二次函数的极值

极值指极大值或极小值 ,也称为最大值或最小值 .二次函数一般式y=ax2 +bx +c(a≠ 0 )的极值有极大值或极小值 .当a >0时 ,二次函数的图象开口向上 (如图① ) ,图象上有最低点C ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有极小值 ,即y =4ac-b24a ;当a <0时 ,二次函数的图象开口向下 (如图② ) ,图象上有最高点F ,即为抛物线的顶点 ,顶点坐标为 ( -b2a,4ac-b24a ) ,函数y有最大值 ,即y =4ac-b24a .二次函数的极值与a ,b ,c的值有关 .极值的大小就是抛物线顶点的纵坐标的值 .若给出二次函数的顶点式 :y=a(x-h) 2 +k,抛物线的顶点…     

动态二次图数y=ax2+bx+c顶点运动规律

在研究二次函数y=ax2+bx+c图象时,我们往往强调二次项系数a确定抛物线的开口大小和方向,-b/2a的值确定抛物线的对称轴x=-b/2a的位置,常数项c确定抛物线与y轴的交点(0,c)的位置,而抛物线的顶点(-b/2a,4ac-b2/4a)位置由a,b,c共同确定.     

利用图象破解二次函数的最值问题

<正>一般地,二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),如果自变量x的取值范围是全体实数,那么二次函数的顶点是最高(低)点,当x=-b/2a时,二次函数的最大(小)值是(4ac-b~2)/4a.如果自变量的取值范围不是全体实数,即自变量在限定的范围内,那么二次函数的最值问题又如何解决呢?现以近几年中考题为例,浅析说明利用图象破解二次函数最值问题的思路、方法、技巧.     

对称性助你解题

<正>二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象抛物线,是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,在解答某些与抛物线有关的问题时,若能恰当、灵活地利用抛物线对称性特征,可使解题过程简化,轻松助你解题.现举例说明,供参考.1.对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象抛物线,是关于直线x=-b/2a成轴对称的图形,在解答某些与抛物线有关的问题时,若能恰当、灵活地利用抛物线对称性特征,可使解题过程简化,轻松助你解题.现举例说明,供参考.1.对于抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上两个不同点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),如果y_1=y_2,那么这两个点是关于对称轴的对称点,     

二次项系数a的误区警示

同学们初学二次函数时,容易忽视二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的系数a而造成这样或那样的解题错误,如:一、忽视二次函数中a≠0表     

二次函数图象平移规律的猜想与探索

<正>初三我们学习了二次函数．在研究二次函数图象的平移时,我们通过将一般式y=ax2+bx+c转换为顶点式y=a (x-h)²+k来研究左右平移时的变化规律．最后,我们得出研究结论:y=a (x-h)²+k的图象是由y=ax2的图象向右平移h个单位得到的．     

解题切莫忽视自变量的取值范围

建立二次函数模型求最值时,很多同学极易受"当x=-b/2a时,二次函数y=ax2+bx+c有最值(4ac-b2)/(4a)"的结论影响,而不认真分析自变量x的取值范围,导致出错.下面通过两道例题,谈谈自变量的取值范围在求函数最值时的作用,希望对同学们有所帮助.     

二次函数和抛物线不等式

考察二次函数 y =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .为了方便起见 ,记 f(x) =ax2 +bx +c,对它进行配平方 ,可以得到f(x) =a x + b2a2 + 4ac -b24a .由上式 ,我们容易得到以下诸结论 :1)若a >0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递减的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递增的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最大值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最小值点 ,其最小值为ymin=f - b2a =4ac -b24a .从而有 f(x)≥4ac -b24a (1)2 )若a <0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递增的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递减的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最小值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最…     

二次函数解析式的求法

“二次函数”是初中代数的重要内容之一 ,求二次函数解析式又是“二次函数”这一章的基础知识 ,学好它对掌握好全章的知识起着十分重要的作用 .本文将二次函数解析式的求法归纳为五种类型 ,供同学们参考 .二、三点型若已知抛物线上三点的坐标 ,或可求出抛物线三点的坐标时 ,可用一般式y=ax2 bx c求之 .例 1　已知一个二次函数的图象经过点 ( -1 ,0 ) ,( 1 ,4) ,( 2 ,7)三点 .求这个函数的解析式 .解 :设所求二次函数为y=ax2 bx c.由已知 ,函数图象过 ( -1 ,1 0 ) ,( 1 ,4) ,( 2 ,7)三点 ,得　a -b c=1 0 ,a b c=4,4a 2b c=7.解这个方程组 ,得a =2 ,b =-3 ,c=5 .因此 ,所求二次函数是y=2x2 -3x 5 .二、顶点型当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时 ,通常用顶点式y =a(x -h) 2 k求之 .若已知条件涉及到对称轴、最值、抛物线与x轴截得的弦长等条件时 ,也可用顶点式求得解析式 .例 2　已知二次函数的图象过点 ( 6,8) ,顶点为 ( 3 ,3 ,) ,求这个二次函...     

怎样学习二次函数的图象

函数的图象在函数这部分内容中占有重要的地位 .在初中学习的几种函数中 ,二次函数的图象是相对比较复杂的 ,图象的特征主要是以下几个方面 :开口方向 ,对称轴的位置 ,顶点坐标 ,与x轴的交点情况 ,与y轴的交点情况等等 ,这些特征与二次函数的系数有着密切的关系 .在二次函数y=ax2 +bx+c(a≠ 0 )中 ,系数a ,b ,c与图象的关系分别是 :①a决定图象的开口方向 .当a >0时 ,图象的开口方向向上 ;当a <0时 ,图象的开口方向向下 .②由对称轴为x=- b2a知 :b与a确定对称轴的位置 .③当x =0时 ,y =c,抛物线与y轴必相交 ,交点为( 0 ,c) ,c也称为抛物线在…     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

用好二次函数图像的对称轴

<正>二次函数是初中数学的重要内容,它的图像是抛物线,具有对称性,直线x=-b/(2a)是它的对称轴.在用数形结合法解二次函数有关问题时,用好对称轴对解题会起重要作用.现举几例说明.1.利用对称轴求一元二次方程的解     

综合题新编选登

题 91 　已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a >0 )图象上存在一点P(x0 ,y0 ) ,满足 y0<0 ,证明 :函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) ,且x0 在x1,x2 之间 .证　∵ y0 =ax20 +bx0 +c =a(x0 +b2a) 2 + 4ac -b24a ,∴Δ =b2 - 4ac =4a2 (x0+ b2a) 2 - 4ay0 ,又a >0 ,y0 <0 ,∴Δ >0 ,故函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .不妨设x1相似文献   

从一道习题出发组织的一次课外活动

高中代数上册课本复习参考题一中有这样一道习题:“写出二次函数y=ax~2 bx c(a>0)的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数是增函数还是减函数。”这道题的解法并不困难,同学们先画出函数y=ax~2 bx c(a>0)的图象,结合图象直观地写出:在区间(-∞,-b/2a)上,y是减函数;在(-b/2a, ∞)上,y是增函数。     

分式化简的常用方法和技巧

<正>本文介绍分式化简的常用方法和一些技巧,目的在于帮助学生灵活解题、巧妙解题,从而提高解题能力,那么,分式化简常用哪些方法和技巧呢?一、逐次通分例1化简:1/(1-a)+1/(1+a)-2/(1+a²)+4a2)+4a²/(1+a2/(1+a⁴).解由左向右逐次通分,得     

运用数学思想巧做因式分解问题

学习数学不仅是学习知识和提高能力,更是让学生真正理解数学知识与技能、思想和方法,用数学思想指导知识的应用和能力的提升.掌握数学思想,就能很好地解决因式分解,快捷地解题计算. 一、类比思想,触类旁通 如果把整数120进行因数分解就是4×5×6,与之相类似的是a2-b2就足((a+b)和(a-b)的相乘的结果.因此,多项式a2-b2就可以分解为(a+b)(a-b),由此可知(a+b)和(a-b)皆为a2-b2的因式.如此进行类比,不仅很容易就让学生理解因式分解的意义,而且为因式分解的方法提供了思路,真正是由此及彼,类比晓理.     

三次函数对称中心再探

设三次函数的一般形式为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0).f′(x)=3ax2 2bx c.易知二次函数f′(x)=3ax2 2bx c(a≠0)的顶点坐标是(-b3a,f′(-b3a)),点(-b3a,f(-b3a))在函数f(x)的图象上.设点M(x0,y0)是函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的图象上的任一点,M关于点(-b3a,f(-b3a))对称的点M′(-     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

一位名师一道题

问题 :实数a ,b,c满足 (a +c) (a+b+c) <0 .求证 :(b -c) 2 >4a(a +b+c) .分析与解　要证的式子与二次方程的判别式形式相似 .故可构造辅助函数y=ax2 + (b-c)x + (a+b +c) .当a≠ 0时 ,二次函数过点P1( 0 ,a+b+c)及P2 ( -1 ,2 (a+c) ) .显见 ,y1y2 =2 (a+b +c) (a +c) <0 (已知条件 ) .即P1、P2 中有一点在x轴上方 ,另一点在x轴下方 .为此二次函数的图像与x轴相交 .所以　Δ =(b -c) 2 -4a(a +b +c) >0 .即得　 (b-c) 2 >4a(a+b+c) .当a=0时 ,由已知条件得c(b+c) <0 ,即b≠c,(b -c) 2 >0 ,结论也成立 .原命题得证 .构造二次函数来解题是一…     

反思通解&#183;引出简解&#183;创造巧解

在解题教学中,有些教师总是演示“成功”,教师的解题思路方法一想就正确、巧妙;教师从不展示“失败”,从不展示在解题思路和方法碰壁时怎么办.长此以往,学生的独立解题能力得不到提高,而且对巧解有一种神秘感.其实,许多问题的巧解可以在反思通解的过程中产生,教师若能引导学生对通解进行反思,使学生在反思中看到转变思维的方向、方式、方法和策略,缩小探索范围,尽快获得发现的成功,这不仅使学生感到巧妙思路的得来是顺其自然的,而且在发展学生思维、培养创新能力上无疑是一种很好的体验和进步.题目　二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),是否存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤12(x2+1)对一切实数x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,说明理由.学生思考后,容易想到如下的常规解法:解法1　f(x)≤12(x2+1)　即(1-2a)x2-2bx+1-2c≥0,(1)f(x)≥x即ax2+(b-1)x+c≥0.(2)∵　(1)、(2)两式对于一切实数x都成立,而且f(x)的图象经过点(-1,0),∴　a、b、c应满足条件1-2a&gt;0a&gt;04b2-4(1-2a)(1-2c)≤0(b-1)2-4ac≤0a-b...