+(y_1-y_2)~2)~(1/2).两点间的距离公式应用广泛,不仅可以正用公式,由给出的点的坐标,求两点间的距离;还可以逆用公式,根据题目条件,设点的坐标,     

探求折线距离的最小值

<正>平面内两点间的"折线距离"与两点间的距离相近,但又有所不同.笔者对一道最小"折线距离"问题进行了一些分步骤探索,将其规律与解题策略作一总结,与大家共享.例1在平面直角坐标系中,定义d(PQ)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|为P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)之间的折线距离,则圆C:     

用解析法解三角题

在三角中,某些问题如我们能充分注意到它们的几何背景,并藉助于解析几何的有关知识,往往可以得到较为简洁的解法。本文列举数例,以资说明。例1 已知 cosa-cosβ=1/2,sina-sinβ=-1/3,求cos(a+β)。解:设x_1=cosa,y_1=sina;x_2=cosβ,y_2=sinβ。则可知点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)在单位圆x~2+y~2=1上。(图一) 又由(y_2-ly_1)/(x_2+x_1)=(sinβ-sina)/(cosβ-cosa)=(1/3)/(-1/2)=-2/3玄j 故直线AB的斜率为-2/3。设直线AB的方程为y=-2/3x+b,将此代入x~2+y~2=1并整理得13x~2-12bx+9(b~3-1)     

关于用“判别式法”求二次曲线切线的可靠性问题

(一) 众所周知,中学数学里,在没有介绍极限方法之前,对于“求经过T(x_0,y_0)点的二次曲线F(x,y)=0的切线”一类问题,一般采用下面的步骤: 1.设所求切线的斜率为K,则切线方程为 y-y_0=K(x-x_0) 2.将上述直线方程代入已知二次曲线方程F(x,y)=0中,可得含参数K(待定)的关于x的二次方程     

Cauchy-三次函数方程及其Hyers—Ulam稳定性

给出Cauchy-三次函数方程f(x_1+x_2,2y_1+y_2)+f(x_1+x_2,2y_1-y_2)=2f(x_1,y_1+y_2)+2f(x_1,y_1-y_2)+12f(x_1,y_1)+2f(x_2,y_1+y_2)+2f(x_2,y_1-y_2)+12f(x_2,y_1)的一般解,并用直接方法和不动点方法研究它在Banach空间上的HyersUlam稳定性及模糊稳定性.     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

二元Bernstein多项式的Lipschitz常数

<正> 我们说f∈Lip_(Aμ)是指 |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|≤A|x_1-x_2|~μ+|y_1-y_2|~μ)对任何(x_1,y_1),(x_2,y_2)∈T成立。这里0<μ≤1,A是与f和μ有关的Lipschitz常数。     

平面区域中一个优美结论的妙用

大家知道,在平面区域中,点在直线划分的区域遵循同侧同号,异侧异号的原则,根据这一原则,我们得到一个优美的结论:命题点P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)在直线l:Ax +By+C=0(A~2+B~2≠0)的两侧(?)(Ax_1+By_1+ C)(Ax_2+By_2+C)<0.